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三阶微分方程组特解的待定矩阵法

2019-10-14吴幼明林晓莹

肇庆学院学报 2019年5期
关键词:将式三阶算例

吴幼明,林晓莹

(佛山科学技术学院 数学与大数据学院,广东 佛山 528000)

求微分方程组特解[1-8]的方法是微分方程理论的重要内容之一,国内外许多学者已做过大量的研究,得到了很多简捷实用的研究成果.文献[5-7]分别给出了方程组Af″-Bf=t(x),Af″-aAf′-Bf=t(x)和Af″-Bf′-Af=t(x)在t(x)=(acosβx+bsinβx)·eαx的形式时的特解公式.文献[8]以算子法为基础,穷举法为辅助,对三阶方程Af‴-Bf=0在8种情况下的通解形式进行了详尽的推导和归纳,但未对特解进行讨论.本文在文献[5-8]的基础上,采用待定矩阵法,给出了方程组Af‴-aAf′-Bf=t(x)当t(x)=(acosβx+bsinβx)·eαx的形式时的特解公式.本文方程比文献[5-7]的方程阶数更高,是文献[5-7]的推广.此外,本文的方程比文献[8]的方程多了一阶导数项且为非齐次方程,是文献[8]的补充,因此更具有普遍性.

1 符号

给出矩阵微分方程

其中,fi=fi(x)(i=1,2)是关于x的函数,ti(x)(i=1,2)是关于x的三角函数与指数函数的乘积,a,aij,bij(i,j=1,2)是常数.

因此,方程(1)整理后为

2 方程组的特解

对于矩阵微分方程(2),设

其中,ai,bi,αi,βi(i=1,2)是常数.

根据待定矩阵法,可设方程(2)的1个特解为

将式(4)代入方程(2)中,整理并比较同类三角函数的系数得

由式(5)取第i(i=1,2)列比较得

由式(6)取第i(i=1,2)列比较得

将式(7)代入式(8)中整理得

所以,矩阵微分方程(1)的1个特解为

3 算例

采用本文所示方法解矩阵微分方程的特解,有

所以

从而,矩阵微分方程(12)的1个特解为

经检验,式(13)确是矩阵微分方程(12)的1个特解.

4 结束语

本文在二阶微分方程组研究的基础上,根据待定矩阵法和按列比较法,得出了一类不含二阶导数项的三阶微分方程组的特解公式,并根据算例验证了公式的正确性.本文结果也可通过编写计算机程序进行计算.

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