田婧 鄢社锋

【摘  要】针对正交频分复用通信在水声多普勒信道中存在严重的子载波间干扰问题，设计了基于广义高斯函数的滤波器组多载波复用系统。该滤波器组在保证子载波时频于二维平面上具有准正交性的前提下，通过扩宽目标时-频点的零陷，提高了系统对时延-多普勒双扩展的鲁棒性。同时，将分数间隔FFT频域均衡算法扩展到了该系统中，以纠正机动性平台的多普勒频偏。仿真分别设计了多径不一致多普勒扩展信道及时变信道两种场景，所设计系统的误比特率性能均比传统OFDM有明显提高。

【关键词】滤波器组多载波;正交频分复用;多普勒;分数间隔FFT

中图分类号：TN927

文献标志码：A        文章编号：1006-1010（2019）05-0045-06

1   引言

水声信道具有高度的多径多普勒双扩展特性。由于水中声速约为1 500 m/s，远小于无线介质中电磁波的传输速度，且水声环境具有高度时变性，因此其多普勒效应比无线通信应用要高出数个数量级。正交频分复用（OFDM， Orthogonal Frequency Division Multiplexing）技术具有良好的抗多径能力，但对于多普勒效应造成的子载波间干扰（ICI， Inter-Carrier Interference）具有高度敏感性，造成其在水声通信中的应用相比无线通信而言极为有限。

传统解决水声OFDM中ICI的研究大部分集中在多普勒估计、补偿与均衡技术上[1， 3]，如非线性均衡机制的频域判决反馈均衡（FDFE， Frequency Feedback Equalizer）[7， 10]以及频域Turbo均衡[11]等，其滤波器抽头需要覆盖全部互相干扰的子载波范围，或涉及到均衡器译码器之间的信息迭代，将会显著增加系统的复杂度，从而偏离了OFDM系统简化均衡处理的初衷。当信道中存在多径不一致多普勒扩展时，需要在整个时频二维平面上进行稀疏信道估计及高维非对角矩阵求逆[2， 8]，这种计算量和处理时延在很多场景下是难以接受的。

另一种解决ICI的方式是利用具有正交性的波形成型来降低子载波的旁瓣，如施加升余弦窗等[8]。但这种方法一则降低了带宽利用率，二则在双扩展信道下设计好的零点依然会遭到破坏，导致ICI。为了不过多地降低带宽利用率，另一种多载波传输机制是设计具有良好时频聚焦特性的滤波器组（filterbank），使得发送符号在时间-频率平面上的能量扩散限制在有限范围内，这种机制称作滤波器组多载波（FBMC， Filterbank Multicarrier）[12]。用具有良好时频聚焦特性的高斯基波形结合实数交错幅度相位调制（OQAM， Offset Quadrature Amplitude Modulation）是其中最为广泛研究的代表，其能够有效限制多载波通信的时延-多普勒带宽积，而不降低发送效率，但信道的基带复数特性会破坏实数符号的正交性，且该机制难以被拓展到多入多出系统。

与上述思路不同，本文采用文献[9]中的拓宽零点设计，结合扩展高斯函数族设计滤波器组，使得多载波系统在期望的时频点处具有非严格但具有一定范围的零点，以使得系统具有对时延-多普勒双扩展的鲁棒性。同时采用频域分数间隔FFT进行低复杂度的多普勒频移均衡，并在静态和时变信道下仿真比较该系统与OFDM的误比特率性能。

2    基于滤波器组的频分复用通信建模

2.1  传统OFDM原理

设在一个OFDM系统中有K个频率间隔为△f=1/T的子信道，其中第k个子信道采用的子载波频率为fk=fc+k△f，fc为通带载波中心频率。第k个子载波受基带符号S[k]调制，则基带OFDM符号的时域表达式为：

其中g（t）为窗函数，Sn[k]为第n时刻的第k个调制符号。OFDM的调制解调通常在频域中通过FFT进行，其实质为前端匹配滤波。忽略信道情况下，接收信号的频域特性表现为被基带符号进行幅度及相位调制后的窗函数频谱在频域上的移位之和：

