赵向前

一、求几何体的外接球时，易忽视球的几何性质

考点指南：球的问题是平面图形圆的立体化、空间化问题，圆的考点在高中侧重解析几何问题的考查，即与圆的方程有关的问题，高中圆的几何特性（几何图形的外接圆）主要体现在空间几何体的外接球的知识方面，即求解与几何体的外接球有关的问题时，需要把立体球转化为平面圆进行分析，考查层次属于有难度的问题。

例1 一个几何体的三视图如图1所示，求该几何体外接球的表面正视图侧视图积。（单位：cm）

解题分析：根据题意知该几何体是一个圆锥，俯视图其轴截面是边长为2cm的正三角形，则几何体及其外接球的直观图如图2所示。由题可知轴截面△PAB为正三角形，球心O为正三角形的重心，根据三角形重心的知识，则

考查意图：本题主要考查同学们的空间想象能力、空间问题平面化能力及计算能力。虽然本题是求解外接球的表面积，但是在求解球的半径时，需要逐步进行，故对运算逻辑也是有考查的。

复习建议：由于高考是选拔性考试，考题定位“源于课本，考查分析问题与求解问题的能力”，学习中，应立足教材，对教材中的核心题型，比如求三棱锥的外接球，只有做好归纳总结，步骤细化，有了基本方法的掌握，才能在解决柱体、锥体的问题中做到熟练掌握与应用。

变式练习1：如图3，在P四棱锥P-ABCD中，面PAB⊥面ABCD，OPAB是等边三角形，四边形ABCD为矩形，边长AB=2，AD=4，求四棱锥P-ABCD的外接球的体积。

解题分析：如图4，构造四棱锥P-ABCD的外接球O，因为△PAB为正三角形，正△PAB的外接圆为O2，根据三角形重心的知识，则PO2：O2E=2：1。

二、判断线面关系时，易忽视几何载体或空间几何常识的应用

考点指南：有关线面关系的问题，属于考题中的小题部分，出题灵活，考查点线面的空间位置关系，在分析过程中，需要借助不同的几何体或线面关系去呈现，考生在做题时，由于线面垂直、平行及判定性质（八大定理）同时出现，易脱离几何载体或忽略几何常识。在简易逻辑问题上，条件的考查对考生来说比较抽象，特别是p是q的什么条件，或p的什么条件是q等知识的考查，属于基础题型中易于出错的部分。

例2 设m，n是平面a内的两条不同直线，l，s是平面β内两条相交直线，则a⊥β的一个充分不必要条件是（）。

A.l⊥m，l⊥n

B.m⊥l，m⊥s

C.m⊥l，n⊥s

D.m//n，llm

解题分析：本题给出空间中两线两面，从线面关系去证明面面垂直，需要考虑证明面面垂直的基本方法，就是线面垂直的判定定理或直二面角知识。如图5中，anβ斜交，知A，D选项错误，直线l⊥a。图6中，anβ斜交，m⊥l，n⊥s，知C选项错误。B选项是线面垂直的判定定理，故B选项正确。

考查意图：简易逻辑中的条件结合空间点线面知识，属于基础问题的综合，体现知识的交叉情况，立足空间几何直观和几何载体，注重对考生基础能力、基本方法应用能力的考查。

复习建议：在基础问题方面，紧扣数学核心知识及考点，准确掌握概念，平时注重常规问题的分析，简单不出错，拿准分才是考生应该锻炼的。

变式练习2：已知不同的直线l，m，n，平面anβ，γ，则下列关于线面关系的说法中正确的是（）。

A.l⊥m，m⊥」n，则l⊥n

B.m⊥ann⊥_an则m//n

C.x//l，β//l，则a//p

D.a⊥β，β⊥γ，则a⊥γ

解题分析：A选项中的直线l与直线之间还存在平行、相交、异面的情况;B选项正确，直线重合的情况，在本题不会出现，考生不用纠结;选项C、D中的两个平面可能存在平行、垂直、相交的情况。

三、证明平行问题时，易忽视经典平行证明方法的应用

考点指南：线面的平行问题，是高考立体几何问题中的核心证明问题，与线面垂直处于同样重要的地位。在人教A版《数学必修2》中，关于线面平行有两个判定定理与两个性质定理。虽然可以用向量证明平行与垂直问题，但高考中的立体几何解答题，其第一问一般考查平行与垂直，主要用定理去证明，应用时，结合具体问题，平行因素体现在比例或中点问题上。方法一，构造面面平行;方法二，通过中位线、比例、平行四边形证明线线平行。

例3 如图7，P是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且。求证：MN//平面PDC。

解题分析：由题知，该图形可看作四棱锥P-ABCD，

如图8，在AD上取一点Q，满足，即Q是AD的三等分点，连接MQ，NQ。在△ADP和△DAB中，MQ//PD，NQ//AB。

在平行四边形ABCD中，AB//CD，所以NQ//CD。

又MQ∩NQ=Q，CD∩PD=D，所以面MNQ//面PCD。

又MNC面MNQ，所以MN//面PCD。

考查意图：本题通过比例给出条件去求证平行，对比中点问题，考生易构造中位线在面内寻找线线平行，但通过构造面面平行，用面面平行的判定定理是比较好的方法。本题考查考生对平行问题的常见证明方法的理解与应用情况。

复习建议：立体几何是高考的必考点，在解答題型中证明问题与求解问题属于中等难度题型，对比圆锥曲线与函数问题，考生易得分，复习时要熟练掌握基本定理，解题时步骤要写详细，保证得分点突出。注意经典题型与构造问题，做好积累归纳。

变式练习3：如图9，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=1/2AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点。证明：直线CE//面PAB。

解题分析：如图10，在四棱锥P-ABCD中，取AD的中点F，连接EF，CF，AB=BC=1