李雪 邓捷 吴春菊 李学彬

摘  要：基于盒维数法，分析了分形维数量测的各种方法，从二维的盒维数法到三维的立方体覆盖法（CCM）、改进立方体覆盖法（ICCM）、差分立方体覆盖法（DCCM）以及相对差分立方体覆盖法（RDCCM），并解释了各种方法对二维曲线以及三维粗糙面的覆盖原理。其次案例分析了四种三维分形量测方法的异同以及选用原则。最后总结展望了实际工程中分形维数对机械加工、三维重建的指导以及微观分析的辅助作用。

关键词：分形维数;立方体覆盖法;粗糙度

中图分类号：O24 文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2019）11-0115-03

Abstract： This paper analyses various methods of measuring fractal dimension quantitativealy， from two-dimensional box dimension method to three-dimensional CCM cube coverage method， ICCM improved cube coverage method， DCCM differential cube coverage method and RDCCM relative differential cube coverage method， and explains the coverage principle of various methods for rough surface. Secondly， the similarities and differences of the four three-dimensional fractal measurement methods and the selection principles are analyzed. Finally， the guidance of fractal dimension to machining， three-dimensional reconstruction and micro-analysis in practical engineering are summarized and prospected.

Keywords： fractal dimension; vox-counting method; roughness

1 概述

材料的破坏与变形一直都是固体力学工作者所关心的重要问题，多年来对它们进行了广泛的研究。近几年来，随着非线性科学的发展，一些新理论和新概念已广泛的应用于材料的破坏和变形的研究中。例如分形、混沌、符号动力学、小波分析等等，特别是分形几何的引入，使断裂力学的研究展现出新的前景。

大量观察表明：相当多的材料展现出非常相似的开裂图形，在微观薄膜沉积，油漆薄膜到几千米尺度的基石等差别悬殊的材料系统中，在一定尺度范围内形成一些非常相似的裂纹斑图。这种相似性可能提示我们在材料断裂和变形过程中存在某种普适性的系统。人们通过对材料断口形貌、裂纹扩展路径、位错分布形态的仔细观察、测量和分析发现：分形作为一种新的手段可以定量地表征断口形貌、裂纹扩展路径和材料的破碎与能量耗散。分形维数能定量刻画断口剖面的弯曲程度以及断裂表面的粗糙度。

2 二维分形量测法

分形维数的计算方法比较多，虽然准确度各不相同，但结果都大同小异。对于二维曲线来说，用不同的码尺去量测海岸线是分形量测中最早使用的方法，但盒维数法比码尺法使用更广。该法是将图像看作三维的曲面或者二维曲线，然后一定码尺的盒子去覆盖该面或者该线，最后计算盒子总数，然后根据码尺和盒子总数的关系得出分形维数。[1]用正方形的格子（δ*δ）去覆盖需要计算的曲线，格子的大小是变化的。给定盒子的尺码δ，可以数出覆盖该二维曲线所需的总盒子数目N。

因此，得出格子尺寸δ和覆盖所需总盒子数目N的数据，线性拟合，绘出双对数图，其斜率即为该几何的分形维数D。当格子越小的时候，得到的分形维数越能描述该曲线的各个细节，因此D=-limδ→0■

3 三维分形量测法

3.1 立方体覆盖法（Cubic covering method）

目前在所有用于估算粗糙表面真实分形维数的计算方法中，最具代表性的是立方体覆盖法[2]。立方体覆盖法（CCM）使用边长为δ的立方体去覆盖整个曲面，每一处都从最低处开始摆放立方体，直到覆盖住曲面最高点。改变观测尺度再次覆盖，再计算覆盖整个粗糙表面所需的立方体总数，若粗糙表面具有分形性质，按分形理论，立方体总数N（δ）与尺度δ之间应存在N=aδ-D的关系。

3.2 改进立方体覆盖法（Improved cubic covering method）

在文章[3]中周宏伟，谢和平等教授研究发现，在第i，j个网格内，覆盖的立方体个数由这个网格4个角点的最高值减去最低值，除以立方體单位边长再加1取整得到的。这意味着覆盖总是从网格的最低角点处的高度开始。由于不同的网格最低角点的高度不同，覆盖起始点就各有不同。这样覆盖不利于体现粗糙表面的复杂性和真实性。针对这个问题，几位研究者又提出了改进的立方体覆盖法（ICCM）[5]。

