张伟 赵丽娟 顾艳华 王囡囡

教材内容：人教版《数学》五年级上册第七单元第106页例1和第107页例2。

教学目标：

1.引导学生通过观察、猜测、演示、推理等数学探究活动，理解点段关系，建立植树问题的数学模型，解决实际生活中的有关问题。

2.通过画线段图和利用一一对应的思想，初步培养学生的模型思想，从而提高学生解决问题的能力。

教学重、难点：建立植树问题的模型，掌握三种植树方法。通过一一对应数学思想方法理解棵树和间隔数之间的关系。

教学准备：课件、磁力扣。

教学过程：

一、 课前游戏激趣，唤醒一一对应思想

师：上课之前，我们来玩个“猜猜看”的游戏。

（课件出示。）

师：猜猜哪种图形多。

生：圆形多。

师：你是怎样猜出来的？

生：因为最后一个是圆。

师：最后一个是圆就是圆多吗？

生：我也觉得是圆多，因为一个圆和一个三角配对，最后剩下一个圆，应该是某组多一个圆。

师：他说得清楚吗？

生：清楚。

师：他用到了一个词——配对，谁和谁配对？

生：圆和三角。

（师课件演示配对过程。）

师：一个圆配一个三角，这样配好对以后，你会发现最后会——

生：剩下一个圆，所以是圆多。

师：一个圆形对一个三角形，这在数学上叫一一对应，如果最后一个是三角呢？

生：一样多。

师：最后一对也对应上了。我们以前就接触过“一一对应”，它是一种非常重要的数学思想，其实“一一对应”的数学思想还能帮我们解决更多的数学问题，今天就让我们带着这个数学思想走进课堂。

【评析】课前教师带领学生做“猜猜看”的游戏，不仅激起学生的学习兴趣，而且游戏中应用了“一一对应”的思想方法，引领学生的思维，为解决本节课的“植树问题”做了充足的铺垫。

二、对比引入，理解点段关系，建立植树问题的模型

1.解决问题，探寻点段关系。

师：我们首先来解决两个问题，先来看第一个。

（课件出示：20米的小路，每隔5米分一段，可以分成几段？）

生：20÷5=4（段）。

师：黑板上的线段就表示这条20米的小路，谁能来帮我分一分？

（生演示平均分小路）。

师：他用了几个点把小路分成了4段？我们来看下一道题。

（课件出示：一条小路长20米，在小路一侧每隔5米种一棵树，可以种几棵树？）

生：20÷5=4（棵）。

生：20÷5=4 4+1=5（棵）。

生：20÷5=4 4-1=3（棵）。

师：同样的一段路，为什么这么多种答案？到底谁对谁錯？刚才我们是猜想，现在请你来验证一下。你能不能用一种很形象直观的方法来把你种树的过程表示出来，让别人一眼就能看懂你种了几棵树？请你先自己准备一下。

（师巡视发现很多学生都画线段图来表示。）

师：我发现不同的答案了，而且有的同学非常清楚地表示出了种的棵数。先请一名同学把他的种树方法展示一下。

（生用磁力扣摆。）

师：他的方法符合题目要求吗？

生：符合。

师：看一下这两道题，题目一样吗？

生：不一样。

师：哪里不一样？

生：第一个是求分成几段，第二个是求种了几棵树。

师：一个是求几段，一个是求几棵，完全不同。可是我们在计算的时候都用到了一个算式。（板书：20÷5=4。）这个“4”究竟求的是什么呢？

生：“4”是这条小路分成的段数。

师：我们把小路分成一段一段的，可种树是要种在哪里啊？

生：种在把小路分成段的点上。

师：点和段一样吗？

生：不一样。

师：哪里不一样？

生：种树是一个点一棵，而一段是两个点。

师：点和段有什么联系呢？

生：一个段有两个点。

师：那两个段呢？

生：3个点。

师：3个段呢？

生：4个点。

师：如果继续往下画，数不过来的时候，点和段会有什么关系？

生：点比段多1。

师：你是怎么知道的？

生：一个点对着一个段，最后还剩下一个点。

【评析】张老师在引领学生建立植树问题模型之前，运用两道对比题让学生深刻体会什么是段，什么是点，从而发现平均分是把小路分成几段，植树是把树种在点上的，体会点与段的不同。这个过程，为下一步应用“一一对应”的数学思想建立植树问题模型做好过渡。

