从平面向量的角度认识数学问题2392
2019-08-29李伟健
数学通报 2019年7期
李伟健
(安徽省滁州中学 239000)
文[1]提出了一个涉及三点共线的命题,本文探讨的问题是:题设中的条件“点A、B、C、D在⊙O上”是否必要.首先选取平面向量的角度重新证明数学问题2392,在证明的过程中揭示条件“点A、B、C、D在⊙O上”是多余的.建立在这一判断基础之上,本文提出数学问题2392的修正命题.
数学问题2392如图1,若PAB、PCD分别是⊙O的两条割线,交⊙O于点A、B、C、D,AD与BC相交于点Q.若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.证明:P、M、N三点共线.
图1
证明因为P、C、D三点共线,
所以P、M、N三点共线.
通过上面的证明可以发现,数学问题2392中的条件“点A、B、C、D在⊙O上”与结论“P、M、N三点共线”无关,因此数学问题2392可以修正为如下命题,即:
数学问题2392修正命题如图2,已知平面内四点A、B、C、D任意三点不共线,且AD与BC相交于点Q.若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.那么P、M、N三点共线.
图2
证明设直线AD与BC的无穷远点分别为E、F,根据帕普斯线,AB×CD=P、AF×CE=M、BE×DF=N三点共线.
从上述证明可以发现:考察数学问题2392的结构特征,本质是帕普斯线定理.
[1]数学问题解答.数学问题2392 [J].数学通报,2017,56(11):封底.