王兵锐 张新刚 马晓普

摘  要：在模拟信号转数字信号的通信过程中，带通采样起着非常重要的作用。然而带通采样涉及连续傅里叶变换和离散傅里叶变换等知识，复杂难懂。一些文献偏重数学公式的推导，涉及较多数学知识，难以理解。尤其不同的文献采用的带通采样公式不同，导致带通采样公式有多种表达式。本文采用浅显易懂的语言描述带通采样，并详细推导不同公式之间的关联性，揭示这些公式的统一性。仿真实验表明测试得到的带通采样结果与理论一致。

关键词：带通采样;傅里叶变换;频域;带宽

中图分类号：TN929      文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2019）24-0055-03

Abstract：In the process of converting analog signal to digital signal，bandpass sampling plays a very important role. However，bandpass sampling involves of continuous Fourier transform and discrete Fourier transform，which is complex and difficult to understand. Some references lay particular stress on the deduction of mathematical formulas，which is not easy to understand. Especially，different bandpass sampling formulas are used between different references，which leads to many expressions of bandpass sampling formulas. In this study，the bandpass sampling is described in plain language，and the correlation between different formulas is deduced in detail to reveal the uniformity of these formulas. The simulation results show that test results are in agreement with the theory.

Keywords：bandpass sampling;Fourier transform;frequency domain;bandwidth

0  引  言

芯片只能处理数字信号，然而现实生活中的很多信号是模拟信号，因此需要将模拟信号转换为数字信号[1]。在转换过程中需要三个步骤：采样、量化、编码。采样又称为抽样或取样，把时间连续的信号转换为时间不连续的脉冲。该脉冲信号称为采样信号，采样信号在时间轴上是离散的，但在函数轴上仍是连续的。把采样信号变为在时间上离散，在幅度上也离散的过程叫作量化。量化过程是一个数值分层过程。即四舍五入过程。编码是将量化后的数字信号的幅值，变换成一组组对应的二进制数组。第一步的采样最为关键，关系到模数转换，再到数模转换。经过几次变换，传输的信号还要保持不变，这样的通信才算完整可靠。不失真的采样是值得分析和研究的。而且采样分为低通采样和带通采样，带通采样涉及大量数学运算，比较难懂，是通信相关课程中的难点和重点。

1  低通采样分析

由于低通采样比较容易理解，本文从低通采样开始讨论，如图1所示。

对一个连续时域信号m（t），采样后变为时域离散但幅值连续的采样信号s（t），如图1（a）所示。该信号变化缓慢，频率偏低。根据傅里叶理论，连续非周期信号对应的频域曲线是非周期连续的波形，而离散非周期信号对应的频域曲线是周期连续的波形。抽样之后s（t）的频域曲线，是m（t）的频域曲线周期拓展的结果。经过傅里叶变换，s（t）相应的频域曲线s（f）应该在O附近，如图1（b）所示。

由连续时域信号m（t）变为离散时域信号s（t）的过程是采样，如果随意采样，也就是随意把m（t）变为s（t），传输中容易失真。如何采样，才能保证信号无失真正确传输是关键问题。奈奎斯特提出低通采样定理[2，3]，采样时的频率fs的取值应该满足fs≥2fH，这样才能保证最终不失真地还原出m（t），完成数模转换。现从频域上进行观察，并举例说明，令fH为2，则fs的最小值为4，如图2所示。通过图2的示例可以清晰地发现，s（t）的频域函数s（f）的曲线没出现重叠的情况，换言之，频域波形不出现重叠是无失真传输的重要保障。

2  带通采样推导分析

带通采样在通信接收中具有重要的作用[4，5]。设带通时域波形x（t）如图3（a）所示，相应的频域波形x（f）如图3（b）所示。

（a）时域信号

（b）频域波形

该测试中，实际使用的采样频率fs为300Hz，对测试信号进行抽样，得到带通抽样信号y（t）如图6（a）所示。抽样信号的频谱为测试信号频谱y（f）的拓展，如图6（b）所示，可以发现拓展后的频域波形没有重叠，说明采样频率fs设置为300Hz是合适的。

针对频带受限的带通信号，在频率范围（fL，fH）内，进行采样研究时，许多资料采用不同的公式定理，给学生们带来一定困扰。且涉及傅里叶变换、时域频域联系等数学知识，不易理解。本文先引入易懂的低通采样定理，进行了分析，并用示例进行了讲解。然后针对两种不同的带通采样定理，进行了详细的推导，经过数学分析证明这两种公式都是正确的，且具有统一一致包含性。最后采用MATLAB对带通采样进行具体的实验测试，实验结果与理论相符合。

（a）时域信号

（b）频域波形

图6  抽样后的带通信号

参考文献：

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[3] 侯明星.基于压缩感知技术的异构型物联网数据处理 [J].物联网技术，2018，8（11）：60-61+63.

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[9] 樊昌信，曹丽娜.通信原理：第7版 [M].北京：国防工业出版社，2012：280-285.

[10] 南利平，李学华，张晨燕，等.通信原理简明教程：第2版 [M].北京：清华大学出版社，2007：116-120.

作者简介：王兵锐（1986-），男，汉族，河南南阳人，讲师，博士，研究方向：卫星通信、FPGA设计以及智能应急;张新刚（1979-），男，汉族，河南南阳人，副教授，硕士，主要研究方向：人工智能、计算机工程;马晓普（1975-），男，汉族，河南南阳人，教授，博士，主要研究方向：数据挖掘与云计算。