2.构建植树问题模型，总结植树方法，探究棵数和间隔数的关系。

师：我们把树种在点上，段就是两棵树之间的间隔。那么“5米”是什么呀？

生：两棵树之间的距离。

师：我们可以总结一个公式，20米是小路的全长，5米是两棵树之间的距离，叫做棵距，用全长÷棵距=间隔数。（板书。）我们用20÷5=4，求出的是4个——

生：间隔。

师：那么5棵树是怎么算出来的呢？

生：4+1。

师：4个间隔加上1棵树，就是5棵树吗？你觉得道理说得通吗？

生：一个间隔对着一棵树，4个间隔就对着4棵树，4棵树加一棵树就是5棵树。

师：用这种方法继续种树，5个间隔会有几棵树？ 6个间隔会有几棵树？8个间隔会有几棵树？你有什么发现？

生：棵数永远比间隔数多一个。

师：我们可以做个总结：棵数等于——

生：间隔数+1。

（师板书：棵数=间隔数+1。）

师：我们给这种头和尾都种树的方法起个名字吧。

生：两端都植树。

生：非封闭线上两端植树。

师：简练一些就叫两端植树。回到“20米的小路”这道题，我发现还有其他答案，你能把你的种树方法也来摆一摆吗？

（生在黑板上摆出。）

师：你认为她的方法符合题目的要求吗？

生：不符合。

师：为什么？

生：每隔5米种一棵，这条小路长20米，她只种了15米。

师：你认为这里还应该种上树，那个同学你来告诉他，你这为什么不种了。

生：我觉得两边不用种。

师：生活中碰到什么情况导致这一端不用种树。

生：两边有东西。

师：有什么东西？

生：比如说墙或者是楼。

师：生活中有建筑的时候，这里就不用种了，这样符合每隔5米有一棵树的要求吗？

生：符合。

师：用这种种树方法种了几棵树？

生：3棵。

师：按照这种方法继续种树，5个间隔几棵树？6个间隔几棵树？10个间隔几棵树？你有什么发现？

生：棵数=间隔数-1。

师：头尾都种叫两端植树，那这种种树方法可以叫做——

生：两端不植树。

师：还有不同的种树方法吗？

（生到黑板演示。）

师：她摆得符合题目中的要求吗？

生：符合。

师：这儿为什么不种了？

生：因为有建筑。

师：按照这种种树方法继续种下去，5个间隔几棵？6个间隔几棵？10个间隔几棵？你有什么发现？

生：棵数等于间隔数。

师：这种方法可以叫做——

生：一端不植树。

师：有不同的吗？

生：一端植树。

师：我们就用这个。还有没有其他的种树方法？

（生到黑板演示。）

师：读读题目的要求是什么。

生：在小路一侧每隔5米种一棵树。

師：你觉得你的方法符合要求了吗？

生：不符合了。

师：为什么又不符合了？

生：因为这里隔10米了。

师：还有不同的种树方法吗？

（生黑板演示。）

师：你也看看题目的要求是什么，你发现什么问题了吗？

生：前面隔了10米。

师：这样符合吗？动脑筋想一想。

（生马上补一棵。）

师：他补上了一棵，这样符合了吗？

生：符合了。

师：同学们看看，这属于哪种情况？

生：一端植树。

师：还有没有其他种树方法？

（生黑板演示。）

师：她把树种在了间隔的中间，你们觉得行吗？

生：行。

师：那我们看看前面是多少米。

生：2.5米。

师：符合要求吗？

生：不符合。

师：还有其他的种树方法吗？

生：没有了。

师：我们要感谢这条小路，让我们研究出了这么多的知识。不仅找出了三种不同的种树方法，还找到了不同种树方法下棵数与间隔数的规律。刚才我们研究的这种点段关系的问题就是数学中一个典型的问题，叫做植树问题。（板书课题。）

【评析】建立植树问题模型是本节课的重难点，教师巧妙地用一系列的问题引发学生思考，学生很快从课前的小游戏和点段关系中找到“一一对应”的方法，从而理解植树问题的本质特征，为建模打下了坚实的基础。在探寻不同的种树方法时，教师利用线段图让学生到讲台上亲自“种树”，并引导学生用一一对应的思想理解间隔数和棵数的关系，从而建立植树问题模型，这样在理解的基础上再进行建模，植树问题模型思想已牢牢地深入了学生的内心。

三、感受生活中的植树现象，自主创编，巩固模型

1.感知生活中的植树现象。

师：植树问题不只是种树，它是生活中的一大类现象。想一想生活中除了树可以放在点上，还有什么也是可以这样的？

生：挂红旗，红旗之间的距离是相等的。

生：安路灯，每隔10米安一盏路灯，路灯之间的距离是相等的。

生：摆花盆。

…………

2.自主创编，巩固模型，感受两侧植树。

师：让我们来编一道这样的植树问题吧。安路灯、插红旗、摆花盆、放垃圾桶都可以，但是一定要把你的要求说清楚，是两端都有，还是两端都没有，还是一端有。你先想一下需要哪些数学信息，如果想好了，就可以动笔了。

