张鹏　胡昌华　白灿　张优　张建勋

摘要：针对退化过程呈现两阶段特征的随机退化系统剩余寿命预测问题，建立两阶段维纳过程退化模型，并引入随机效应描述样本间差异性。基于时间一空间变化方法以及变点处退化值的随机特性，给出首达时间意义下系统寿命分布解析表达形式。提出一种基于期望最大化（expectation maximization，E"算法和贝叶斯理论的模型参数离线辨识和在线更新算法。最后，结合液力耦合器（liquid coupling device，LCD）的实际退化数据，验证所提方法的可行性与有效性，并说明其工程应用价值。

关键词：两阶段维纳过程;剩余寿命预测;期望最大化算法;贝叶斯方法

中图分类号：TB114.3;TP202 文献标志码：A 文章编号：1674-5124（2019）01-0001-07

0 引言

随着现代科学技术的飞速发展，工业设备产品呈现出集成化、智能化、复杂化的发展趋势，功能增强的同时给设备的可靠性研究带来了新的挑战。设备在运行过程中不可避免地受到外部环境和内部因素的随机影响，导致性能下降乃至退化失效，对于此类随机退化系统，采用随机过程为基础的退化建模方法进行寿命预测是很好的选择，其中基于Wiener过程的建模方法由于其良好的数学性质在退化建模和寿命预测中得到广泛应用[1]。

目前大多数基于随机过程退化建模的文献认为系统在退化过程中遵循单一的随机退化模型，而在工程实践中由于退化机理的复杂性、环境因素的影响、系统工作状态的改变等，一些设备和产品的退化速率以及数据波动程度呈现出两阶段甚至多阶段特性[2]。例如，液力耦合器的退化过程可分为两个阶段[3]，第一阶段迅速退化，然后在第二阶段缓慢退化至失效，与之类似的有激光发射器[4]、等离子显示板[5-6]、有机发光二极管[7]、加速度计[8]等;也有像锉电池[9]等开始时经历一个平稳退化期，随着充放电的进行，由于固体电解质层在电极上的生长以及副反应导致的活性材料的损失，导致锉电池容量在后一阶段迅速衰落。

对于此类存在变点的两阶段随机退化系统进行退化建模和寿命预测研究，已有不少学者关注并取得一定进展。Wang等[3提出在变点前后液力耦合器的退化分别使用伽马过程和维纳过程来控制，在此基础上详细讨论了实时可靠性评估和参数估计问题。Bae等[6]在对等离子显示板的退化研究中引入带有变点的随机系数对数线性模型，并用极大似然估计方法得到其寿命分布。Wang等[7]提出了一种以贝叶斯框架为主要内容的变点维纳过程模型，用于有机发光二极管的退化预测，与最大似然法相比分段贝叶斯方法表现出更强的鲁棒性。Chen等[10]在两阶段对数线性模型的基础上进行改进来描述滚动球轴承的分段退化过程，并用贝叶斯方法更新模型参数进行寿命预测。Yan等[11]用两阶段维纳退化过程对液力耦合器的进行可靠性评估，基于赤池信息准则和残差平方和标准估计变点。

尽管两阶段退化模型取得了一些理论与实际应用成果，但是仍然存在一些问题有待研究和解决。考虑到同批次产品之间存在差异性，其变点处的退化量以及两个阶段的退化模型参数都会存在一定的差异，目前仅有很少一部分文献[12]考虑该问题。此外，现有文献中通常假设变点处的退化量已知或其分布函数能够从历史数据统计得到，这会需要大量的历史退化数据[10]。实际上，由于第一阶段退化的不确定性，在退化过程达到变点前，变点发生处的退化量未知，并非一个确定值或期望值，是与第一阶段退化模型相关的随机变量，在进行首达时间意义下的剩余寿命预测时，必须考虑这一点。

综上本文在两阶段维纳退化模型的基础上，引人随机效应来描述样本间的差异性，研究了剩余寿命预测中的模型参数的离线辨识和在线更新算法，最后通过液力耦合器的实例研究验证了本文所提方法可以有效实现对两阶段退化设备的剩余寿命预测。

