(邮编：432000)

湖北省孝感高级中学

课本是最重要的教学资源，也是学生学习的出发点，根据地.如何充分挖掘课本习题的丰富内涵，揭示解题思想，渗透核心素养，并利用它解决新问题，是数学教师重要的课题.开展课本典型问题的研究性学习，不但有利于引导学生在高考复习中重视课本的再学习，而且可以让学生看到课本题与高考题之间内在的联系，让学生消除对高考试题的神秘感，帮助学生学会思考，看清问题的本质.本文结合教学实践，研究课本中的一个习题，并利用它简解一道2019年北京高考理科试题，以期对如何高效组织高考复习有所启迪.

1 课本习题解答

《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》第124页第5题是：已知圆的一条直径的端点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),求证此圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

从以上两种解法可以看出，直接法单刀直入，需要将圆的标准方程利用因式分解得到最终结论；而利用轨迹思想求圆的方程，曲径通幽，可有效减少运算量.通过本题的解答可以得到一个实用的结论.

2 结论的应用

(2019北京卷理科18题)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1)，(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点，过抛物线C的焦点，作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N，直线y=-1分别交直线OM、ON于点A和B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

解析(1)C的方程为x2=-4y,准线方程为y=1(过程略).

得x2+4kx-4=0,

令x=0,则(y+1)2=4,解得y=1或-3,故以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0,-3).

点评本题虽然是一个定点问题，但是利用课本上的结论，缩短了解题的思维流程，简洁明了，比参考答案要简洁的多.本题易推广得到如下结论：

3 高考试题的推广

证明设直线l的方程为y+m=kx(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).

证明设直线l的方程为x-m=ty,M(x1,y1),N(x2,y2).

4 一点感悟

从以上可以看出，教材是数学能力与思想的载体，教师要引导学生扎根教材，用好课本.课本是命题的源泉，也是解决问题的依据；另外课本是几代人集体智慧的结晶，它具有相当完备的知识体系和能力架构系统，其中的例题和习题是学生解题能力的核心生长点，开展课本典型例习题的研究性学习有利于减轻学生的负担，使学生跳出题海，起到事半功倍的效果.随着数学核心素养的理念不断强化，新高考改革不断推进，将来不分文理科的趋势逐渐形成，相信会有更多的高考题取材于课本，经过加工改造后又高于课本，这能充分体现高考命题依纲靠本，源于教材又高于教材的指导思想.