李环宇，刘 杰

(沈阳工业大学 机械工程学院，辽宁 沈阳 110870)

0 前言

齿轮被广泛应用于机械行业中的各个领域，因此要求具有极高的传动精度，而齿轮在长期运行后，综合环境作用下齿轮将可能会发生点蚀、剥落、裂纹、磨损和断齿等故障。据统计，疲劳破坏是引起齿轮传动系统故障的最主要因素，所以研究齿根裂纹对齿轮传动的影响尤为重要，唐进元等[1]研究了齿轮裂纹参数对啮合刚度的影响，Charri等[2]通过解析法，建立了两种裂纹参数下的单对齿轮啮合模型，分析了裂纹参数对齿轮啮合刚度的影响。Xiao[3]进行参数化编程，模拟了三维齿轮齿根的裂纹扩展。以上成果展示了齿根裂纹对于齿轮传动的影响及意义，早期齿根裂纹故障作为齿轮传动系统常见的故障，对齿轮传动系统的影响非常巨大，因此对实验中的信号提取有效信息进行鉴别是非常重要的。EMD作为一种具有自适应性的信号方法被应用于机械故障诊断的各个领域中，亦可以用来进行早期齿根裂纹故障识别及诊断[4～7]。

本文建立了6自由度的齿轮传动动力学模型，利用势能法得到不同裂纹深度的时变啮合刚度，研究了不同裂纹深度的齿轮系统的振动响应和故障特征。采用EMD方法对复杂的齿轮早期裂纹实验信号进行分解，并对得到的各IMF分量进行频率分析，仿真与实验相结合，得到清晰的裂纹故障特征。EMD方法可以有效的识别齿轮裂纹的早期故障。

1 EMD算法

EMD方法能够将复杂的非线性信号分解为有限个具平稳性的本征模函数[8-11]。其分解是由原始信号S(t)的所有局部极大值点和极小值点，经由三次样条插值函数来获得原始信号上下包络线，再求得其上下包络的均值为m(t)，第一阶IMF分量

h1(t)=S(t)-m(t)

(1)

判断h(t)是否为IMF分量，若不满足，则重复上述过程。

h11(t)=h1(t)-m1(t)

(2)

其中m1(t)为h1(t)的包络线均值曲线。

重复筛选k次得到

h1k(t)=h1(k-1)(t)-mk(t)

(3)

直到满足筛选停止准则：0.2

(4)

设c1(t)=h1k(t)，c1(t)为S(t)的第一阶IMF，其中含有原始信号中最精细的尺度，残余信号r1(t)为

r1(t)=S(t)-c1(t)

(5)

r1(t)重复筛选

rn(t)=Sn-1(t)-cn(t)

(6)

当残余信号rn(t)小于给定值或者成为单调函数则停止，那么原始信号S(t)表达式为

(7)

EMD算法的基函数依赖于自身，分解是使用的是自适应的广义基，EMD分解方法的基函数是一系列正弦函数或者余弦函数,这些函数的幅度及频率是可变的。这也是与小波分解的不同之处,小波分解的基函数是一系列提前设定的小波函数,分解效果的好坏基于函数的选择[12]。

2 齿轮传动动力学模型

2.1 集中质量模型

为了分析含不同深度的齿根裂纹对振动响应的影响，建立6自由度齿轮系统动力学模型，如图1所示。采用集中参数法，假设齿轮啮合无误差，在不考虑摩擦力和齿轮箱体共振的情况下，轴的质量和惯性集中到齿轮上，分析不同裂纹深度的齿轮振动响应与故障特性。

图1 齿轮系统动力学模型

(8)

式中，m1、m2分别为主、从动轮质量；J1、J2分别为主、从动轮转动惯量；Kp1、Kp2为轴承支撑刚度；Cp1、Cp2为阻尼系数；T1、T2为主、从动轮转矩；α为压力角；θ1、θ2分别为主、从动轮x、y方向的转角位移。

齿轮系统的时变啮合力Fm可表示为

(9)

式中，cm为齿轮啮合阻尼；km(t)为时变啮合刚度。δ为沿啮合线齿轮相对位移可表示为

δ=x1sinα+y1cosα+r1θ1-x2sinα+
y2cosα+r2θ2+e(t)

(10)

式中，e(t)为传递误差。

f(δ)为间隙非线性函数，其可以表示为

(11)

式中，b为齿轮间隙。

2.2 时变啮合刚度

建立齿轮时变啮合刚度模型。本文采用势能法求解齿轮啮合刚度的数学模型问题。在此基础上，进一步研究了具有时变啮合刚度的齿轮裂纹系统。

啮合齿轮齿的势能表达式为

(12)

式中，Ix和Ax为等效面积惯性矩;G为剪切模量。

(13)

对于单齿啮合过程，齿轮的整体啮合刚度为

(14)

式中，kh为赫兹接触刚度;kb为弯曲刚度;ks为剪切刚度;ka为轴向综合刚度。

(15)

双齿啮合过程中，其整体刚度为

(16)

其中i(i=1,2)表示第一或第二对啮合齿。此外，kb、ks和ka可以表示为

(17)

当啮合刚度为裂纹齿时，Ixc和Axc分别表示为

(18)