正因为矩形窗对應的G（f）具有正交特性，且实现最为简单，因此传统的OFDM系统大多采用矩形窗。同时为了抵抗多径效应，发送端常常采用循环前缀（CP， Cyclic Prefix），而接收端再去掉CP。这等效于采用比接收矩形窗更长的发送矩形窗，两者依然保持了正交。然而，当信道中存在多普勒时，子载波产生频偏等畸变，导致本应落在正交零点的频域采样点此时落在了旁瓣上，如图1所示。Sinc函数的旁瓣衰减缓慢，其离主瓣最近的第一旁瓣的归一化衰减仅仅达到-13 dB，因此在多普勒信道中稳健性极低。

2.2  滤波器组多载波原理

OFDM对多普勒的高度敏感性来自于矩形窗频谱的高旁瓣特性。由于时域和频域具有对偶性，可以考虑减缓其时域波形的过渡带以加速频域波形旁瓣的衰减。当波型的时域衰减减缓时，单个FBMC符号的持续时间将比符号间隔T要长，即符号间在时域上相互重叠，等效于人为引入了符号间干扰（ISI， Inter-Symbol Interference）。由于FBMC将可用频带分割成了很多并行的子带，因此可以看作携带着调制信息的基带符号在时频二维平面上的分布。公式（1）中的波形成型函数G（t）称作原型滤波器，由于其经过时延和频移后分别匹配各路载波，因此被称作滤波器组频分复用通信。设计FBMC系统的本质就是设计原型滤波器。在接收端进行匹配滤波时，需要在时频二维平面上都满足Nyquist正交性，即其模糊度函数在（mT、nfk）点的值为0，其中m、n为整数。同时，为了降低对时频采样偏差的敏感性，希望两个域的旁瓣能量都限制在最小的范围内。然而，Balian-Low定理指出，在一定传输密度下，满足正交性的波形不可能在时频域上具有有限的时间带宽积[6]。另一方面，Nyquist正交性保证了波形在理想信道下不存在ISI和ICI，然而考虑信道的双扩展效应后，模糊度函数的零点依然被破坏了。因此，更稳健的办法是牺牲严格的正交性，转而设计具有宽零陷的波形，从而增加对信道扩展的稳健性，同时加快时频域的旁瓣衰减速度。高斯函数是具有最佳时频带宽积的信号，但离正交性的要求相差很远，此时可以用扩展高斯函数（EGF， Extended Gaussian Function）来进行调和。EGF是具有傅立叶变换下各向同性性质的一族信号：

其中hn（t）代表第n阶EGF。由于4n阶EGF对矩形时频格点具有旋转不变性，文献[9]用其作为基函数设计了具有宽零陷的滤波器组波形，代入式（5）和式（6），合成模糊度函数的表达式为：

其中A（p，q ）表示矩阵A（τ，f ）在（pTs，qfs ）处的采样值，（pTs，qfs ）的取值涵盖了全部目标零点（mT，nfk ）附近的邻域。矩阵A（p，q ）在零点以外不是共轭对称矩阵。文献[9]中类似的优化问题没有约束主瓣峰值的能量，而是将其作为正则项加入式（10）的代价函数，以使得自相关函数的峰值尽可能地接近1，这样导致的问题是还需要选择合适的加权参数。本文中采用主瓣峰值约束，参照上述模型，采用模拟退火算法求解上述非凸优化问题，解出c向量，即可用于合成滤波器波形。

本文设计的模糊度函数传输密度为4/5，时延-多普勒容限设为时频格点归一化后周围0.2的范围，和具有同样传输密度的CP-OFDM模糊度函数对比如图2所示。可见CP的加入等效于发送窗延长了1/5，而接收窗还是原有的符号长度，这实质上并不是匹配滤波，而是双正交滤波，这使得OFDM对一定范围内的时延具有了容忍度，但由于发送滤波器和接收滤波器仍然均为矩形窗，因此其频域的旁瓣衰减非常慢。而EGF-FBMC的时域响应比OFDM略宽，但频域衰减控制在相邻两个子载波之内。且由于宽零陷的存在，对零陷范围内的信道时延、多普勒扩展都具有容忍性。

