梅琳

[摘 要]小学数学教材中有许多辅助图，如果利用得当，这些图形不仅能起到直观展示转化过程的作用，而且能提高计算精度、简化计算，强化学生的转化意识。

[关键词]传统;圆柱体;长方体;表面积;体积

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0054-01

小学数学教材中有许多辅助图，但在总结公式、定律时，这些辅助图往往被搁置一旁，无人问津。如苏教版教材第十二册“圆柱的体积”中就有一幅辅助图（如图1），教师如果能巧妙运用该图来解析相关难点，就能使教学思路清晰、流程简洁，大大提高课堂教学效率。

一、传统方法遇到难题

【案例1】圆柱的侧面积为36平方分米，底面直径为2分米，求该圆柱的体积。多数学生是先求圆柱的高，得出[36÷（3.14×2）≈5.732]（分米），再求圆柱的体积，得出[3.14×（2÷2）2×5.732≈17.998]（立方分米）。

【分析】圆柱的侧面展开后其实是一个长方形，一条边为圆柱的高，另一条边为圆柱底面的周长。利用长方形的面积公式，根据等量代换，用侧面积除以底面周长就可以得出圆柱的高。当除不尽时，得数取近似值，一般保留三位小数（课本明文建议）。最后，根据圆柱体积公式“底面积×高”，求出体积。

这种解题方法本身是正确的，如果侧面积刚好能被底面周长整除，那再好不过。但是，这道题在求侧面积与底面周长的商，即求圆柱的高时无法整除，要取近似值，而后这个近似值被用于第二步计算中，导致第二步计算一开始就数据失实，计算出的圆柱体积就会存在一定误差。如果学生在第一步时能用分数[900157]表示圆柱的高，以此作为第二步计算的原始数据，那么最终计算结果的精确度就会更高。

二、另辟蹊径研究转化图

除此之外，还有没有更加简便易行的办法？

如图1，圆柱侧面积的一半其实就是变形后的长方体的正面面积，长方体左右两个面各是圆柱经过中轴线的纵切面的一半，长方体上下两个面分别是圆柱的上底面和下底面。这样就可以把长方体的正面视为底面，宽视为高，按照长方体体积公式列式，得[362×22=18]（立方分米）。故圆柱的体积是18立方分米。

这种方法的优势是列式简洁利落、结果准确，缺点是分析时思维较复杂。但实践证明，只要教师引导学生对辅助图分析到位，学生完全可以接受这种方法。

【案例2】圆柱的侧面积是50.24平方厘米，高和底面半径相等，它的表面积是多少？学生这样解答：（1）（借助方程先计算出底面半径的平方）设圆柱底面半径和高都为r厘米，则[3.14×2×r×r=50.24]，[6.28r2=50.24]，[r2=8];（2）（计算圆柱上下底面的面积之和）[3.14×8×2=50.24]（平方厘米）;（3）（计算整個圆柱的表面积）50.24+50.24=100.48（平方厘米）。

【分析】先利用公式求出半径的平方，再求出上下底面的面积之和，最后加上侧面积计算表面积，条理分明、思路明朗，但是步骤烦琐，且由于学生不懂开方为何物，所以止步于求出r[2]，没有求出r，学生理解起来比较困难。

笔者认为，该题也可以利用辅助图来简化算式。如图1，长方体的正面面积等于圆柱侧面积的[12]，因为正面和背面全等，所以它们的面积之和刚好等于圆柱侧面积。又因为圆柱的高和半径相等，于是可以推理出长方体左右两个面的形状都为正方形且面积为r[2]，两者的面积之和为2r[2];上下两个面对应圆柱的上底面和下底面，面积分别为[π]r[2]，加起来为2[π]r[2]，而侧面积也等于2[π]r[2]，所以圆柱体的表面积等于侧面积乘2，列式为50.24[×]2=100.48（平方厘米）。

三、灵活使用教学材料渗透数学思想方法

关于使用圆柱体积公式辅助图，笔者有两点思考：

1.现实生活中存在各种教学材料，教师如果运用得当，就能激发学生兴趣，使学生热情地参与到思考活动中来。教师应合理利用各种教学材料，包括灵活处理课本中的现成材料，以及对教材中的一些经典素材进行加工变造、改头换面，使之发挥新的作用。

2.教师在教学中要有意识地加强对数学思想方法的渗透。数学思想是人们在长期处理数学问题过程中积累出来的具有普适性的一般思维方法，数学方法是指某一数学思想在某一个案例中的具体外在形式，即用这种思想解决这类问题的手段和流程。数学思想方法是一种软技能，教师应该在教学中大力开发这个“软件”的功能，使之更好地服务于数学教学。

总之，可供利用的教学材料丰富多样，教师应学会利用辅助图，创造性地使用教材，使教学更加科学顺畅。

（责编 吴美玲）