【摘 要】培养学生的逻辑思维能力是数学教学的一项重要任务，每一节数学课例设计、教学过程都要遵循逻辑连贯性，创设顺畅自然的教学环境，催生学生的创新思维。“圆锥曲线”这一章由于各种因素的制约，在教学中要全程贯穿逻辑连贯性有不小难度，需要有明朗的主线、厚实的基础和结构良好的知识链条等确保教学逻辑的连贯性。

【关键词】圆锥曲线;逻辑连贯;教学方法

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2019）51-0043-04

【作者简介】蒋寿荣，江苏省南菁高级中学（江苏江阴，214437）教师，高级教师，江苏省特级教师。

一、教材设计与教学现状

苏教版高中数学选修2-1教材编写人员在相关教学参考用书中提醒广大教师“圆锥曲线”这一章的内容可以采用两种不同的方法组织教学：方法一是把椭圆、双曲线和抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用，这样做可以使学生对圆锥曲线有一个统一的认识，也可以节省教学时间，但教学难度较大;方法二是分别研究椭圆、双曲线和抛物线，对每一种曲线按定义、方程、几何性质分别讨论，这样做，学生较容易接受，但削弱了几种圆锥曲线之间的联系，使得知识凌乱，重复过多。

教材对本章的总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念，了解椭圆双曲线和抛物线的内在联系，再运用方程思想分别研究椭圆双曲线抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。

根据笔者的观察，一线教学中不少教师对本章的教学拘泥于教材的设计，在教学逻辑上不够连贯。常见的情形如下——

情形1 在探究“截线上任意一点到两个定点的距离之和等于常数”这一教学过程中，教师缺少明确的目标引领，似乎是拖着学生学习：添两个辅助球，在截线上任取点M，过点M作母线，证明点M到两切点的距离之和是定值（当然，这确实是教学难点）。学生一路迷茫，不知下面将会发生什么，直至最后才感受到了结论的神奇、数学的伟大。

情形2 有的教师通过课件的动态展示，让学生类比猜想截线上的点有什么特征，直接引出双曲线定义;有的教师则帮助学生引进“Dandelin双球”，去证明截线上任一点到两定点的距离之差的绝对值是常数，再给出双曲线定义。对于前者来说，难度极大，偶然性太强;对于后者，当堂再证一次，还是只能拖曳着学生学，既浪费时间，又剥夺了学生创造性思维的空间与机会。

情形3 大多授课教师都遵循教材，直白给出：截线上任一点到平面内一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，从而揭示抛物线的定义。

情形4 多数教师对椭圆定义中“常数大于F1F2”、双曲线定义中“常数小于F1F2”等知识点的讲解是事后修缮、补充解释，缺少学生的主动探究与知识生成。

情形5 也有少数教师跳过第一节圆锥曲线不教，直接教第二节椭圆，等双曲线抛物线分别教完以后，再点出其实椭圆、双曲线和抛物线都可以通过用不同方向的平面去截圆锥面而得，因而统称为“圆锥曲线”。这样的处理在每种曲线定义的引入上比较突兀，缺乏连贯性，让学生失去了对它们丰富多彩的内在联系的探究之趣。学生失去了自我创造的冲动与幸福感，更缺少了对内隐于教材的核心问题（解析法、定点定值问题、轨迹问题）的认识与升华。

二、凸显逻辑连贯性的教学实践

这一章到底该如何起步，笔者经过几轮教学实践，深感逻辑连贯的重要性不容忽视，应以此为核心思想来组织教学，下面是笔者对本章起始课的教学实录。

问题1：平面内到一定点的距离等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程，畫出此轨迹。

问题2：请将问题1稍作修改，编制一些类似的新问题。

生1：将平面内改成空间中，即“空间中到一定点的距离等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程”。

师：很好，从平面问题拓展到空间问题是我们常用的类比思维方式，平面问题空间化、空间问题平面化也是我们常用的化归转化策略。现在我们学习的课程是平面解析几何，接下来请保持“平面内”这个大前提条件不变，眼光聚焦到其他条件再作变化创造。

生2：将一定点改成一定直线，即“平面内到一定直线的距离等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程”。

师：很好，“点”换成“直线”是一种很有价值的变式思维，是一种很好的“升维”方式，提升了思维层次。请再换个角度思考问题，用更数学化的眼光看待问题，换一种“升维”方式，继续变题。

生3：将一定点改成两定点，即“平面内到两定点的距离等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程”。

师：很好，从一个到两个是一种非常自然的变化方式，也是一种极为经典的“升维”方式，请问此题答案是什么？大家不妨讨论交流一下。

生4：是两个圆的公共点，可能是两个点，也可能是一个点或不存在公共点。

师：很好，也就是说这样的点只有有限个或不存在，因而这个变题的研究价值不是特别大。能否在此基础上略作调整，使其更具研究价值？大家可以再讨论一下。

师：我们在“圆的方程”一章中，曾经有一个经典习题与此密切相关，想起来了吗？

生5：想起来了！“平面内到两定点的距离之比等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程”。 师：此答案是——