图2 时变啮合刚度

3 仿真结果分析

根据表1及动力学理论，采用能量法计算出的啮合刚度，Runge-Kutta迭代方式求解齿轮动力学方程。在求出不同深度裂纹的啮合刚度的基础上，分析各裂纹深度下的振动响应和故障特征。

表1 齿轮系统动力学模型参数

如图3，各时域波形中，0 mm裂纹为无冲击的平稳波形;2 mm和4 mm具有裂纹的时域波形显示出了明显的周期性冲击波形，且裂纹区域幅值的大小随裂纹的深度增加而增加。比较健康齿轮(a)与裂纹齿轮(b)、(c), 发现脉冲频率为1/Δt=1/0.06=16.667 Hz, 此频率也为故障齿轮所在轴的转频f1，故障出现的冲击信号的脉冲频率符合裂纹故障的特征频率。

图4为不同裂纹深度的相图，其健康齿轮所表现出单周期的运动状态，随裂纹深度的增加，其相图轨迹出现多条运动路径，其运动状态逐渐向多周期运动转变。其振动中的冲击将使得齿轮运动状态变得更加复杂，如未及时发现其故障，将导致裂纹故障加剧，最终导致齿轮传动系统的疲劳失效。

图3 不同裂纹深度的时域波形

图4 不同裂纹深度的相图

为探究其裂纹故障的具体故障特征，对所仿真的信号进行FFT频域分析，如图5所示。发现其随裂纹的不断增加，对啮合频率fe的幅值影响不大，其幅值随裂纹的增加涨率仅为0.000178%，可见其啮合频率的幅值不被裂纹所影响，保持基本不变。但啮合频率及其倍频附近出现明显的边频带fe-6f1,fe-3f1,fe+3f1,fe+6f1，且在仿真信号中健康齿轮的频域中无明显的边频带。另外，随裂纹的增加，其边频带的幅值出现明显的增加，以fe+6f1为例，从2 mm到4 mm，其幅值增长245.67%。

图5 不同裂纹深度的频谱

4 齿根裂纹故障实验

本实验装置主要是由计算机、信号采集仪、信号传感器组成，实验平台用于输入轴、输出轴、齿轮箱及实验台的整体振动测试。图6为齿轮箱内部主动齿轮裂纹位置图。如图7所示为裂纹齿轮耦合转子系统的试验台现场布置情况，左边为电动机，中间为一级减速齿轮箱，右边为磁粉制动器。

图6 裂纹位置

图7 裂纹齿轮耦合转子系统的试验台

利用NI CompactRIO 9074嵌入式机箱，两个NI 9234数据采集卡，两个CA-YD-186加速度传感器，CA-YD-182A加速度传感器×4，66303电涡流位移传感器，66304电涡流位移传感器。现场测点布置位置如图8所示。大齿轮数Z1=75，小齿轮数Z2=55，转速为1 000 r/min，对第7通道传感器采集到的0 mm、2 mm和4 mm空载下三种裂纹深度齿轮箱振动信号进行研究。

图8 测点布置

实验参数如表2，原始信号的时域波形图如图9所示。

表2 实验参数

图9 不同裂纹的原始实验信号

对原始信号进行FFT频域分析，如图10所示。显然其健康齿轮图10a得到的信号谱图，其啮合频率为主要频率,图10b、图10c中的最高幅值频率均为不啮合频率，证明其裂纹故障对频谱有着巨大的影响。为进一步的研究其不同深度的裂纹故障的具体故障特征，采用EMD方法对三组信号分别进行经验模式分解，得到各组信号的本征模式函数IMF分量，如图11所示。对IMF分量进行筛选，从幅值上看，可以清晰的看出前7个为包含原信号特征的IMF分量，选取第6个IMF分量作为研究的对象。对其进行FFT频域分析，如图12所示。

其健康齿轮的主频率仍为啮合频率，但裂纹齿轮的IMF分量的最高振幅在频率948.8 Hz附近，其为啮合频率的边频带fe+2f1，其幅值激增，超过其啮合频率，与Ma等人[12]的研究结果对比，证实符合齿轮裂纹故障的规律。经过仿真、实验、对比，得到了较为全面的齿轮早期裂纹的振动响应特点和故障特征，证明EMD方法可以有效地实现齿轮裂纹故障的识别与诊断。并有其边频带幅值特点来估计其裂纹的严重程度。对齿轮裂纹的识别和诊断提供一些有效的参考。

图10 不同裂纹的各IMF分量时域波形图

图11 4 mm裂纹信号的各IMF分量时域波形图

图12 第6个IMF分量频谱图

5 结论

(1) 齿轮早期裂纹对其运动状态的影响不大，使原本的单周期运动变为多周期运动，但其运行时间过长或未及时发现其早期故障，疲劳作用下会使齿轮裂纹不断扩展，最终导致齿轮箱的失效。

(2) 齿轮早期裂纹故障的特征：其产生周期性的冲击，其脉冲频率为故障齿轮的转频，在频域上，啮合频率的变化不大，但其边频带的幅值随裂纹故障的深度增加而增加，且裂纹故障会激励出许多噪声频率，实际信号仅通过频域分析，会很困难，采用EMD方法所得的IMF分量再进行频域分析，对比裂纹的故障特征，可清晰的识别出齿轮系统是否存在裂纹故障。