高莹

一、杨辉三角之由来

杨辉三角是一个特殊的数阵，最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中。南宋时期，杨辉在其著作《详解九章算术》中予以引用，且注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。元朝时期，朱世杰对杨辉三角作了进一步研究和推导，得出了高阶差分数列的求和。

据说在1636年，法国帕斯卡在13岁时发现了这个三角形，这个表在欧洲被认为是帕斯卡首先发现的，因此也被称作“帕斯卡三角”。但此时已经距我国杨辉三角的发现过了六百年左右，这足以说明我国古代数学的卓越成就，在世界数学史占有重要地位。因此有些书上称之为“中国三角形”（Chinese triangle）。

杨辉三角在整个数学史中的应用非常广泛，北宋的贾宪用其手算高次方根，元朝的朱世杰用其研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用其算微积分，华罗庚拓宽思路，还谈到了差分方程，无穷级数等。同学们，今天就让我们穿越时光隧道，沿着大师的足迹，来一次杨辉三角的探究之旅！

二、初探杨辉三角

探究角度一：杨辉三角与二项式系数

问题1：通过二项式定理的学习，请同学们观察当n依次取1，2，3…时，（a+b）n展开式的二项式系数，即如图2所示的二项式系数表，以及杨辉三角如图1，请大家说说它们之间的联系？

生：杨辉三角的第n行就是（a+b）n的二项式系数。

问题2：结合杨辉三角（图1）以及二项式系数表，找一找二项式系数有着怎样的规律？二项式系数又有哪些性质？

生3：我发现每一行大小的变化都是有规律的，当n为偶数时，中间的一项最大，当n为奇数时，中间的两项最大③。

生4：每一行的和为一个有规律的数，1，2，4，8…，即C0n+C1n+…+Cnn=2n④。

师：很好，大家结合杨辉三角发现了二项式系数的规律和性质，其实啊，杨辉三角不仅与二项式系数有种种联系，它还与我们生活中的一种有趣的现象相联系，讓我们借助杨辉三角来进行分析。

拓展1：如图3的弹子游戏，小球（黑色）向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物等可能地向两侧第三层跌落，如此，一直下跌，小球最终落入最底层，根据落入区域获取奖品。试问：为什么中间区奖品低于两边区奖品？

拓展2：除了与生活相关外，还与数学本身有联系，下面我们利用③和集合联系起来：恰好可以解释必修一学习的{a1，a2…an}中子集的个数为什么是2n。

拓展3：继续联系我们学习的知识，“纵横路线图”是学习组合时接触的一类问题：若某地区的部分街道图是纵横各有四条路，如果从A处走到B处（只能由北到南，由西向东），请问有多少种不同的走法？将纵横路线图旋转如图4的杨辉三角图，对应的结果一目了然就

是C48。

师：可见杨辉三角不仅仅和二项式系数有关系，还对我们解决一些生活问题，以及其他数学问题都有很大的帮助，感觉用杨辉三角一解释就变得容易了，这也是杨辉三角的魅力所在，那么它还有什么奥秘呢？我们继续探究。

三、再探杨辉三角

探究角度二：杨辉三角与数列

问题3：换一个角度观察杨辉三角，将杨辉三角摆成直角三角形，观察由这些数字构成的数列，你能否发现其中的规律？

结论1.数列求和有规律：

即：在第r+1条斜线上（从右上到左下）前n-r个数字的和，等于第r+2条斜线上的第n-r个数。

拓展4：其中结论1同时还在生活当中应用普遍：

“堆垛术”中常见的三角堆垛，生活中在食品橱窗中看到的将食品罐堆放成如下的形式：底层是每边为n的三角形，依次往上堆边长少1的三角形，求食品罐的总数。（这就是结论1中r=4的模型）是不是特别简单？

问题4：从另一斜着的角度观察数字，例如第一斜线的数字是1，第二斜线的数字是1，第三斜线的数字是1，1，第四斜线的数字是1，2，第五斜线的数字是1，3，1，第六斜线的数字是1，4，3，…求出这些数字的和，并仔细观察，你能发现什么规律？

1，1，2，3，5，8，13，21，34…

结论2.此数列满足：a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n≥3，n∈N）

拓展5：这就是著名的斐波那契数列。

中世纪意大利数学家斐波那契的《算术之法》中提出了一个很有趣的问题：假定一对刚出生的小兔子一个月就能长成大兔子，过一个月生下一对小兔子，且之后每个月都生一对小兔子。设所生一对兔子均为一雄一雌，且均存活。问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？

关于兔子繁殖问题从杨辉三角可以得到答案：斜线上各行数字的和1，1，2，3，5，8，13，21，34…，正好是第一个月后的兔子，第二个月后的兔子，第三个月后的兔子，……，第n个月后的兔子的对数。答案就是上述数列的第13个数，即233。这个数列称之为斐波那契数列。它所具有的性质都是杨辉三角中所蕴含的性质。

四、三探杨辉三角

探究角度三：杨辉三角的“形”

问题5：请同学们将图中杨辉三角的偶数、奇数分别标出，会有什么发现？

发现1：所有偶数都呈倒立的正三角形状排列，奇数都呈正立的正三角形形状排列;

发现2：边长特点：3，7，15，31，63，…规律：3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，即所有偶数依次排出以2n-1（n∈N*）的长度为边长的倒立正三角形。

拓展6：把这些倒立正三角形从杨辉三角中挖去，剩余部分就是有趣的西尔平斯基衬垫.

如图5.（由波兰数学家西尔平斯基于1951年发现，故而得名）

这体现了杨辉三角的“形”的结构特点，也体现了数学的简洁美和抽象美。

五、小结与收获

探究杨辉三角的“数”与“形”：

西尔平斯基衬垫体现了杨辉三角的“形”的结构特点，而“形”决定于杨辉三角“数”的构成，是杨辉三角的本质的反映，杨辉三角“数”与“形”的结合如此完美令人叹为观止。杨辉三角与组合数、数列、数学归纳法联系在一起，合乎情理，一气呵成，体现了数学的和谐之美，同时，杨辉三角又能与著名的斐波那契数列、有趣的西尔平斯基衬垫联系在一起，使人感受到数学学习的奥妙无穷，体现了数学的奇异美。杨辉三角还是对一些数学规律的高度概括和抽象，所以说数学即是蕴含“真”科学，又是蕴含“美”科学，可谓是“真美”。

编辑 李烨艳