■陕西洋县中学 刘大鸣(特级教师)

2019年高考对数列主要围绕“等差和等比数列的通项与求和,累加法与错位相减法求和进而求通项,公式法求和,裂项用公式求和,数列中存在性问题的探究证明以及参数范围的求解”展开,凸显数列的工具性和应用性以及创新性。

聚焦1 等差数列通项及前n项和的最值问题

例1(2019 年高考北京卷文16)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列。

(1)求{an}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值。

解析：第一问依据题设待定系数法求公差进而求通项公式,第二问可用两种思维方法探究等差数列前n项和的最值。

(1)设等差数列{an}的公差为d。因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)。

也即(2d-2)2=d(3d-4),解得d=2。

所以an=-10+2(n-1)=2n-12。

(2)法1：利用二次函数求Sn的最值。由(1)知an=2n-12,所 以

当n=5或n=6时,Sn取到最小值-30。

法2：利用等差数列的通项构建不等式组求最值。由(1)得an=2n-12,设则5≤n≤6,n=5或6。数列从第7项开始项为正值,故S5=S6最小,

则Sn的最小值为-30。

反思：等差数列是特殊的一次函数,通项an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)=kn+b(n∈N*),其前n项和,可利用二次函数求Sn的最值。还可利用通项构建不等式组(d＞0)或(d＞0)确定n的值,进而求Sn的最值,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件。

变式1(2018年高考全国Ⅱ卷理17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15。

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn,并求Sn的最小值。

解析：(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15。由a1=-7,得d=2。所以数列{an}的通项公式为an=2n-9。

法2：利用等差数列的通项构建不等式组求最值,由(1)得an=2n-9。设,即数列从第5项开始项为正值,故S4最小。,Sn的最小值为-16。

聚焦2 等比数列的定义、通项及前n项和的应用

例2已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和。

解析：利用首项和公比构建方程组确定公比求通项,正数的等比数列通项取对数后为等差数列,可利用等差数列前n项和公式求和。

(1)由题意知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a3=2a2+16,a1=2。令数列{an}的公比为q,a3=a1q2=2q2,a2=a1q=2q,所以2q2=4q+16,解得q=-2(舍去)或4。数列{an}是首项为2,公比为4的等比数列,an=2×4n-1=22n-1。

(2)因为bn=log2an,所以bn=2n-1,bn+1=2n+1,bn+1-bn=2。数列{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,

反思：等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),有意识地应用等差、等比数列的性质可以简化运算,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的策略。

变式2(1)(2019年高考全国Ⅲ卷理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )。

A.16 B.8 C.4 D.2

(2)(2019 年高考全国Ⅰ卷理14)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若,则S5=_____

解析：(1)设各项为正数的等比数列{an}的公比为q,则

(2)设等比数列的公比为q,由已知a1=

又q≠0,所以q=3。

聚焦3 等差和等比数列定义和通项公式的交汇应用

例3(2019年高考全国Ⅱ卷理19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4。

(1)证明：{an+bn}是等比数列,{anbn}是等差数列；

(2)求{an}和{bn}的通项公式。

解析：通过两数列的递推关系构建方程组,变形且构造新数列为等差和等比数列,求出通项,解方程组得到所求数列的通项公式。

(1)由题意可知4an+1=3an-bn+4,①4bn+1=3bn-an-4,②a1+b1=1,a1-b1=1。①②两式相加可得4an+1+4bn+1=3anbn+4+3bn-an-4=2an+2bn,即。所以数列{an+bn}是首项为1,公比为的等比数列,则an+bn=

①②两式相减可得4an+1-4bn+1=3anbn+4-(3bn-an-4)=4an-4bn+8。所以(an+1-bn+1)-(an-bn)=2,数列{an-bn}是首项1,公差为2的等差数列,an-bn=2n-1。

