蒋金团

（云南省保山市施甸县第一完全中学，云南 保山 678200）

一、问题的描述

在美国，曾经流行过这样一个数学游戏。这个游戏的规则十分简单，任意写出一个自然数N，如果是个奇数，则下一步变换成3N+1；如果是个偶数，则下一步变换成N/2。得到第一个结果之后，按照规则重复运算，则无论N是怎样一个数字，最终无法逃出落入底部的4-2-1-4循环。这就是著名的“冰雹猜想”，在亚洲也被称作称角谷猜想。

二、问题的分解

（一）放大倍数

1.“3N+1”与倍数的关系

对于任意奇数N,根据角谷变换规则,它的第一步将变为3N+1,此时放大了多少倍?

①当N=1时,倍数=4；②当N为大于1的奇数时,“乘3加1”变换相当于把奇数放大了三点几倍.

（二）步数讨论：任意自然数经过多步角谷变换之后,能回到自身?

为了讨论的方便,我们设起始数为偶数.因为对奇数实施“乘3加1”变换时,它将变成偶数,具体来说，尾数为1的每一个奇数都对应一个尾数为4的偶数,尾数为3的每一个奇数都对应一个尾数为0的偶数,尾数为5的每一个奇数都对应一个尾数为6的偶数,尾数为7的每一个奇数都对应一个尾数为2的偶数,尾数为7的每一个奇数都对应一个尾数为2的偶数,只要证明偶数经过多次角谷变换之后都后回到谷底1,则奇数同样如此.

1.偶数经过两步变换能回到自身?

设X1为起始偶数项,X1要想回到自身,只能满足放大倍数等于缩小倍数,即解得因此没有偶数经过两步变换能回到自身。

2.偶数经过三步变换能回到自身?

设X1为起始偶数项,X1要想回到自身,只能满足放大倍数等于缩小倍数,所以流程中只能有两次”除以2”变换和一次“乘3加1”变换,根据流程可列如下方程：

结论：在一切偶数中,只有2、4两个数经过三步变换能回到自身.

3.偶数经过四步变换能回到自身?

四步变换只能是如下的组合：3次“除以2”变换和1次“乘3加1”变换；2次“除以2”变换和2次“乘3加1”变换；1次“除以2”变换和3次“乘3加”变换；显然任意一种组合,都不可能满足放大倍数等于缩小倍数,所以一切自然数经过四步变换都不可能回到自身,同理可讨论一切自然数经过5步变换都不可能回到自身.

4.偶数经过六步及其以上的变换时,能回到自身?

当变换过程有六个步骤时,流程至少包含两个“乘3加1”变换,否则放大倍数远小于缩小倍数,但是一旦出现两次“乘3加1”变换,至少有一次的放大倍数为”三点几倍”,出现小数,而缩小倍数只能是偶数,两者不可能相等.所以一切偶数经过六步及其以上变换时,都不可能回到自身.

综上所述,“2、4”除外的一切偶数经过角谷变换后都不能回到自身,无论变换过程有多少步；因此“1”除外的一切奇数经过角谷变换后都不能回到自身,无论变换过程有多少步。即“1、2、4”除外的一切自然数经过角谷变换都不能回到自身。

（三）讨论变换特点

根据尾数，将自然数分成十行，每一行都是公差为10的等差数列，第一行的通项公式为10k1+1(k1=0、1、2、3、...）；第二行的通项公式为10k2+2(k2=0、1、2、3、...）；第三行的通项公式为10k3+3(k3=0、1、2、3、...）；第四行的通项公式为10k4+4(k4=0、1、2、3、...）；第五行的通项公式为10k5+5(k5=0、1、2、3、...）；第六行的通项公式为10k6+6(k6=0、1、2、3、...）；第七行的通项公式为10k7+7(k7=0、1、2、3、...）；第八行的通项公式为10k8+8(k8=0、1、2、3、...）；第九行的通项公式为10k9+9(k9=0、1、2、3、...），第十行的通项公式为10k10+10(k10=0、1、2、3、...）。

根据变换规则，对奇数实行“乘3加1”变换之后将变为偶数，具体如下，第1行奇数将演变为第4行偶数，第3行奇数将演变为第10行偶数，第5行奇数将演变为第6行偶数，第7行奇数将演变为第2行偶数，第9行奇数将演变为第8行偶数.

