中国古算术语“金蝉脱壳”的含义及其演变

2019-08-15牛腾

中国科技术语 2019年3期

摘要：“金蝉脱壳”是用加减解决乘除运算的一种算法，是中国古代数学中，特别是珠算中比较重要、浅显易懂的乘除计算方法，后来发展成较为复杂的“凑倍乘除”“剥皮”“扒皮”等算法。一些珠算辞书或著作对“金蝉脱壳”等术语进行了解释，但各有不同，同时也存在一些缺点。文章通过追溯其源流并分析不同算书中“金蝉脱壳”及其相关术语的含义，对“金蝉脱壳”的数学含义及演变过程进行了新的研究。

关键词：金蝉脱壳;珠算术语;数学含义;演变;中国古代数学史

中图分类号：O1;N04文献标识码：ADOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2019.03.015

Abstract：“Jinchan tuoqiao”（金蝉脱壳） is a calculation method that solves the multiplication and division operations by addition and subtraction. It is an important and easytounderstand multiplication and division calculation method in ancient Chinese mathematics， especially in abacus. Later it developed into a more complicated calculation method such as “coubei chengchu”（凑倍乘除）， “baopi”（剥皮）， “bapi”（扒皮） . Some abacus dictionaries or books have explained “jinchan tuoqiao” and its related terms， but each of them is different， and there are also some shortcomings. By tracing the origin of the term “jinchan tuoqiao” and analyzing the meaning of this term and its related terms in different mathematical books， the paper studies the mathematical meaning and evolution process of “jinchan tuoqiao”.

Keywords：“jinchan tuoqiao”;abacus term;mathematical meaning; evolution; history of mathematics in ancient China

收稿日期：2019-02-28

作者简介：牛腾（1988—），女，中国财政科学研究院博士后，研究方向为中国数学史。通信方式：niuteng0920@163.com。

引言

金蝉脱壳的本义是蝉由幼虫变为成虫时脱壳而出，比喻用计脱身，又比喻蜕变改易[1-3]，早在元代《三国志平话》、马致远《马丹阳三度任风子》、关汉卿《钱大尹智宠谢天香》、施君美《幽闺记·文武同盟》等文学作品中就有关于“金蝉脱壳”的记载，这些含义在现代仍被广泛使用。

殊不知“金蟬脱壳”还被用于数学中，除了现代学者对于“金蝉脱壳数”的介绍与研究[4]外，比较重要的则是“金蝉脱壳”作为一种算法在珠算中的使用，这也是本文研究的主要内容。作为一种容易理解的算法，“金蝉脱壳”在中国古代数学中就已出现，在明代尤其流行，是珠算中比较重要且简单的针对乘除运算的方法。一般的珠算著作都对这一术语有解释或说明，如朱永茂《无诀珠算》[5]既认为“金蝉脱壳”是“扒皮除法”的一种形式，又认为扒皮法可能是由“金蝉脱壳”演化而来。华印椿《中国珠算史稿》[6]和李培业《中国珠算简史》[7]介绍凑倍乘除时，称之为一种简易算法，原名“金蝉脱壳”。其中华印椿对“金蝉脱壳”及相关算法的介绍更为详细，又称其别名有“大扒皮”“剥皮”“混归”等，《中国科学技术史·数学卷》[8]也有类似介绍。一些珠算辞书对“金蝉脱壳”及相关术语的含义及历史也进行了解释，为便于分析，下面以列表形式介绍（表1—表3）。