1 两阶段Wiener过程退化模型

1.1 退化模型的假设

假设1 系统性能退化过程呈现两阶段特征，存在变点，变点前后两个阶段退化速率存在显著差异。

假设2 在各个阶段，系统的退化过程{X（t），t≥0}服从独立的线性Wiener过程：

X（t）=x⁰+μt+σB（t）（1）其中x⁰是初始退化量，μ和σ分别是漂移系数和扩散系数，{B（t），t≥0}为标准布朗运动，反映退化过程的随机动态特性。

假设3 系统的寿命定义基于随机过程的首达时间概念[13]，当性能退化量首次超过失效阈值ω时产品失效，即有：

T=inf{t：X（t）≥ω|X（o）<ω}（2）

失效阈值ω根据实际工程要求给定。那么对于一个运行中的设备，其在时刻t_k处的剩余寿命L_k为

L_k=inf{l_k：X（l_k+t_k）≥ω|X（t_k）<ω}（3）

1.2 两阶段Wiener过程退化模型

基于以上假设，对于此类存在变点的随机退化系统可以建立两阶段Wiener过程退化模型：

X（t）=x⁰+μ₁t+σ₁B（t），0

x_τ+μ₂（t-τ）+σ₂B（t-τ），t>τ（4）其中，x⁰表示退化過程初值，为简化计算常假设初始退化量x⁰=0;X_τ表示第二阶段退化初值即变点处的退化量，τ表示变点发生时间;μ₁和σ₁分别表示第一阶段退化过程的漂移系数和扩散系数，μ₂和σ₂分别表示第二阶段退化过程的漂移系数和扩散系数。

2 剩余寿命估计

在工程实际中，受产品材料、制造工艺差异和工作环境变化等因素的影响，同批次产品的退化特性通常会存在个体差异性[1]，即退化轨迹有较大相似性，但是各个产品的退化数据对应的退化率是不一样的。为反映这种样本间差异性所导致的随机效应，在此采用文献[1]，14]中的方法，将退化模型中相关参数随机化，定义式（4）中漂移系数μ₁和μ₂为随机参数表征个体差异性，并分别服从正态分布N（μ_α，σ_α2）和N（μ_β，σ_β2），σ₁和σ₂为确定性参数。为简化问题，假定变点发生时间固定，若变点处的退化量XT已知，根据文献[15]中Wiener退化过程寿命分布，可得两阶段退化过程寿命的PDF如下：

事实上，在变点未出现时，变点处的退化量是未知的，这对计算第一阶段寿命的PDF没有影响。但是在计算第二阶段寿命的PDF时，根据首达时间的概念，要计算退化过程在（x_τ，∞）失效概率，需保证退化过程在（0x_τ）上未超过失效阈值，因此为得到寿命的PDF，必须考虑首达时间意义下x_τ的分布，即在X（t）<ω条件下经过时间τ退化量从0到x_τ的转移概率。

首先假设系统在变点发生前就已经失效，即寿命T<τ，此时系统退化过程可看作单一的线性退化过程，寿命的PDF仍按式（5）中所示不变。

系统在经历变点后失效，即寿命T>τ，此时系统退化过程用建立的两阶段维纳退化过程模型描述。

引理1[16]对于两阶段退化过程，如果漂移系数μ1和μ2分别服从正态分布N（μ_α，σ_α²）和N（μ_β，σ_β²）来描述样本间的差异性，用g_τ（x_τ|μ_α，σ_α）表示经过时间t从0转移到x的转移概率，那么寿命的PDF有如下形式：

其中：

若已知当前时刻t_k的退化状态x_k，用l_k表示系统的剩余寿命，f_L（l_k）表示系统剩余寿命的PDF，在随机退化速率μ₁和μ₂的影响下，可获得基于两阶段维纳过程退化模型的系统剩余寿命的PDF。

情况1：当前时刻tk在变点前，即t_k<τ。此时系统失效模式仍可能有两种。

1）在变点前失效，此时剩余寿命PDF为

2）在变点后失效，即t_k<τ且l_k+t_k>τ，此时剩余寿命PDF与式（6）、式（7）有类似的形式，在此不再赘述。

情况2：当前时刻t_k在变点后，即t_k>τ，此时剩余寿命PDF为

3 模型参数的估计与更新

3.1 基于EM算法的离线参数估计

假设存在同一批的n个随机退化设备，分别对应了n组退化数据，即X={X₁，X₂，…，X_n}。其中X_i={x_i，0，x_i，1，…，x_i，m_i}表示第i个设备在时间{t_i，0，t_i，1，…，t_i，mi}上的监测值。在实际工程中，常采用等时间间隔采样来收集数据，那么为简化问题，令Δt=t_ij-t_i，j-1，小此外，为了描述样本间差异性，假设两阶段的漂移系数为随机变量。值得注意的是，对于某一单个退化设备而言，所有参数都应是常值参数，即这种随机性仅反映了样本间差异性。