（生编题。）

师：让我们一起来解决我们自己创编的数学题，看看他们出的题能不能难到你。

（出示：一条小路长40米，每隔8米种一棵树，能种几棵树？两端种树。）

生：40÷8+1。

（出示：一条小路长20米，在小路一侧每隔4米种一棵树，小路一端有大楼不能种树，能种几棵树？）

生：20÷4。

师：这道题我把它做一下改动，我做了什么改动？

生：把一侧变成了两侧。

师：两侧是什么意思？

生：两端。

师：是两端吗？

生：不是，是两边。

师：还可以怎么说？

生：两旁。

师：那这道题该怎么解决？

生：20÷4×2 。

3.同类拓展，提升认识。

师：我们每天都上楼梯，你觉得爬楼梯是不是这类现象呢？我们一起来看看。

（课件出示：爬楼梯的时候，楼层和楼梯层数的关系是什么？）

生：楼层比楼梯层数多1。

师：我也出一道题来考考你们。

（课件出示：小明放学回家，每上一层楼梯需要10秒，小明从一楼走到家用了50秒，小明家住在几楼？）

生：50÷10+1。

师：同学们见过锯木头吗？

（课件出示：锯木头的时候，锯的次数和段数的关系是什么？）

生：锯的次数比段数少1。

师：再出一道题考考你。

（出示：一根木头长14分米，每2分米锯一段，需要锯几次？）

生：14÷2-1。

师：14÷2求的是什么？

生：锯成了7段。

【評析】张老师的课堂练习部分打破了以往教师出题学生练习的常态，而是让学生自己创编问题。在学生创编过程中，也是对植树问题知识的巩固过程。教师利用学生创编的问题引领学生进行解决时，激起了学生强烈的解决问题的欲望，继而出示“爬楼梯问题”“锯木头问题”，引领学生把植树问题回归生活，让学生体会植树问题属于生活中常见的一大类问题。数学回归生活的理念也自然而然地深入学生内心。

四、课堂总结

师：同学们，我们今天研究了这么多知识，你知道它在哪吗？其实，它就在我们的手上。举起你的右手，仔细看看有什么发现？（5个手指4个间隔。）把它看成种树，从头到尾都种树，种几棵？（5棵。）头种尾不种，几棵？（4棵。）头尾都不种，几棵？（3棵。）（师手指弯曲。）这是把树种在哪了？（圆上。）棵树和间隔数会有什么关系呢？把这个问题留给善于思考的你们，相信你们一定会有所收获！最后让我们把手握紧，把知识握在手里，放进心里。

总评：

《数学课程标准》指出：“掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。”今天张老师执教的植树问题是传统奥数问题中比较难的类型，过去人们一直认为植树问题就只是种树问题，多数人还会走入机械背诵、套用植树问题模型的误区。张老师执教的这节课切入点找得准，打破了以往只是为教学种树而讲植树问题。教师教得轻松，学生学得愉快。

1.一一对应思想方法巧妙运用，有效解决植树问题。

教师在课堂上没有直接告诉学生本节课要用一一对应的思想方法解决植树问题，而是步步深入。由课前游戏对一一对应思想的唤醒到点段关系的处理，再到“全长÷棵距=间隔数”公示的呈现，都是在运用一一对应思想解决问题。在一一对应思想完全深入学生内心后，再引导学生运用这种思想建立植树问题模型时，自然水到渠成了。课堂上学生活跃的思维，灵动的表现，能看出一一对应思想确实有效地解决了植树问题。

2.通过线段图直观理解植树问题数学模型，引领学生进行深入思考。

在植树问题中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学植树问题的难点。在建模的过程中，张老师通过引导学生先自己画线段图，感知种树方法，再让学生到黑板前，用磁力扣表示树，现场在线段图上种树。看似简单的操作过程，却激起了学生探究、思考的欲望。学生先后摆出了“两端植树”“一端植树”“两端都不植树”三种情况。由于线段图直观形象，为了锻炼学生思维，让学生真正理解植树问题，张老师又问：“还有不同的摆法吗？”学生开始深入思考，又摆出三种错误的方法。针对错误的方法，张老师适时引导学生读清题意，学生发现不合理地方，自行改正。这个过程不但培养学生认真审题、乐于思考的习惯，而且学生完全理解和掌握了解决植树问题的方法。

3.联系生活实际，注重应用意识的培养。

培养学生应用数学知识解决生活中问题的能力是“新课程”中明确指出的培养目标之一。本节课在植树问题模型构建后，教师让学生自主创编习题，对植树问题模型进行巩固。教师在引领学生解决自主创编的基础上，出示“锯木头问题”“爬楼梯问题”等问题，引导学生解决的同时，把植树问题的思想自然地拓展到了生活的方方面面。

这节课简约而不简单，教师利用一一对应的思想构建植树问题模型思想，再拓展到生活中解决实际问题。这是一节平实、扎实、真实的课。张老师能站在学生的角度考虑问题，充分尊重学生的独特体验，以培养学生的核心素养为前提，把数学思想方法的渗透放在首位，课堂效果明显。学生不只是学会了解决植树问题，更学会了分析、解决多种多样的问题。

编辑∕韩晓雨