术语解释

金蝉脱壳除法见“一、二、五除法”[9]155。

一、二、五除法利用除数的一、二和五倍值简化除算运算的算法。……这种除法又称递减除法、剥笋除法、累减除法。古称金蝉脱壳除法[9]2。

凑倍法根据一、二、五基本倍数进行加减运算的乘除方法。乘法按照倍数加，除法按照倍数减。凑倍法中又有心算二倍法和心算五倍法[9]234。

凑倍除法按照倍数进行减算的一种除法。它是由“金蝉脱壳”“剥皮”法经过研究改进逐渐发展形成的。不用口诀求商，只用一、二、五倍数进行减算即可求得商数[9]234。

凑倍乘法按照倍数进行加算的一种乘法。是凑倍除法的逆运算。不用九九口诀逐位乘加，而是把整个因数按一、二、五倍直接拨入[9]236。

根据表1，《珠算小辞典》只有对“金蝉脱壳除法”的介绍，又称为“一、二、五除法”“扒皮除法”“凑倍除法”等等，即用除数的一、二和五倍值简化除法运算的算法。

术语解释金蝉除法即“凑倍除法”，参见该条[10]269。金蝉脱壳即“凑倍乘法”，参见该条[10]269。凑倍除法亦称金蝉除法、大扒皮。运用一、二、五倍为基本倍数，把除法改为基本倍数的变通加减法，称为凑倍除法。因其由古代剥皮除法或金蝉脱壳逐渐演化而来，故俗称金蝉除法[10]425-427。凑倍乘法又称金蝉脱壳、迭皮乘（法）、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法，是简捷乘法的一种。它是不用九九口诀，根据数字的特点，结合一定程度的心算，采用以加减代乘求积的方法[10]428-430。

根据表2，《中华珠算大辞典》称金蝉脱壳即凑倍乘法，后来演化为用类似方法解决除法运算，所以又将凑倍除法称为“金蝉除法”。

术语解释

金蝉乘法即“金蝉脱壳”，参见“凑倍乘法”条[11]316。

金蝉除法即“剥皮除法”，参见该条[11]316。

剥皮除法亦称“扒皮除法”“金蝉除法”等，运算时所遵循的法则是：被除数含几倍除数就立商几，并从被除数中减去该商数倍的除数[11]46。

金蝉脱壳是凑倍乘除的原始名称。吴敬称为“乘除易会算诀”。徐心鲁、程大位称“金蝉脱壳”。“金蝉脱壳”多用一倍、二倍，唯吴敬除法用五倍[11]316-317。

乘除易会算诀即金蝉脱壳，吴敬称“乘除易会算诀”，参见“金蝉脱壳”条[11]67。

凑倍乘法亦称“金蝉脱壳法”“迭皮乘（法）”“加减乘法”“倍数乘法”“加乘法”等，属简捷乘法之一种[11]104-106。

凑倍除法亦称剥皮除法，扒皮除法，金蝉脱壳、大扒皮等，是我国古代民间的一种简易除法，运算中使用一、二、五倍为基本倍数，把除法改为基本倍数的变通加减法[11]107-109。

根据表3，《世界珠算通典》称“金蝉乘法”即“金蝉脱壳”，亦称“凑倍乘法”“迭皮乘法”等等，是一种简捷的乘法运算。又说金蝉脱壳是凑倍乘除的原始名称，意为这既能表示乘法运算，也包含除法运算。还称金蝉除法即剥皮除法，亦称凑倍除法，但与“金蝉脱壳”的解释又前后不一。可见该辞书对各术语的解释比较混乱。

综上，上述珠算辞书或著作对“金蝉脱壳”及其相关术语的解释不尽相同，对其来源、演变等也没有统一说法，作为珠算中比较重要的术语，有必要厘清“金蝉脱壳”的含义，并追溯其源流及演变。

一古算术语“金蝉脱壳”的来源及含义

（一）“金蝉脱壳”一词的出现及来源

一般认为，“金蝉脱壳”这一术语最早见于徐心鲁订正的《盘珠算法》（1573）[12]。但其实周述学《神道大编历宗算会》（以下简称《历宗算会》）（1558）卷一中就载有“金蝉脱壳法”，又名“连环算法”[13]586，卷十五有歌诀称[13]827：

连环算法

乘法除双还倍数，须知去一要添原，归除满法①过身一，实②无折半当身五。

这种方法最早见于《九章算法比类大全》（1450）（以下简称《九章比类》），名为“乘除易会算诀”，歌诀的前四句与《历宗算会》中的完全相同，后四句云“不用九归并小九，只将二十字为先，乘除加减皆从此，万两黄金不与传”[14]。《九章比类》后附两则例题并解析，与《历宗算会》中前两则例解相似，可见“金蝉脱壳”在此之前或许名为“乘除易会算诀”，包含乘和除两类算法，不用口诀，均使用更为简单的加减运算完成。

另外，早在明代高儒《百川书志》（1540）卷十一中就载有“《金蝉脱壳纵横算法》一卷，不知作者”[15]，但没有具体内容。至于该术语最早出现于哪种算书，目前不好判断。据李兆华介绍，现存残本《九章正明算法》中有“金蝉脱壳4题”，该本为明万历十年（1582）北京重刊本，《算经源流》所记嘉靖己亥（1539）或为初刊年代[16]。那么，“金蝉脱壳”用作算学术语或许最早出现于15世纪末16世纪初。

