文晓涛 杨吉鑫 李雷豪 何 健 李 波

1.成都理工大学地球物理学院 2.“油气藏地质及开发工程”国家重点实验室·成都理工大学

0 引言

地震低频信息能有效地拓宽反射波的频带，因此基于富低频信息的信号反演精度能得到有效地提高[1-5]，并且更进一步地利用低频信息作为模型背景约束，能获得较之于传统相对反射系数反演方法更加连续、更高分辨率的相对反射系数，基于低频稀疏双约束的反射系数得到的波阻抗具有更高的分辨率。

传统的波阻抗反演主要是利用基追踪[6-7]、匹配追踪等方法进行相对反射系数反演[8-13]，进而利用道积分得到波阻抗剖面。由于传统方法求解反射系数仅基于原始地震记录，没有充分利用地震数据的低频信息，其反射系数没有反映足够的低频信息，连续性、分辨率存在着一定的局限性。为此，笔者利用低频稀疏双约束反演，在基追踪降噪（Basis Pursuit De-Noising，简称BPDN）问题的基础上，进行了稀疏优化项的改进，增加了L2范数低频模型残差项，实现了含低频信息反射系数的直接求解。近年来海上油气资源逐渐成为勘探的重点[14-17]，笔者将改进后的方法应用于南海某区的地震数据分析，较之于传统基追踪反射系数方法，笔者提出的低频稀疏双约束反射系数方法在宽频带数据和非宽频带数据的波阻抗反演上均取得了较好的应用效果，得到了更高的分辨率、提高了波阻抗反演的准确率。

1 低频地震信号分析

根据地震褶积模型理论，地震数据的振幅由反射系数和子波的褶积而成[18]。因此，笔者利用褶积模型分析地震数据的低频缺失特征，并阐述富低频信号的优势。

1.1 子波分析

地震信号由子波褶积而成，子波频带对地震信号影响很大。利用低频拓频的方法得到宽频带信号，对子波的低频特征进行分析。从实际地震道提取统计子波，对其进行低频拓频，拓频前后频谱如图1-a所示，宽频信号的频谱在低频部分高于非宽频信号的频谱。拓频前后子波如图1-b所示，非宽频子波主瓣振幅比宽频的主瓣弱，并且两侧的旁瓣在拓频后明显减弱。由此可见，低频信息丰富有助于增强主瓣、减弱旁瓣，增强地震信号的主瓣压制其旁瓣，可以达到提高反演精度的目的。

1.2 褶积模型建立

地震信号的频谱受子波频谱影响，富低频的地震信号在理论上应具有更弱的旁瓣、更强的主瓣。笔者基于简单规则褶积模型和复杂不规则褶积模型，进一步展示低频缺失和富低频的特征，并通过一个简单的断层褶积模型来说明宽频带优势在地质模型、地震剖面分辨率上的表现。

图2所示为简单规则褶积模型，其由30 Hz雷克子波与不同时间隔、不同振幅反射系数褶积而成，模型简单，分布规则。对该模型进行低频缺失分析，拓频后的频谱低频部分增加，高于拓频前频谱，因此原始数据相较于拓频后宽频数据为低频缺失，拓频后数据在频谱上表现为低频部分较多，在地震信号上表现为地震波形的主瓣振幅增强、旁瓣振幅减弱。图2-a为简单规则褶积模型宽频与非宽频的频谱对比，为针对性分析低频信息影响，仅对低频部分进行拓频处理；图2-b简单褶积模型上能看到显著的主旁瓣变化趋势，对于复杂不规则模型和实际地震数据有指示意义。

图3所示为复杂不规则褶积模型，对其进行拓频处理并进行低频缺失特征对比。图3可以看出，低频信息的丰富程度能影响地震信号中主瓣和旁瓣的强度，从而影响地震数据的分辨率和质量。图3所示模型虽然较为复杂、分布较为随机，但是经拓频后，仍然可见明显的强振幅主瓣加强、弱振幅旁瓣减弱的现象。简单规则和复杂不规则褶积模型的低频信息缺失特征分析表明，富低频信息和宽频带信号的优势为主瓣强、旁瓣弱。

