张 生 华

(扬州职业大学, 江苏 扬州 225009)

近年来国家对高等职业教育越来越重视,投入不断加大,高等职业教育的发展也迎来了春天,随着高职院校招生规模的扩大,生源的数学基础、学习态度和学习能力的差异性导致了高职院校的高等数学教学遇到了问题和挑战。以扬州职业大学为例,学生来源有提前招生、对口单招、对口注册、高考统招、高考注册。入学新生的数学成绩参差不齐,学习数学的能力、方式、兴趣和接受程度也存在较大的差异。由于教师数量的限制,高等数学课程往往是合班上课,教师按照既定的全校通用的课程标准执行教学,无法兼顾不同层次的学生的学习能力和需求,分层教学作为高校教学模式改革中的一把利器,根据学生基础、能力的差异性设置不同的教学难度、教学方式和考核形式,可以有效缓解学生层次多样化和教学固定化、单一化的矛盾,激发学生学习高等数学的兴趣,提升学习的自信心,让所有学生都能在数学学习中有所收获、有所进步、有所发展。

在具体实施分层教学时,通常采取的策略有:不考虑数学成绩,直接根据学生的来源实施分层[1];先对学生进行文、理、经、管等学科的分类,再在学科内按照数学成绩实施分层[2-4]。刘珊依据学生的入学成绩和章节测试成绩使用聚类分析的方法实施分层[5];曾亮将教学内容分为若干模块,根据各模块得分利用聚类分析划分层次[6]。单纯的根据成绩实施分层具有一定的不合理性,不符合我国高等教育对当代大学生全面发展的要求。高等数学授课速度比中学要快,深度更深,课堂讲授侧重于解题思路和推导,因此需要学生更多的自主学习和自我探索。在高等数学的学习中,学生除了具有必要的数学基础外,个人的学习兴趣、学习态度和学习方法等非智力因素对成绩的影响很大,占据了重要的地位。因此,本文综合考虑学生的智力因素(数学入学测试成绩)和非智力因素(学习态度、方法、效率和心理),使用主成分分析和聚类分析方法实施高等数学的教学分层。

1 数据处理及初步分析

1.1 数据收集及整理

对拟进行分层教学的班级发放并回收了400份调查问卷和数学入学测试试卷,调查问卷配有14个问题,具体有:你是否喜欢和同学讨论数学学习中遇到的难题?遇到数学难题时,你会怎样?平时上数学课的的基本感受是什么?你是否喜欢琢磨数学题的多种解题方法?听课时你是否常做笔记?是否自己独立完成数学作业?是否有先复习后作业的习惯?上课时你是否专心听讲,积极思考老师所讲的内容?对于老师当天讲授的内容你会怎样复习?自习时间怎么安排?怎样完成老师布置的作业?对数学的学习兴趣如何?老师对你适当的鼓励和表扬能否提高你对数学的学习兴趣?临近重要的考试时你的心理状况如何?将这些问题分别记为a1、a2、…、a14,其中a1-a4测试学生的学习态度,a5-a8测试学生的学习方法,a9-a11测试学生的学习风格和学习效率,a12-a14测试学生的个性心理。每一个问题的选项都有4个等级,分别记为1、2、3、4,等级越高说明该测试项正向得分越高。在考察学生数学成绩这一重要指标时,生源的多样化导致高考数学成绩这个变量存在较多的缺失值,极大地影响了模型的精确性和有效性,因而将学生的数学入学测试成绩作为评判指标,记为a15,附在a1、a2、…、a14后以SPSS格式一并存入数据集。

1.2 信度和效度分析

信度和效度分析是检验调查问卷是否合格的标准之一。信度即可靠性,是指使用相同指标或测量工具重复测量相同事物时,得到相同结果的一致性程度。目前最常用的是Alpha信度系数,通常认为,如果信度系数在0.9以上,表示量表的信度很好;如果信度系数在0.8～0.9之间,表示量表的信度可以接受;效度即有效性,是指测量工具能够测出其所要测量的特征的正确性程度。效度越高,即表示测量结果越能显示其所要测量的特征。目前最常用方法的是结构效度分析,通常认为,效度系数在0.7以上就说明量表的结构效度良好。利用SPSS软件对调查问卷做信度和效度分析(具体步骤略),得到的结果见表1,四个维度和总量的α信度系数均大于0.8,说明该调查问卷信度较好。如表2所示,KMO值为0.865,大于0.8,说明该调查问卷结构效度良好。

表1 信度系数表

表2 KMO和巴特利特检验表

2 相关性分析和主成分分析

输入变量数量偏多,而且部分变量之间还存在着线性相关性,不仅增加了数据的维度,提高了建模的难度,还降低了模型运行的速度以及结果的可解释性和实用性。主成分分析是一种常用的多变量分析方法,在人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟和数学建模等学科中应用十分广泛,它设法将原先具有相关性的众多变量重新组合成一组新的互相无关的综合指标,从原始变量中导出的少数几个主成分尽可能多的保留原始信息。首先利用SPSS软件对这四个类别中的分类变量先进行相关性分析,具体步骤为:“分析”—“降维”—“因子分析”,将a1-a14全部选择为“变量”,依次点击“描述”,选中“系数”、“KMO和巴特利特球形度检验”,点击“提取”,方法选中“主成分”,点击“旋转”,方法选中“最大方差法”,输出“载荷图”,点击“得分”,选中“保存为变量”,方法选择“回归”,点击“选项”,选中“按大小排序”,点击“确定”,即可得到相关结果。