（二）“金蝉脱壳”的含义

《九章比类》和《历宗算会》所载金蝉脱壳法是指乘除运算不再使用九归或九九口诀，用加或减法代替，乘法运算中，使用乘数及其二倍数进行运算，被乘数中减2，得数加乘数的二倍数;被乘数中减1，得数加乘数。除法运算中，使用除数及其半数进行运算，被除数中减去除数，商数加1;被除数中减去除数的一半，商数加5。其中，不同数值的运算要注意积数或商数的定位问题。这应该就是“金蝉脱壳”最初的含义。

《盘珠算法》对“金蝉脱壳”的解释与之不同，原文如下[17]1146：

金蝉脱壳诀法

蠢子清曰：……分物在位，人数在，只管一进一除，此一位进除殆尽，又从次位进除之，……直进除到末位俱尽，方才是数科量呼喝数目是也。二人分物，进一除二，三人分，进一除三……

根据其解释，此处的金蝉脱壳仅是指除法运算，只使用除数本身进行运算，商数加1则从被除数中减去除数一次。之后载有“二字奇法” [17]1147：

二字奇法

诗曰：二字赛归除，玄中妙更奇，贤愚从此学，尽在一时知。

止用进退二法，凡用（八）[分]③物，进一隔位而除之;凡用见总，退一隔位而加之，易明之见也。

“诗曰”中说“二字赛归除”，可知是在讲除法，但“诗曰”之后是对乘除运算的定位说明，除法运算时，商1放置于被除数之前，隔一位从被除数中减去除数;乘法运算时，从被乘数末位减1，之后隔一位加上乘数。其“金蝉脱壳诀法”同于“实如法而一”④，含义与《历宗算会》等书中的不同。程大位《算法纂要》（1598）“杂法”条中提道：“按金蝉脱壳及二字算等法，用倍、折、進、除” [18]。华印椿认为程氏所说的“二字算”当是《盘珠算法》中的“二字奇法”[6]，但后者并没有用到倍、折运算。

柯尚迁《数学通轨》（1578）中没有“金蝉脱壳”一词，目录中有“金蝉法”[19]1168，分为“金蝉乘法义”“金蝉归除义”[19]1182两种算法进行介绍，与《九章比类》《历宗算会》中的含义相似，不同之处在于，“金蝉乘法义”使用后乘法，《九章比类》和《历宗算会》则使用前乘法。此外，《数学通轨》金蝉除法的说明中有“进二除倍，添一还原”，这与其前文“置一原法，又置一个半法”以及其后所载例解不相符。

程大位《算法统宗》（1592）卷十七“杂法”中有“金蝉脱壳，又名乘除易会算诀”[20]，分别介绍了“因乘”法和“九归并除”法歌诀（图1）及例题，乘法含义与《九章比类》等书中的相同，但歌诀更简便，且对定位问题有说明。除法则与《九章比类》等书中的不同，歌诀为“加双下除倍，加一下除原，倍一挨身除，余皆隔位迁”，使用除数及其二倍数进行运算，商数加2，被除数中减去除数之二倍数;商数加1，被除数中减去除数;除数之二倍数的首位是1时，商数挨着被除数放置，否则商数与被除数相隔一位。华印椿认为程大位误解“九归并除歌”[6]，程氏阐述金蝉除说：“隔一位除也，只用一原法，而无倍折数”，华先生认为隔一位除者不限于原法，凡是倍数不进位时，都应当隔位除。但这几句是对“二句字诀”（图1）歌诀“有除隔位进，无除挨身进”的说明，并非对“九归并除法”的说明。而程氏所载“二句字诀”与《盘珠算法》中“二字奇法”相似，只用原除数进行运算，不使用除数之倍、折数。此后，《算海说详》（1659）[21]、《数度衍》（1661）[22]、《算牖》（1811）[23]768所载“金蝉脱壳”均与《算法统宗》中的含义大致相同。

潘逢禧《算学发蒙》（1882）称“金蝉脱壳法即飞归飞乘法，俗名蠢子数。皆以加减代乘除。虽布算稍嫌重叠，浅明易晓，极便童蒙，特附于此。”[24]后面分别介绍了“飞乘歌诀”和“飞归歌诀”，与《算法统宗》所载也基本相同。但是这里难免会给后世学者造成误解和困扰，因为在此之前就有“飞归”算法，如杨辉《算法通变本末》“习算纲目”条中有“穿除，又名飞归，不过就本位商数除而已”[25]，王文素《算学宝鉴》中亦有“飞归口诀”，与《算学发蒙》中的“飞归”完全是两类算法。不过潘氏对“金蝉脱壳法”的评价比较中肯，此方法虽然稍微烦琐，但是浅显易懂，便于初学者和知识浅陋者理解和掌握。