E步：计算其中，表示基于观测数据X在第k步的估计值。

M步：计算对其求偏

下面给出第k+1步的参数估计结果：

由EM算法的性质可知，最后退化模型的参数估计是收敛的，通过迭代E步和M步直到满足某一收敛判据时终止，由此得到对应的参数估计值。

3.2 基于貝叶斯理论的在线参数更新

在本小节中，主要针对某一运行中的退化设备，如何根据离线参数估计得到的先验信息和当前运行信息来更新参数估计结果。定义当前时间为t_k，而当前运行设备从时间t⁰～t_k获取的退化数据为X_0：k={x₁，X₁，…，x_k}，注意到，如果变点未出现，即t_k≤τ，也就是说退化仍处于第一阶段且尚无当前设备的第二阶段退化数据，那么仅需根据收集的退化数据来更新第一阶段模型参数;与之相反，若变点已经出现，即t_k>τ，那么仅需要更新第二阶段模型参数。

令μ_α，0，σ_α，0，μ_β，0，σ_β，0表示μ₁，μ₂的先验信息。若t_k≤τ，可利用收集得到的当前设备运行数据进行参数更新。根据贝叶斯理论，有如下结果：

由于p（X_0：k|μ₁）和p（μ₁）服從正态分布，那么根据共轭正态分布的性质，可得到后验分布为

类似地，若t_k>τ，可利用当前运行设备退化数据更新参数μ₂，由于第一阶段数据与第二阶段模型无关，因此仅需要数据X_τ：k={x_τ，x_τ+1，…，x_k}用于更新：

4 实例研究

本文所提方法在应用场景下模型参数的离线估计和在线更新以及设备可靠性评估步骤流程如图1所示。

以液力耦合器为研究对象，按照上述设备模型参数的估计更新以及寿命预测的步骤，对文中提出的模型进行实例研究。图2描述了5台液力耦合器的振幅随时间的变化情况[3]。从图中可以看出，退化数据呈现出明显的两阶段退化特征。本文采用LCD₁、LCD₃、LCD₄、LCD⁵4组数据用于离线参数估计，并将估计得到的模型参数作为先验信息用于之后的在线参数更新和剩余寿命预测。此外，假设LCD₂的退化数据作为当前设备的运行信息用于在线参数更新和剩余寿命预测的校验。

首先，根据EM算法离线估计得到参数μ_α，σ_α²，μ_β，σ_β²，σ₂²的估计值。

如图3所示，蓝线表示在EM算法中给定的100组不同的模型参数初值，绿线表示最终迭代结果，最终模型参数均收敛至如下结果：μ_α=0.2043、σ_α=0.0091、μ_β=0.0111、σ_β=0.0010、σ₁=0.0869、σ₂=0.0122，其中变点发生时间为τ=90d。实验表明本文所提算法的可行性和稳定性。从参数估计结果可以看出，第一阶段模型参数明显异于第二阶段模型参数，这也说明了退化呈现两阶段的特征。进一步，利用离线参数估计结果作为先验信息，结合LCD₂退化数据进行在线参数更新，结果如图4、图5所示。

接下来，根据在线参数估计的结果，对剩余寿命进行估计。规定当振动振幅超过阈值36mm时，液力耦合器发生失效。LCD₂的剩余寿命预测结果和均方根误差如图6、图7所示。从中可以看出，本文所提方法能够有效预测LCD的剩余寿命。整体上看，随着运行时间的增加，寿命预测结果愈加精确，但当退化率发生较大波动时，预测结果误差稍有增大。在图7中反映为从330～390d，均方根误差有增大趋势，当退化率稳定波动较小时，误差不断减小。根据寿命预测结果，为保证设备的运行可靠性，在设备失效前及时对设备进行维修替换活动，从而避免财产损失和事故发生。

5 结束语

本文结合工程实践中设备退化过程存在变点，变点前后退化特征显著差异的问题建立了两阶段维纳过程退化模型进行剩余寿命预测研究，重点阐述了模型参数的离线辨识和在线更新算法，最后通过液力耦合器实验数据验证了其可行性和有效性。

1）引入随机参数描述样本间差异性，得到首达时间意义下两阶段系统剩余寿命分布的解析表达形式，实现剩余寿命的在线实时估计。

2）提出基于EM算法的参数离线辨识和基于贝叶斯理论的参数在线更新算法，实现设备的实时可靠性评估，为维修替换决策提供依据。

本文研究的两阶段退化模型是多阶段模型的基础，基于多阶段模型的退化建模与剩余寿命预测问题可在本文研究结论的基础上拓展推广得到。下一步工作将继续研究多阶段退化问题以提高方法的普适性和应用价值。

参考文献

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