从程序运行后给出的相关性矩阵可以看出,在分别对应学习态度、学习方法、学习效率和个性心理的测量中,每组组内变量之间的相关系数均大于0.5,说明各组变量之间具有线性相关性。

接着进行KMO和巴特利特检验,从表2可以看出,KMO总体检验系数为0.865，大于0.8,巴特利特检验p值小于0.01,从反镜像相关矩阵可以看出,KMO单变量检验系数均大于0.8,说明该数据集结构合理,具有相关关系,适合进行主成分分析。

成分的特征值即成分能解释的方差。一般的,特征值在1以上就是重要的成分,表3为总方差解释表，可以看出，前4个主成分的特征值均大于1,贡献率分别是41.84%,13.66%,11.01%和10.30%,软件分析发现，第5个及以后主成分的特征值小于1,且只能解释3.69%的数据变异(小于5%),根据主成分的提取规则，提取前4个主成分,这4个主成分累计可以解释76.80%的数据变异。

表3 总方差解释

注：提取方法为主成分分析法。

调查问卷设计的初衷是利用a1-a4测试学习态度、a5-a8测试学习方法、a9-a11测试学习效率,a12-a14测试个性心理。从表4可知,提取的4个主成分解释的变量信息与上述分类完全一致,对应的,第一主成分反映的是学生的学习态度(a1-a4),第二主成分反映的是学习方法(a5-a8),第三主成分反映的是个性心理(a12-a14),第四主成分反映的是学习效率(a9-a11)。

3 聚类分析

根据主成分提取的结果,将生成的4个主成分得分作为新的变量放在数据集中,与学生的数学入学测试成绩一起作为输入变量进行聚类分析。以往的研究以及大量教学实践表明:实施分层教学时将学生划分为高、中、低三个层次比较符合教学规律,易于教学管理。使用SPSS软件进行聚类分析,具体步骤为:“分析”—“分类”—“系统聚类”,将入学测试成绩“a15”和四个主成分全部选择为“变量”,点击“统计”,将聚类数设置为“3”,点击“方法”,聚类方法设置为“瓦尔德法”,区间设置为“平方欧式距离”,运行后即可得到3个聚类层次,将这3个聚类分别记为A、B、C层,其中A层学生有94人,入学测试成绩均值为69.31分,学习成绩较好,该层学生学习态度端正,学习方法合理,学习效率较高,学习兴趣浓厚,有转本、升本等进一步深造的强烈需求,学习上对自己要求比较严格;C层学生有83人,入学测试成绩均值仅为26.79分,该层学生数学基础非常差,对学习数学没有兴趣,对高等数学学习有着抵触情绪,持放弃态度,课堂教学参与度比较低;而定位于中等层次的B层学生人数最多,达到223人,占比约56%,该层学生入学测试成绩均值为51.70分,成绩中等,学生数学基础比较薄弱,对高等数学有畏难情绪,学习兴趣不大,抱着得过且过的思想,能够接受相对容易理解的高等数学知识。

表4 旋转后的成分矩阵

注：1.旋转在 5 次迭代后已收敛;2.取方法为主成分分析法；3.旋转方法为凯撒正态化最大方差法。

4 直接聚类与降维聚类的比较

在SPSS软件中直接将a1到a15这15个变量作为输入变量进行K-means聚类分析,聚类数设置为3,运行后统计各层人数及入学测试成绩的均分、方差和平均标准误,由表5、表6可知,直接聚类划分出的C层与上述先降维再聚类得到的结果完全一致,降维聚类划分的B层入学测试成绩的方差和平均标准误均小于直接聚类,说明降维聚类对B层的划分更优;而直接聚类划分出的A层学生数量缩减为80个,将14个对数学具有较强学习动力和学习兴趣、学习态度比较端正的学生分到了B层,一定程度上会打击这部分学生的学习积极性,使学生对分层模式的有效性产生怀疑和抵触情绪,不利于学生的全面发展和分层教学的顺利实施,其科学性和合理性较降维聚类有所降低。

5 结语

在实施高等数学教学分层时,本文首先利用调查问卷测试学生的学习态度、学习方法、学习效率和个性心理等非智力因素,并对问卷做信度和效度分析,保证了问卷的可靠性和有效性,接着通过主成分分析将众多相关变量进行降维,得到反映非智力因素的4个主成分,再综合入学测试成绩,将主观能动性和客观因素相互结合进行聚类分析,划分成3个教学层次。该方法不仅明显优于传统的按成绩分层,而且与直接聚类相比,提升了一部分学习意愿较强、积极向上的学生的层次,在平均标准误变化不大的情况下,分层的科学性和精确性有所提高。

表5 直接聚类分层统计

表6 降维聚类分层统计