综上，“金蝉脱壳”一词并非首见于《盘珠算法》，《九章正明算法》《百川书志》《历宗算会》等书中就有记载，此方法首载于《九章比类》，名曰“乘除易会算诀”，或许是根据该算法的特点又取名为“金蝉脱壳”法。除了《盘珠算法》中所载“金蝉脱壳”法是以加减代除法运算，且只用原除数进行运算，与“实如法而一”相同。“金蝉脱壳”在数学中的本意是指用加减法代替乘除运算，即包含乘、除两种算法。其中，乘法一般是使用乘数及其二倍数进行运算，被乘数中减1，得数加乘数一次，被乘数中减2，得数加乘数之二倍数一次，有的得数置于被乘数之前，有的置于被乘数之后。除法最开始是使用除数及其半数进行计算，即商数加1，被除数中减去除数一次，商数加5，被除数中减去除数之半数一次。后来又出现了使用除数及其二倍数进行运算的金蝉除法，即商数加1，被除数中减去除数一次，商数加2，被除数中减去除数之二倍数一次，不同算书中对商数的摆放位置有不同说明。这类算法的主要特点是不使用九九或归除口诀，易学易会，但计算过程繁复，不能说是一种快速的运算方法。

二古算术语“金蝉脱壳”的演变

（一）“金蝉脱壳”术语的演变

除了“乘除易会算诀”，“金蝉脱壳”法还有其他名称，如《历宗算会》中称“金蝉脱壳”法为“连环算法”，《数度衍》称“乘除捷法，即金蝉脱壳法”。

梅文鼎《历算全书》（1723）“古算衍略”记载了“归除捷法”，口诀曰：“多上空加一，依前除莫疑，少前随上五，折半数除之，无除随上一，化下照前除”[26]，不使用九归口诀，利用除数及其半数进行运算，根据不同情形对商数的位置进行了详细说明，可知也是“金蝉脱壳”法。《算牖》在“金蝉脱壳”之后介绍了“酌定梅氏归除捷法”[23]768-769，除去“归除捷法”中间两句，只记前后四句歌诀，但所举例题采用商除法进行运算，与歌诀和说明不相符。无独有偶，罗士琳《比例汇通》（1818）卷一载有“西洋总诀”，口诀为“多隔上一，以前数除之;无随身一，以前数除之;少前多后随身五，以后数除之;法一身多隔上五，以后数除之”[27]，随后解释说“此即如金蝉脱壳，加双下除倍，加一下除原……”，但其后例解所介绍的并非类于金蝉脱壳法，而是商除法，看来也是混淆了两种方法。

此外，华印椿《珠算速计法》介绍了“赵氏新口诀除法”[28]，其中“简除”法，与梅氏“归除捷法”歌诀基本相同，也是金蝉脱壳法。施伯珩《商业应用珠笔算合璧》记载了“加减代乘除法”[29]，称“以加减代乘除法者，所谓金蝉脱壳法是也”，所载歌诀与《算法统宗》中的大体相同。

可见，由于种种原因，很多算书不再直接将“金蝉脱壳”作为该算法的名称，而出现了很多别名。还有的算书，直接混淆了“金蝉脱壳”法和商除法。

（二）“金蝉脱壳”含义的演变

除了术语的变化，有的数学家则在“金蝉脱壳”法的基础上发明了新的算法，含义也随之发生了变化。如《数度衍》中所载“乘除新法”[22]：

归除诀曰：进一空除原，进二空除倍，进二随除倍，进五空除半，进五随除半。

因乘诀曰：除一空加原，除二空加倍，除二随加倍，除五空加半，除五随加半。

每句口诀后有对应说明，用以明确商数和积数的摆放位置。计算时同样不使用口诀，不论乘除法，均使用乘数（或除数）及其二倍数和半数进行运算，可以说是综合了《九章比类》和《算法统宗》中的算法，对“金蝉脱壳”法进行了扩展。

