清华大学附属中学上庄学校 蔡田雨

数学教学不仅要教给学生一些基本数学知识和方法，更主要的是培养一种学习习惯，一种思维方式，一种应用数学来解决问题的方法。对于我们老师来说，不仅要让学生知道这个知识是什么，怎么学会这个知识，更应该让学生知道这些知识间有着怎样的联系，要教给学生本源的内容，让学生通过知识的学习提升分析、解决问题的能力。

如果说总目标是课堂教学的指南针，那么子目标就是实现总目标的具体指路牌。我采取的是以问题为教学主线，使整节课在提出问题、质疑问题中推进发展，以发现问题——解决问题——再发现问题为过程主线。我以《与角平分线有关的角的计算》为例，谈谈如何通过问题链的方式引导学生进行学习，在潜移默化中培养学生数学素养。

【问题1】请大家利用手中的这两个角摆出可能的位置关系。（提前做好2个角的教具）

【问题2】共顶点时的图形位置关系有哪些？

通过电脑演示可以发现：当∠COD绕点O旋转时，其角平分线在∠COD两侧的情况相同，因此只需研究OF在OE一侧的情况即可。因此存在5种情况。

【问题3】这些图形根据公共元素可以怎样分类呢？

学生动手摆放，体会两角之间的位置关系，体会不同位置关系对图形关系带来的影响。让学生初步建立有位置关系就确定了数量关系，但数量关系定了位置关系可能不确定。 渗透分类讨论的思想，培养学生全面分析、考虑问题的好习惯。通过从动态角度思考问题，培养学生思维的有序性。接着引导学生继续思考：如果从动态角度看，这些图形是怎么形成的呢？这些角可以看作是∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转而成的图形。

【问题4】图1中分别存在哪几个角？这些角之间存在怎样的数量关系？

图1

【问题5】如果在图1中添加一条角平分线，可以怎样添加呢？

【问题6】若∠AOB=70°，∠BOC=36°，在此条件的基础上，请你在上图中添加一条角平分线，并提出数学问题。

我们可以发现，当添加一条角平分线后，可求图中新增的角，即可建立由OE形成的角与原来的角∠AOB、∠COB之间的关系。

【问题7】如果添加两条角平分线时，会有哪些情况呢？又会产生哪些问题呢？举例：在图6，若∠AOB=α，∠BOC=β，我们可以任作两条角平分线，那么可以出现哪些情况呢？

（1）作∠AOB、∠BOC的平分线；（2）作∠AOB、∠AOC的平分线；（3）作∠BOC、∠AOC的平分线。

下面我们从一般情况开始，以作∠AOB、∠COD的角平分线的情况为例进行研究。

【问题8】设∠AOB=α，∠COD=β，∠BOD=γ，不妨设α＞β，OE平分∠AOB，OF平分∠COD，试确定∠EOF与α、β、γ之间的数量关系。

学生独立分析，猜想结论，并说明理由。由于角平分线的位置不同，会导致不同的数量关系：

【问题9】这些不同的位置下存在不同的结论，那么它们之间是否存在一定的联系呢？

请学生继续观察，当∠COD绕着点O逆时针转动的过程中，α，β，γ这三个量中，哪些量发生改变，哪些量没有变化呢？通过观察可以发现：α，β的位置发生变化，而大小没有变化，但是γ是位置和数量都发生了改变，并且∠EOF是随着γ的变化而变化，所以我们只需找到γ是如何变化的就可以了。从（1）到（2），我们可以发现减少了γ度的角，所以结论由随着转动得到：∠EOF=当图形转动到（3）时，又减少了γ度的角，从而得到结论∠EOF=当继续转动到（4）时，此时β=γ，得到结论：∠EOF=当∠COD两条边都在∠AOB内，在（5）的状态时，此时减少了（γ-β）度角，从而得到结论：∠EOF=

在这个过程中，通过图形运动，建立从动态视角认识几何问题形成的过程，在图形运动过程中把握图形的不变关系，体会图形位置，数量之间的内在联系。同时，渗透由特殊到一般的研究方法以及分类思想，体会特殊位置关系下图形的关系。

通过具体问题的解决，体会角平分线夹角与原角之间的关系，再次渗透由特殊到一般的研究方法，在分析问题的过程中初步体会、建立学习平面几何的基本模式。以动态视角研究几何问题，引导学生分析：在图形运动的过程中，哪些角在变？又有哪些角不变？∠EOF的变化是由谁引起的？从而找到解决问题的方案。理解几何问题的研究方法，关注新图形的加入对原图产生的影响，体会问题图形形成的过程，并学会从动态角度理解几何问题，建立思维的有序性。

这个问题链从学生思维的起点（对角和角平分线概念的认识）到思维的终点（学会从特殊到一般、数形结合的研究函数问题），是通过一个个小问题引导学生逐步摄入理解体会的。课堂的整个过程中都是引导学生自己发现学习这个知识的必要性以及研究图形的方法和思考问题的方式，教给学生学习的方法。

这种问题链的设计，实现了课堂上的互动生成。真正关注的是人，是学生主动、健康发展的意识与能力，关注课堂上的动态生成；关注学生的探究意识和合作能力；关注的是学生的终身发展。我们教师要以问题为出发点，探究知识的起点，在此基础上设计环环相扣的问题，从知识的起点出发不断生长，充分调动学生主动参与的热情，培养学生有序思维，提升学生的学科素养。