陈广义

(内蒙古鄂尔多斯市鄂托克旗高级中学 016100)

抽象函数定义域问题一直是学生学习的难点，如何行之有效地解决此类问题是值得我们反思的.我所在的学校是基层学校，学生基础比较差，如何在符合学情的情况下让学生理解并掌握抽象函数定义域问题呢？我是这样设计的：

问题1(2018·青岛一模)已知函数f(x)的定义域为(-1,0)，则函数f(2x+1)的定义域是____.

设计目的：由学生讨论并总结一般规律，符合特殊到一般认识规律.

甲同学：由已知得-1

再经过讨论，大家认可乙同学答案.尽管学生听懂了的解法，但是似乎理解上依然存在困惑.抽象函数通常指一类没有给出具体解析式的函数,其概念是非常简单的形式定义,学生理解有相当难度,很难准确揭示概念的本质属性.为了让学生了解数学本质，我们还要回归函数的概念.一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,其中x叫做自变量,x的取值范围也就是集合A叫做函数的定义域.因此任何函数的定义域都是指自变量x的取值范围.正是由于定义域中自变量x的首先变化，引起了函数值的变化，所以，函数的定义域确切地说是函数中首先变化的那个量的所有取值组成的集合.通过老师引导和学生讨论.

追问：同学们回答都很好，哪位同学总结一下已知f(x)的定义域是[a，b]，求f(g(x))的定义域过程.

丁同学：可通过a≤g(x)≤b，求出x的取值范围.

设计意图:已知f(g(x))的定义域是[a，b]，求f(x)的定义域.

为了更好理解，我又引入一道题，希望在教学中可将抽象问题具体化，这样更符合学生的思维发展过程.把求抽象函数定义域问题转化求函数解析式问题中解决.

问题3：已知函数f(x2-1)=x4-2x2-1，求函数f(x)的解析式和定义域.

设计意图:抽象问题具体化,便于学生理解.

解(配凑法)：∵x4-2x2-1=(x2-1)2-2，∴f(x2-1)=(x2-1)2-2，x2-1≥-1，即f(t)=t2-2，t≥-1.故f(x)=x2-1，x≥-1.

点评函数f(x2-1)=x4-2x2-1的定义域是(-∞,+∞)，t=x2-1的范围是[-1,+∞)，而函数f(x)=x2-1中的x相当于函数f(x2-1)=x4-2x2-1中的x2-1，所以x的范围是[-1,+∞)，即定义域是[-1,+∞).

追问：把题目变式为“已知函数f(x2-1)的定义域为(-∞,+∞)，求函数f(x)的定义域.”有了上面有具体解析式的函数的铺垫，学生随口而出.

接着在解决问题二就相对容易了，让学生板演.

问题4:题1改为求函数g(x)=f(2x+1)+f(3x+1)的定义域．

设计意图:抽象函数定义域问题逐步渗透，加深对函数的理解与应用.

追问：同学们作的都很好，哪位同学总结一下已知f(g(x))的定义域是[a，b]，求f(x)的定义域过程？

戊同学：可由x∈[a，b]，求g(x)的范围(即y=g(x)的值域).

反思：老师在课堂上一味地灌输，学生死记硬背.这种“填鸭式”的教学与“机械模仿式”的练习，显然学生的能力是不可能提高的.要改变这种状况，教师就需要改进教学方法，努力实行启发式教学法、自主探究式教学法、生成性教学法、问题教学法、数学实验教学法、数学变式教学法、情景教学法等.只有灵活多变的教学方法才能充分调动学生的积极性.在教学过程中作为一线老师就要以学生为本，注重学生的思维发展，能力的培养，从多角度挖掘教材，最大限度地开发学生思维.只有这样师生才能变被动为主动，才能看到课堂上的共赢.