反思：先用基本量法待定通项,再用通项式子和求和公式构建方程组求解。本题给出两个交汇的递推关系式,探究{an+bn},{an-bn}为等比、等差数列,凸显整体变量和方程组观念下的合理变形,由{an+bn}和{anbn}的通项探究{an}和{bn}的通项更彰显方程组求解的应用。

变式3已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*。

(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出bn；

(2)求T2n。

因此,{bn}是公比为的等比数列。

(2)由(1)可知an+2=,所以a1,a3,a5,…,是以a1=1 为首项,为公比的等比数列；a2,a4,a6,…,是以a2=为首项,为公比的等比数列。

聚焦4 裂项用公式求特殊数列的和

例4(2019 年高考天津卷理19)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列。已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4。

(1)求{an}和{bn}的通项公式。

(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=k∈N*。

①求数列{a2n(c2n-1)}的通项公式；

解析：先待定系数求公比和公差确定数列通项公式,再对通项变形,裂项用公式求和。

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q。依题意可得：

故an=4+(n-1)×3=3n+1,bn=6×2n-1=3×2n。

所以{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=3×2n。

和(1)的结论,则：

②对通项变形使用a2n(c2n-1)=9×4n-1,再裂项,用等差和等比数列求和公式,可得：

变式4(2018年天津卷文18)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*)。已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6。

(1)求Sn和Tn；

(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值。

解析：基本量法构建方程组求通项进而求和,依据和式的特征裂项,直用公式求和待定参数。

(1)设等比数列{bn}的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0。

由q＞0,可得q=2,故bn=2n-1。

设等差数列{an}的公差为d。由b4=a3+a5,可得a1+3d=4。由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16。从而a1=1,d=1,故an=n。所以

(2)由(1)知T1+T2+T3+…+Tn=(21+22+23+…+2n)-n=2n+1-n-2。

整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4。所以n的值为4。

聚焦5 裂项相消法求证特殊数列和不等式

例5(2019年高考浙江卷20)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足：对任意n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列。

(1)求数列{an},{bn}的通项公式；

解析：先用待定系数法求公比和公差,确定数列通项公式,再对通项放缩变形,裂项相消法求和证不等式。

则数列{an}的通项公式an=2n-2,其前n项和

由对任意n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列,则n(n-1)+bn,n(n+1)+bn,(n+1)(n+2)+bn成等比数列,即：

(2)结合(1)中的通项公式两次放缩可得：

反思：本题主要考查数列通项公式的求解,裂项求和的方法,数列中用放缩法证明不等式的方法等知识,意在考查同学们的转化能力和计算求解能力。

通项为分式的数列求和,常选用对通项部分分式裂为两项,然后重新将数列求和的每一项裂为两项,展开后构成n-1 个零,进而求出数列的和。有时需先放缩后求和证明数列不等式,如本题对分式通项两次放缩变形应注意通项成立的条件和裂项后相消项的目标意识。

变式5(2016年高考天津卷理数)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d,对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项。

解析：(1)利用题设和定义求证,由

则cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2为定值,{cn}为等差数列。

聚焦6 等差与等比对应项的积构成的数列,求和用“错位相减法”

例6(2019年高考天津卷文数18)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0。已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3。

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}满足求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*)。

解析：先用待定系数法求通项公式,而后数列求和时部分和可用等差求和公式,部分和需错位相减法。

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q。

故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n。

所以,{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n。

反思：用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型,等差与等比对应项的积构成的数列；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”相减；(3)若公比为参数,应分公比等于1 和不等于1两种情况求解。

变式6(2018年高考浙江卷20)已知等比数列{an}的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项。数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n。

(1)求q的值；

(2)求数列{bn}的通项公式。

解析：根据条件和等差与等比数列的通项公式待定公比值,根据一般数列的切入点确定整体数列{(bn+1-bn)an}的通项,通过叠加法以及错位相减法求数列的通项bn。

(1)由a4+2 是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,代入a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8。

因为q＞1,所以q=2。

(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn。

由(1)可知an=2n-1,所以