图1 宽频子波和非宽频子波频谱图

图2 宽频和非宽频简单褶积模型对比图

以上两个褶积模型都是单道合成记录，通过单道记录的分析，得到了宽频带信号的优势在单道记录上的体现为主瓣强、旁瓣弱。理论上在具有地质模型的地震剖面上宽频带的优越性应体现为分辨率的提高。为了体现宽频带信号在地震剖面上的优越性和高分辨率的特点，笔者基于褶积模型理论，利用图1-b中的宽频子波和非宽频子波对断层模型进行褶积，如图4所示。利用非宽频子波对该断层反射系数（图4-a）进行褶积得到图4-b中的非宽频断层模型，利用宽频子波褶积得到图4-c的宽频断层模型，从图4-b和图4-c中的合成记录可以看出，在非宽频合成记录上，由于子波旁瓣振幅强和主瓣振幅弱的影响，非宽频记录的整体分辨率相较于宽频记录分辨率偏低；在宽频合成记录上，因为子波的旁瓣振幅变弱、主瓣振幅变强，记录分辨率有所提高，有助于识别小断层。

综上所述，经子波和单道褶积模型，以及断层褶积模型的数值模拟，宽频带信号对于常规信号具有更丰富的低频信息，在子波和单道记录上表现为：子波的主瓣振幅增强、旁瓣振幅减弱，在合成记录剖面上表现为分辨率提高。

图3 宽频和非宽频复杂褶积模型对比图

2 低频稀疏双约束反射系数方法

根据Robinson地震褶积模型[18]，地震信号中每一道地震信号由地震子波和相应反射系数序列褶积而成，因此，其矩阵方程式为：

式中S表示地震记录；W为地震子波矩阵；R为反射系数序列。

根据地震信号的奇偶极子分解理论，将R分解为式（2），其分解图如图5所示。

式中D表示奇偶极子库；m表示稀疏解；a和b表示奇偶极子的系数；偶脉冲对（re）与奇脉冲对（ro）分别表示为式（3）的两个函数，为：

图4 断层的原始反射系数及模型图

图5 反射系数奇偶分解图

式中t表示地震波的传播时间，ms；n表示采样点个数；Δt表示时间采样间隔，ms。

将式（2）代入式（1），可得：

张瑞等[6-7]等利用反射系数的奇偶可分解性和稀疏性，引入L1范数和L2范数对反演目标进行稀疏约束，得到基追踪降噪问题形式的反演目标函数，即

在式（5）的约束反演下，能够得到反映反射系数稀疏程度的稀疏解（m），但该约束优化问题的残差项仅以原始地震信号为基准，均衡地补充地震信号所有频带信息，由于中、高频信息可能含有噪音不可盲目追求拓展高频，加之以现有地震信号具有宽频带的特性，应着重利用和发展宽频带的低频优势，并结合实际工区的信息提高反演的精度和连续性[19]。利用井资料构建的低频信息作为残差项约束基准，对m参数通过D映射到R反射系数序列，然后对R进行积分操作和低频滤波算子操作，以反映出低频阻抗信息。

低频约束项的构建如下述，在t时刻所对应的采样点上，有纵波阻抗与反射系数关系为：

式中t0表示地震波到达相邻地层的时间，ms，一般t0＜ t；τ表示积分时间变量，ms。

将式（6）简写为矩阵方程的形式有：

式中B表示积分矩阵，ξ表示相对波阻抗序列。B表达形式分别为：

由式（2），又可将式（7）写为：

以上为反演参数与阻抗序列的关系，由于在低频约束反演中，等式右边阻抗序列需要变换为由井数据得到的低频阻抗模型，需要对式（10）两端乘以一个低频滤波算子L[20]，其构建形式见本文参考文献[21]。将反演参数m和低频模型阻抗形成等价的矩阵关系式为：

式中ξL为低频阻抗模型。此时，低频约束项就构建完成，将其加入到式（5）中的BPDN目标反演函数中，得到低频稀疏双约束形式为：

由于低频约束项与地震道残差约束项具有相似的表达式，可以进一步化简得到：

基于此形式，得到了包含低频稀疏约束的凸优化问题可解形式，通过压缩感知算法求解该改进后的低频稀疏双约束凸优化问题，即可得到包含低频信息的稀疏解。

3 实例应用

图6为南海某区叠后联井地震剖面，该工区的地震数据分为常规频带叠后时间数据（图6-a）和宽频带叠后时间数据（图6-b），由于采集技术的进展对于体现和挖掘宽频数据的低频信息优势有强大的推动，应用实际资料对比传统基追踪反射系数方法和笔者提出的低频稀疏双约束反射系数方法在常规频带数据和宽频带数据上的应用效果：①宽频带数据相比于常规数据，由于低频信息优势，能提高储层预测以及油气检测的精度，在反射系数和阻抗剖面上表现为连续和分辨率的提高；②低频稀疏双约束反射系数方法由于低频约束，比传统基追踪反射系数方法有更好的低频驱动优势，在反射系数和阻抗剖面上都有较好的连续性和分辨率，且与井数据吻合良好。