再后来出现的剥皮乘除法、凑倍乘除法、扒皮法等可以说是“金蝉脱壳”法的进一步发展。如《珠算教程》将“剥皮乘法”[30]86-90作为珠算的基本乘法之一进行介绍，也称之为“凑倍乘法”。此书总结了这种方法的三句口诀，即“一、二、三，加几遍;四、五、六，改作半;七、八、九，当十算”，也可简称为“单、双、半”倍数法，针对不同情形，灵活使用乘数及其半数、二倍数进行运算。具体地说，若被乘数某位是1（或2、3），被乘数中减去1（或2、3），从其右位起加一（或二、三）次乘数，类似于“去一添原”;若被乘數某位是5，则被乘数中减去5，从其本位起加乘数之半数;若被乘数某位是6（或4），则被乘数中减去6（或4），从其本位起加乘数之半数，再从其右一位起加（或减去）一个乘数;若被乘数某位是7（或8、9），则从被乘数中减去7（或8、9），从本位起加一次乘数，再从其右一位起减去三（或两、一）次乘数。其中，需要用到加或减两次乘数时，也可直接使用乘数之二倍数进行运算。因此，书中还介绍了心算二、五倍法。

此书也介绍了珠算的基本除法之一：“剥皮除法”[30]141-151，也叫“累减法”或“倍数法”，根据商数放置位置的不同又分成隔位剥皮除法和不隔位（挨位）剥皮除法两类算法，实则方法相同。如隔位剥皮除法的口诀可大致归纳为：“大数空加几，隔位减几除;小半随进几，隔位减几除;够半随进五，不隔减半除;数近下加除，加到够减时，左位上商数，不隔减除数”。具体地说，当被除数大于或等于除数，则在被除数之左隔一位上商1，后在商之右隔一位上减去除数;若相同位数相比，被除数不足除数的一半，则在被除数之左挨位商1，再于商之右隔一位上减去除数;若相同位数相比，被除数小于除数，但达到除数的一半，则在被除数之左挨位上商5，再于商之右挨位减除数之半数;若相同位数相比，被除数虽小于除数，但与之接近，则在被除数之第二位起加上一个除数，再于被除数之左挨位商9，最后在商之右位减去除数……虽然也是使用除数及其半数、二倍数进行运算，但可采用的算法类型有“直减”“凑倍减”“凑十减”三种，规则较多，增加了初步估商的难度。针对此类除法，《世界珠算通典》中还介绍了“小扒皮”“大扒皮”“商一法”“商二法”“商五法”“商九法”等等，运算规则更多。

总之，在金蝉脱壳法的发展过程中，出现了越来越多不同的术语来表示这种算法，有的算法的含义也相应发生了变化，从而发展出了新的算法。如凑倍乘除法、剥皮乘除法、扒皮法等都是由“金蝉脱壳”法发展而来，虽然仍使用乘数（或除数）及其半数（或五倍数）和二倍数进行运算，但运算规则增多，相较于金蝉脱壳法复杂得多，理解起来也比之困难。运算中若遇被乘数或被除数某位数字较大，则需凑五、凑倍或凑十算，因此需灵活掌握计算方法。特别是除法运算时，初步估商的难度增大，出错的概率也更大。

三结语

上面考察了一些珠算辞典或著作对“金蝉脱壳”及其相关术语的解释，通过对古代数学著作中有关“金蝉脱壳”及其相关术语的分析，我们发现有些解释存在不少问题，不符合历史事实。特别是有些珠算辞典对“金蝉脱壳”等术语的介绍，没能充分体现出“金蝉脱壳”的含义及特点，还混淆了金蝉脱壳和凑倍乘除、剥皮乘除法等术语的含义，没有正确表述金蝉脱壳法与其相关算法的区别。

总的来说，“金蝉脱壳”是以加减代替乘除运算的一种简易算法，由“实如法而一”发展而来，含义与之相似，不同的是使用乘数（或除数）及其半数或二倍数进行运算。后来发展到使用乘数（或除数）及其半数（或五倍数）和二倍数进行运算，但都是直加、直减，比较简便且容易理解和掌握。现在由之发展起来的凑倍乘除等算法，需要针对被乘数或被除数的不同情况，而选择采用直加（减）、凑倍加（减）或凑十加（减）等法则进行计算，运算规则增多但也不失为一种简算法。它们的共同特点是，除了计算乘数（或除数）之倍数时可能会用到九九口诀，运算过程中不使用口诀，只用到加减法。

注释

① 中国古代在计算除法时，用“法”指除数，后来也被用于乘法运算，指乘数。

② 中国古代在计算除法时，用“实”指被平分的数，即被除数，后来也被用于乘法运算，指被乘数。

③ 原文作“八”，今校改为“分”。

④ “实如法而一”是中国古代除法术语，本义是实中有一个法，就得一。言外之意是实中有几个法就得到几。

参考文献

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