苏玖

一、真题展现

（2018年全国三卷第6题）在平面直角坐标系xOy中，直线z+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2）²+y²—2上，则△APB面积的取值范围是（  ）

A.[2，6]

B.[4，8]

C.[√2，3√2]

D.[2√2，3√2]

二、思维延伸

本题实质是考查点到直线的距离公式及圆的方程运用，给出三种不同的思路，其中几何直观法与动态观点，较简洁明了.如果改为点P在椭圆上运动，又会有什么样的结果呢？

如果把椭圆的方程换为抛物线的方程，又可以改编为：

（改编2）在平面直角坐标系zOy中，已知直线x-y+2=0分别与x轴，y轴交于点A，B，动点P在抛物线y²=x上运动，则△PAB的面积的取值范围为 _________.

如果再改变曲线形状可以改编为：

（改编3）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：3x +4y+12 =0分別与x轴，y轴交于点A，B，动点P在曲线2 |x-2|+|y-1|=2所围成的平面区域Q（包含边界）上运动，则△PAB的面积的取值范围为__________________.

上述三道改编题都是直线与两坐标轴交点间的线段作为三角形的底边，如果将与两坐标轴的交点改为与圆，点P所在曲线再改变，又可以得到：

（改编4）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2x-y+4=0与圆（x+1）²+y²=4交于点A，B，动点P在曲线y= Inz上运动，则△PAB的面积的取值范围为 ___.

本题中点P的坐标可以用一个量表示，从而建立了关于纵坐标的二次函数，再利用配方法求出最小值，但无最大值，这是因为圆和椭圆都是封闭图形，而抛物线与双曲线都是开放型图形，本题y的取值范围是一切实数.

本题中的点P的坐标的制约条件是不等式，因此建立函数比较困难.我们从图形结构上考虑，利用平行线移动法使问题更加简洁，这种解法依据两条平行线间距离公式，实质还是点到直线距离公式的应用，明了d1+d2的最大值为2r.

本题思路一是函数思想与参数方法，利用三角函数的有界性，很快求出d1，d2的最大值;思路二从几何直观出发，利用数形结合思想证明了d1+d2的最大值为2r，即为圆的直径.

改编7解析：本题如果建立目标函数求解是很困难的一件事情，那么必须将求解问题策略转化为用几何直观的观点求解，由于AB =4，于是只要求点P到AB距离d的最大值即可，先固定点P，直径绕原点0旋转，过点P作直线AB的垂线，垂足为H，因此PH≤PO，即当PO⊥AB时，PH的最大值为PO，于是问题转化为求原点0到圆C上点的距离最大值.再利用几何直观可得PO≤CO+r，当且仅当点P是OC的延长线与圆c的交点时等号成立，所以s≤1/2AB×（OC+r）=2×（5+1）=12，故Smax= 12.

四、回顾悟道

这组高考改编题属于动态问题，改编的想法：一是改变三角形中部分或全部顶点的位置，使其由静态变为动态，如改编7;二是当一边确定，只要改变顶三个点（动点）所在曲线的形状，如改编1～4;三是改变结论，如改编5，由三角形的面积范围求曲线的方程;四是改变三角形的形状，如改编6，将三角形改为四边形等等，但重点考查学生的几何直观想象能力，充分利用数形结合思想求解，凸显数学核心素养中的数学抽象、直观想象、推理证明等.当目标函数困难时，应该学会如何思考，怎样改变求解思路等等，

五、小试牛刀

（2018年北京卷第7题）在平面直角坐 标系xOy中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x- my-2=0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（  ）

A.1

B.2

C.3

D.4

（改编1）________________________________________.

（改编2） ______________________.

提示：改变点P所在的曲线方程，如圆改编为椭圆、菱形、正方形等;或者改变动直线方程，如动直线所经过的定点变为（1，2）;也可以已知d的最大值确定曲线方程，如圆变为待定的圆（半径待定），而已知最大值为4等.