3.1 宽频带数据优势

为了体现宽频带数据的优势，对比传统基追踪法和低频稀疏双约束法得到的反射系数剖面和阻抗剖面。

图7-a和图7-b分别为传统基追踪法得到的常规频带反射系数剖面和宽频带反射系数剖面，图7中可以看到，宽频带反射系数层信息更加丰富、反射系数更加连续，宽频带反射系数整体信息更加丰富和连续。对图7-a和图7-b的反射系数进行道积分阻抗求取，分别得到图8-a和图8-b中传统基追踪法常规频带阻抗和宽频带阻抗，可以看到白色圈A中，图8-b中的阻抗信息比图8-a中阻抗信息连续性更好，分辨率有所提高，与井数据匹配比较好。

图7-c和图7-d分别为低频稀疏双约束法得到的常规频带反射系数和宽频带反射系数，同样地，可以看到宽频反射系数信息更丰富、连续性更好。再对图7-c和图7-d中的反射系数求取地震阻抗剖面，分别得到图8-c的低频双约束常规频带阻抗和图8-d的低频双约束宽频带阻抗，仍然可以看到，在白色虚线圈A和C中，宽频带阻抗比常规频带阻抗具有更好的连续性和更丰富的信息，且与井数据吻合良好。

3.2 低频稀疏双约束方法优势

图6 南海某区叠后时间剖面图

图7 传统基追踪法和低频稀疏双约束法的常规频带与宽频带反射系数剖面对比图

图7 -a和图7-c为传统基追踪法和低频稀疏双约束法在常规地震数据上的地震反射系数剖面，可以看到低频稀疏双约束法比传统基追踪法有更丰富的信息和更好的连续性，分辨率也有所提高。对图7-a和图7-c进行道积分求得相应的阻抗，分别为图8-a和图8-c，图中可以看到，在白色虚线圈A和B处，图8-c中低频稀疏双约束法在有井处分辨率显著提高、连续性也更高，但由于常规地震数据缺乏低频信息，所以其低频挖掘特性无法得到更好的发挥。故将该方法应用于具有更丰富低频信息的宽频带地震数据。

图7-b和图7-d为传统基追踪法和低频稀疏双约束方在宽频带地震数据上的地震反射系数结果，可以看到低频稀疏双约束法连续性更好、分辨率更高。同样对图7-b和图7-d求取道积分阻抗剖面，得到图8-b和图8-d，图中可以看到，在白色虚线圈A、B、C中，相对于在常规数据上的对比，图8-d中的低频带稀疏双约束法较传统基追踪法有显著连续性、分辨率提高和阻抗信息提高，表明低频带稀疏双约束法能在宽频带数据上体现更充分的低频优势，不仅保持了连续性，更提高了分辨率，且与井数据吻合良好。

图8 传统基追踪法和低频稀疏双约束法的常规频带与宽频带地震阻抗剖面对比图

4 结论

1）通过以拓频方式对低频信息进行缺少或缺失特征的分析，并基于子波和褶积模型单道合成记录以及断层褶积模型的数值模拟，结果表明，具有丰富低频信息的宽频带数据拥有更少旁瓣影响，从而使地震数据分辨率更高，有利于反演的精度提高。

2）传统的基追踪法在凸优化问题稀疏表示上未充分体现低频特性，反演结果无法更好地突出和体现低频信息分辨率、连续性和信息丰富性。

3）低频稀疏双约束法，在凸优化稀疏表示上引入低频约束项，以低频约束为驱动更充分地挖掘了宽频数据隐含的低频信息，该方法所求阻抗相对于传统方法有更好的连续性和分辨率，且与井数据吻合良好，对薄层分布能有效预测，在薄储层分布预测中具有更高的应用价值。