李春文

金属晶体中原子堆积方式复杂，每种堆积中原子空间利用率不尽相同，掌握金属晶体里晶胞中原子空间利用率对于解决所有晶胞的原子空间利用率问题具有触类旁通的作用。研究金属晶体里晶胞中原子空间利用率，首先应该掌握求算它的基本步骤：先找到晶胞中所含原子数，然后根据晶胞中紧邻原子的位置关系找到原子半径与晶胞边长的关系，再根据空间利用率的求算方法即晶胞中原子所占的实际体积与晶胞中原子围成的几何图形的体积之比，求得空间利用率。

一、简单立方堆积

简单立方堆积指的是相邻非密置层原子的原子核在同一直线，上的堆积。这种堆积使晶胞结构为立方体型（如图1所示），处于顶点的两个原子紧邻。

晶胞中所含原子数为8x（1/8）=1，该原子所占的实际体积为（4/3）πr3。由于处于顶点的两个原子紧邻，则原子半径与晶胞边长的关系为a=2r，那么晶胞中原子所围成的立方体的体积为（2r）3，所以简单立方堆积中原子空间利用率为

二、体心立方堆积

体心立方堆积指的是非密置层的另一种堆积方式，即将上层金属原子填人下层的金属原子形成的凹穴中，并使非密置层的原子稍稍分离。每层均照此堆积，这种堆积方式称为体心立方堆积。这种堆积方式使处于体对角线上的原子緊邻（如图2所示）。

晶胞中所含原子数为8x1/8+1=2，则晶胞中所含原子的实际体积为

。由于处于体对角线的原子紧邻，则原子半径与晶胞边长的关系为

，那么晶胞中原子围成的几何图形的体积为

，所以体心立方堆积中原子空间利用率为

三、六方最密堆积

每层都是密置层堆积，堆积方式是将上层原子填入下层原子形成的凹穴中，这样的堆积会得到两种基本堆积方式，按ABABAB……的方式堆积称为六方最密堆积;按ABCABCA……的方式堆积称为面心立方最密堆积。

如图3所示，在六方最密堆积的晶胞结构中，体内原子位于平行六面体的一半的体心，即正三棱柱的体心，该原子与上下6个原子紧邻，则该原子与下面（或上面）3个原子构成正四面体结构。

平行六面体中，上下底面为菱形，内角分别为60°和120°，上下底面所占有的原子数为

，体内还有1个原子，则晶胞中所含原子数为2，那么原子的实际体积为

。在晶胞内部的正四面体结构中，设晶胞边长为a，则a=2r。要想求晶胞体积，需要求晶胞的高。在正四面体结构中，底面边长为2r，底面中心到顶点的距离

为

，则正四面体的高为h=

而平行六面体的高为正四面体的高的2倍，即

。平行六面体的底面积

，则平行六面体的体积为

。所以六方最密堆积中原子空间利用率为η=

四、面心立方最密堆积面心立方最密堆积就是每一层都是密置层堆积，按ABCABCABC……的方式堆积（已叙述），这样的堆积使处于立方体面对角线上的原子紧邻如图4所示。晶胞中所含原子数为

，那么原子实际占有的体积为

。由于处于面对角线上的原子紧邻，则原子半径与晶胞边长的关系为

，那么晶胞中原子围成的几何图形的体积为

，所以该晶胞中原子空间利用率为

原子空间利用率的计算是选三的难点，亦是高考的难点，但它又不是无章可循。通过金属晶体里晶胞中原子空间利用率的计算，以及金刚石晶胞中原子空间利用率的计算，不难看出，无论多复杂的晶胞结构，想计算原子空间利用率，必须先求得晶胞中原子个数及晶胞边长与原子半径的关系，要想知道晶胞边长与原子半径的关系，必须知道晶胞中原子堆积特点，即处于晶胞的什么位置上的原子紧邻。