根据变换规则，对偶数实行“除以2变换”变换，相应的约束关系讨论如下。

1.第2行偶数的变换特点

对第2行偶数实行“除以2”变换之后，有一半偶数转变为第1行奇数，另一半偶数转变为第6行偶数，相应的约束条件如下：

上述讨论结果可用如下流程图表示：

上述讨论结果可用如下流程图表示：

同理可讨论其它行偶数除以2之后的变换特点和上述流程类似，最后可把各行变换组成如下网状结构。

通过以上的网状图可以得出一个重要结论：当自然k数从某行演变为另外一行时，每碰到“除以2”变换一次，符合条件的k值数量都会在原来的基础之上减少，同时每碰到“除以2”变换一次，符合条件的k值之间的间隔将增大，因为碰到“除以2”变换时，k值将会分成奇偶两支。

三、问题的解决及相关的证明

为了讨论方便，在上面的网状图中，我们将“第4行→第2行→第6行→第8行→第4行”这一路径称为主链。因为第4行的数值演变成第2行的数时，演变结果包含第2行的一切数值（2、12、22、32、42……）；第2行的数值演变成第6行时，演变结果包含第6行的一切数值（6、16、26、36、46……）；第6行的数值演变成第8行时，演变结果包含第8行的一切数值（8、18、28、38、48……）；第8行的数值演变成第4行时，演变结果包含第4行的一切数值（4、14、24、34、44……）。

假设有一个数能在路径“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之间不停循环，则将会有更多的数能在该环形圈里面循环，因为1、2 、4除外的自然数经过角谷变换之后都回不到自身。这样一来，在无穷次循环过程中，有一些满足条件的数之间的距离将永远保持不变。但另一方面，第6行的数经“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”路径再次回到第6行时，接下来是除以2变换，满足条件的数都会减少，每循环一次，满足条件的数就减少一次，即满足条件的数与数之间的距离終会改变，这与前面的分析产生了矛盾,这说明前面的假设是错误的，因此没有数能在路径“第6行→第3行→第10行→第5行→第6行”之间永远循环下去。用同样的方法可以证明，没有数能在路径“第8行→第9行→第8行”之间无穷循环；也没有数能在路径“第1行→第4行(第7行)→第2行→1行”之间无穷循环(1、2、4三个数除外)。综上所述，一个数最终没有落入底部的“4-2-1-4”循环，则这个数将无数次经过主链的每个节点，这样来问题就好办多了。

为讨论的方便，我们设“第4行”的数为首项,如果有一个数没有落入谷底1.则这个数将无数次演变成主链上的节点数，而节点数又可以看成是第4行的某个数沿着主链多次除以2得到的，因为变换可以无穷无尽持续下去，这就要求第4行中有一个数能沿着主链无穷变换下去（如图丙所示）。

但从循环圈的角度讲，第4行的某个数沿着主链无穷变换下去，实质上要求该数能在“第4行→第2行→第6行→第8行→第4行”循环圈里永远变换下去，如图丁所示。根据前面的结论，“1、2、4”除外的一切自然数经过角谷变换都不能回到自身，因此第4行的某个数沿着图丁所示的循环圈再次回到第4行时，它已经变成第4行的另一个数，即只要有一个数能在图丁所示的循环圈里面无穷循环，则将会有更多的数能在循环圈里面无穷循环，也就是说，在循环过程中，有一些满足条件的数值，它们之间的间隔将保持不变。但事实上，第4行的所有数值沿着主链循环变换时，每碰到“除以2”变换一次，符合条件的数值就减少一次，满足条件的那些数值之间的间隔终会改变，这与前面的分析产生了矛盾，因此前面的假设“如果有一个数没有落入谷底1”是错误的，角谷猜想得证。