众学生：圆。

生6：不一定，要分类讨论！如果定值为1，那么轨迹是一条直线;如果定值不为1，那么轨迹是一个圆。

练习1：已知线段AB的长为2，求到点A、B的距离之比为λ的点的轨迹方程，并画出此轨迹。

师：刚才将“一定点”换成“两定点”，是很有意义的突破，将极大地拓宽研究领域。但刚才后面还要随之应变为“距离之比为定值”，只能这样变吗？请尝试其他方案。

生7：后面还可变为“距离之和为定值”“距离之差为定值”“距离之积为定值”。

师：太好了！同学们带出了一串问题，展示出了非常宝贵的数学思维品质，今天我们先研究“距离之和为定值”的情况。

练习2：已知线段F1F2的长为常数2c，动点P到定点F1，F2的距离之和为常数2a。求动点P的轨迹方程，并画出此轨迹。

师：关于轨迹问题，刚才我们已经积累了这样的经验：有些可以“未算先画”（即不必求出轨迹方程，就可以直接画轨迹），有些只能“先算再画”（即先求出轨迹方程，再根据方程画出图形）。此题到底路在何方呢？请同学们合作解决这个问题，第一、二小组的同学尝试未算先画的途径，第三、四、五、六小组的同学尝试先算再画的途径，并各派一个代表上来板演。

教师适时提醒学生用预先备好的钉子和绳子来进行模拟。让学生为所画出的图形命名，最后达成共识称其为“椭圆”，并引出椭圆的定义。

练习3：请列举一些我们生活中见到过的椭圆。

练习4：课件演示用平面去截圆锥面，请问所得的截线是否为椭圆？

教学过程中发现，先算再画的学生在探求方程时都能主动地先建立好直角坐标系，且基本都是以线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建系，教师在肯定学生具有对称美、和谐美的审美观的同时，提醒他们思考这是否是唯一的合理方案，从而让学生主动意识到“以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建系”也是值得一试的合理方案，再请两个学生代表分别板演这两种方法，最后引出椭圆的标准方程。

练习5：将x2+y2=4圆上各点的横坐标不变，纵坐标都变为原来的一半所得的新图形是怎样的，请先画出来，再说出其名称及理由，最后再写出其方程。

三、关于数学教学逻辑连贯性的反思

首先，要有明朗的主线。面对变化多端、奥妙无穷的数学问题，很多学生只能仰慕其高深，感叹其莫测，敬而生畏。而我们教师则往往怨学生缺少复习整理、归类练习。除此之外，我们能否坚持在知识的初次生成时就以清晰的脉络、明朗的主线呈现出来呢？在不影响培养学生创造性思维能力的同时，教师能否创造性地让学生感到知识不是那么错综复杂呢？

本课例是以求动点的轨迹方程为主线，且这些动点满足的条件是学生自发提出的，是在某一个母问题的基础上演变生成的一系列子问题，由这样一条简洁明朗的主线串起来的问题对学生而言是亲切自然的，是有探究欲望的，层次分明的问题本身及其解决方案会留在他们记忆深处。

其次，要有厚实的基础。例如在本课例中，需要教师在教学苏教版高中数学教材必修2“直线与圆”一章时就开始谋划，通过探究直线方程，用联想类比的手段探究圆的方程，让学生深刻体会建立坐标系的必要性、科学性，并及时归纳提炼出求一般曲线方程的一般步骤，这是本节课的主线。如果离开了以上种种根基的支撑，逻辑思维的起点在哪？创造性地变式思维灵感哪里来？又何谈连贯？所以若没有大局意识、没有大视野下的谋划、铺路搭桥去谈某节课的逻辑连贯性必将捉襟见肘。

最后，要在知识链条中生长出新问题。例如在本章中，上完“椭圆”后教师可将学生7的问题“平面内到两定点的距离之差等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程”作为新一轮的逻辑思维起点，先简单回顾“椭圆”的学习流程，从而自觉地进行类似探究，依次画出双曲线、得出双曲线的定义、求出双曲线的方程、研究双曲线的性质。

上完“双曲线”后，教师可将学生5的变题“平面内到两定点的距离之比等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程”作為逻辑思维起点，先回想其答案是什么？怎么推导的？然后让学生继续变题，创造性地提出新问题。当遇到障碍时再略作引领，由学生提出并一起思考“平面内到一个定点与到一条定直线的距离之比等于定值的点的轨迹是什么？并求出其方程”。可以先研究定值为1的情形，从而引出对“抛物线”的学习。

上完“抛物线”一节后，教师可以引导学生再回顾第一课时中的练习4，通过阅读教材，部分学生应该能解释清楚该截线上任一点都满足椭圆定义。然后变换截割方向，让学生先猜想所得截线分别是什么图形，然后依据相关定义说明理由，从而引出圆锥曲线的概念。

在教学教材“圆锥曲线的统一定义”时，教师可以提出以下问题来进行连贯性教学：

①椭圆、双曲线、抛物线有哪些共同属性？（从运动生成的方式来看，都可以用平面截圆锥面而得）

②三者的方程呢？（椭圆与双曲线相似，抛物线与它们差异很大）

③三者的定义呢？（椭圆、双曲线都是到两定点的距离问题，很相似，抛物线是到一个定点与到一条定直线的距离问题，与它们差异很大）

④那抛物线是否也可以看作平面内到两个定点的距离关系问题呢？（和、差、商都研究过了，那会否是积呢？）

⑤反过来，椭圆、双曲线是否像抛物线那样，是平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离关系问题呢？（经过一番探究，排除了和、差、积的可能，问题逐渐聚焦到：平面内到一个定点与到一条定直线的距离之比等于定值λ的点的轨迹是什么？λ=1时，已研究得知轨迹是抛物线，λ≠1时，轨迹又是什么？）

总之，逻辑连贯性要求我们不拘一格处理教材，要在原有知识链中自然生长出新问题，让学生自发生成联系密切的问题串，其中部分问题需趁热打铁解决掉，有些则需要给学生留出足够的时空，在合适的时机再回首解决。

【参考文献】

[1]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报，2013（6）：5-8.