3   多相滤波接收机与分数间隔FFT均衡

FBMC系统和传统OFDM系统相比，发射端和接收端都增加了原型滤波器组，因此在FFT的基础上提高了大约30%至50%的复杂度[12]，但和复杂的频域均衡技术相比代价显著降低，考虑到其稳健性增益，此种程度的复杂度提升是可以容忍的。OFDM中可以采用频域分数间隔均衡器[4-5]，即在整个频带内以数倍于载波数目的点数进行FFT，之后采用有限个抽头的线性均衡器覆盖相互干扰的子载波范围。对FBMC系统而言，由于广义高斯函数族具有指数衰减，从图3可见，2个子载波之外的模糊度函数衰减就达到了-55 dB以下，因此，可以采用2倍分数间隔FFT进行频域采样，之后用3个抽头的均衡器进行滑动均衡。图3为1 024个子载波，占据6 kHz带宽，中心频率为12 kHz的FBMC系统在平均频偏位30%子载波间隔的多普勒下，分数间隔FFT均衡前和均衡后的星座图比较，不考虑编码，其误比特率由0.209降低到了0.017，解码后误比特率降为0。

4   系统仿真

本节通过Matlab仿真验证所设计的FBMC系统在水声双扩展信道中和OFDM的性能比较。仿真通信系统采用1 024个子载波，占据6 kHz带宽，中心频率为12 kHz，每个子载波被基帶QPSK符号所调制。除去同步头外，共有6个数据块组成一帧。相邻两个OFDM块间采用CP保护间隔，长度为数据块的1/4，即数据块间隔5/4T。FBMC的数据块间隔也为5/4T。二者其余所有参数设置均完全相同。

4.1  多径具有不一致多普勒因子的双扩展信道

本节仿真多条路径对应不一致多普勒因子的双扩展信道。信道设置为7条多径，各条路径的时延服从均值为1 ms的指数分布;幅度衰减服从瑞利分布，其均值随时延指数衰减。各径对应的多普勒因子服从均值为0、标准差为α△f/的高斯分布，则最大多普勒扩展大约等于α△f，其中△f表示子载波间隔，α表示比例因子。仿真时考虑了α分别取为5%、10%和15%各三种情况。经过1 000次蒙特卡洛仿真，不同多普勒扩展对应的误比特率落随信噪比变化曲线如图4所示。可见，FBMC在相同信噪比下的误比特率整体显著低于矩形窗。之所以能获得如此显著的增益是由于宽零陷范围内的采样点都能降到噪声范围，而OFDM则直接采到旁瓣上，严重恶化了信干噪比。当多普勒扩展为15%时，信道扩展超过所设计的零陷范围时，FBMC的性能略微有所下降，但由于旁瓣的指数平方收敛特性，性能仍好于OFDM。

4.2  时变性导致的双扩展信道

本小节仿真时变性导致的双扩展信道，该信道模型基于文献[13]，各条路径的平均多普勒设为0，由多普勒扩展因子控制时变程度，分别设为1 Hz、2 Hz和3 Hz，信噪比设为15 dB。经过1 000次蒙特卡洛仿真，不同滚降因子对应的误码率落在不同区间的百分比如图5所示。如认为高于10-1的误比特率难以被纠错编码所纠正，从而视为通信失败，观察图5中空白柱的分布可见，FBMC没有出现通信失败的情况，稳健性比OFDM明显提高。

5   结论

本文设计了基于扩展高斯函数族的宽零陷FBMC通信系统，将频域分数间隔FFT均衡扩展到了该系统中，并通过计算机仿真比较了FBMC和传统OFDM在双扩展信道下的误比特率性能。仿真显示，多径具有不一致多普勒因子的准稳态信道下和时变信道下，FBMC的误比特率均比同等传输密度的OFDM有明显降低。在实际应用中，可以根据信道扩展情况设计零域的宽度，并将不同的波型参数存储在接收机中，以使得系统对不同信道扩展具有兼容性。

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