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如何找到思维的开窍点

2019-09-05安振平

新高考·高二数学 2019年4期
关键词:正三角形边长勾股定理

安振平

1.问题呈现

笔者看到,唐秀颖先生主编的《数学题解辞典(平面解析几何)》(上海辞书出版社,1983,06)-书的第38题为:

问题1-1:已知三平行线l1,l2,l3.l1与l2之间,l2与l3之间的距离分别为a,b.正△ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,求此正三角形的边长.

这道经典的题目,通过加工,竟然出现在2007年四川高考理科卷上.

问题1-2:如图1,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正△ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长是( )

2.解题分析

本考题条件简明,情境设置独特,不少考生望而生畏,不知如何求解.

解题思维的起点,来自于深度的理解题意,翻译题意,实施文字语言、图形语言和符号语言的转化.把平行直线“l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2”显示为图形语言,就需要作出题目中平行线的垂线段,垂线段作在哪里呢?

分析1 设出正三角形的边长,通过勾股定理,建立方程.

解法1 如图2,过点A作AF⊥l3交l2于点E,交l2于点F,过点B作BD⊥l3交l3于点D.则AE =l,BD =EF =2.

设正△ABC的边长为x.

对Rt△BCD,Rt△ACF和Rt△ABE,应用勾股定理,得

说明 本解法用到的知识仅局限于初中范围,设元,构造方程,把无理方程转化为有理方程,检测了考生的基本运算能力.当中的“平方两次”的技巧,这是高中教材“椭圆标准方程”的推导过程中用过的方法.当然,本方程也可以探究其他的技巧解答方法,留给读者去完成.

解题思维的要害、开窍点在哪里呢?同一条线段DF的长度“算两次”.对三个直角三角形,应用了三次“勾股定理”.

分析2 设出正三角形的边长和图2中Rt△ABE的一个内角,通过锐角三角函数的定义,建立方程组.

解法2 如图2,设正△ABC的边长为x,∠ABE =θ,则∠EBC-60°-θ=∠BCD.

对Rt△ABE,Rt△BCD,应用锐角三角函数的定义,有

说明 本解法在列方程组时,仅用到初中范围的知识,但解答需要用到高中的三角公式,巧妙设出角度,应用方程组的观点,借助三角恒等变形,代数运算量要简单一些.

解题思维的要害、开窍点在哪里呢?在于巧设角度和边长两个变量!对两个直角三角形,两次应用了“正弦的定义”.

分析3 从图3中两个直角三角形的相似,设出正三角形的边长,而后应用余弦定理、三角形面积公式构造方程,通过方程方法求解之.

说明 本解法在计算三角形面积时,既用到小学教材里的三角形面积公式,又用到了高中教材里的三角形面积公式,这是最为核心的基础知识,

解题思维的要害、开窍点在哪里呢?同一个三角形的面积,从不同角度“算两次”,就自然获得了需要的方程.

看来,在用条件的过程里巧设、妙列,才可能简单求解,当中,“设、列、解”,值得玩味1

3.变式思考

思考1 对上述解法1里获得的方程,给出类似的问题,就有:

说明 发现了方程表示曲线的对称性,从“方程”变更为“函数”就显得那么自然,区域的“直观”呈现就水到渠成.

数学解题,需要邏辑推理,需要数学抽象,需要构造模型,更需要代数变形和几何直观.转化的功力是解题能力的具体呈现,把陌生问题熟悉化,复杂问题简单化,未知问题已知化.正如上文中的“无理化有理”“几何化三角”“绝对值化分段”等等.

我们可以从这样的分析问题、发现问题、提出问题和解决问题的“修炼”过程中,体验数学学习的奇妙,感悟数学思维的味道.

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