3.3 差分立方体覆盖法（Differential cubic covering method）

由于表面形状的复杂性，当所取立方体边长δ大于激光扫描的采样间隔时，无法保证立方体四个角点的高度最大（最小）值恰好是这个刻度内整个粗糙表面的最大（最小）高度，即出现无法完全覆盖的情况。因此，严格地说，CCM和ICCM都不能完全覆盖。考虑到这一点，文章[6]的几位研究学者提出了两种新的立方体覆盖方法，即差分立方体覆盖法（DCCM）和相对差分立方体覆盖法（RDCCM）。当CCM和ICCM使用大尺寸进行覆盖时，如果覆盖立方体的尺寸大于采样间隔S0，则整个粗糙面覆盖的格子数取决于某些特定的取样点[6]。

3.4 相對差分立方体覆盖法（Relative differential cubic covering method）

在差分立方体覆盖法（DCCM）的基础上，相对差分立方体覆盖法是从粗糙表面特定取样的最低点开始覆盖，直到覆盖完所有特定点的最高点。

4 各量测法对比分析

四种三维量测方法各有优劣，CCM方便计算，ICCM在CCM的基础上可以进一步体现粗糙表面的复杂性和真实性。DCCM可以覆盖住CCM、ICCM无法覆盖的部分，最后RDCCM从最低点量测到最高点，得出其相对的高差所需的覆盖格子数，算法较RDCCM快一些。因此对于同一个粗糙面各种分形量测方法得到的分形维数相差有多大？分别适用于什么情况？粗糙程度是否是各种方法的选用依据？计算所得分形维数D的大小以及所得数据变化趋势如何与材料微观组织建立联系？

从北京房山县的一个采石场开采的砂岩取样，通过激光表面仪测量该砂岩的表面形貌，再使用以上介绍的四种三维分形量测方法进行计算，所得尺寸δ与盒子总数N（δ）关系如表1所示。

分析以上数据发现，同一个尺寸下四种量测方法对比，覆盖的立方体数N（δ）：DCCM≥ICCM≥RDCCM≥CCM;DCCM数量最多，因为DCCM差分立方体覆盖法能捕捉不只立方体的四个角点信息，还能捕捉一系列特定点的信息，得到的粗糙面的信息最为完整，能覆盖几乎所有的最高点和最低点，因此所需的立方体数最多。其次ICCM改进立方体覆盖法，从统一最低平面开始覆盖，所需立方体量也比较大。CCM立方体覆盖法，当立方体尺寸与采样间隔相差较大时，可能会出现漏覆盖一些部分，因此立方体数最小。

通过数据处理发现，四种量测方法所得的盒子总数N（δ）都是随着盒子尺寸δ的增大而减小。拟合得到CCM立方体覆盖法的分形维数D为2.1655;ICCM改进立方体覆盖法的分形维数D为2.1662;DCCM差分立方体覆盖法的分形维数D为2.1084;RDCCM相对差分立方体覆盖法的分形维数D为2.1524。DCCM测出的D值最小，即反映曲面粗糙度最大，这也进一步证明了DCCM差分立方体覆盖法更能捕捉断面的更多粗糙点，获取更多信息。

5 结束语

从二维到三维的分形量测方法，各算法在不断的调整优化，目前得出DCCM差分立方体覆盖法能捕捉断面更多的信息，更适合粗糙情况较为复杂的断面;如果是粗糙断面较为平整光滑，则采用其他三种方法是可行的，这三种方法里相比较而言算法最为简单的应该是CCM立方体覆盖法，直接捕捉立方体四个角点的最大值最小值进行取整相减便可得到所需盒子总数，可节约计算时间。

此外，分形维数得出之后，对机械上进行二维表面轮廓仿真进行数控加工、扫描电镜下断口表面三维重建都有较大的指导作用。在分析微观性能方面，上海交通大学通过分形理论来对土体进行微观结构的探究，揭示其内在特性，目前已在应力路径影响、膨胀土分类、孔隙分维变化与土体演化等取得较多成果。谢和平在岩石断口定量分析上也取得一些成就，于是利用分形维数将其与金属材料的微观几何、疲劳断裂机理、疲劳断裂过程以及材料断裂性质等建立联系，帮助我们进行断裂机理分析、材料性能估计，还值得我们继续研究探索。

参考文献：

[1]谢和平.分形-岩石力学导论[M].北京：科学出版社，2005：18.

[2]张亚衡，周宏伟，谢和平.粗糙表面分形维数估算的改进立方体覆盖法[J].岩石力学与工程学报，2005，24（17）：3193.

[3]周宏伟，谢和平，KWASNIEWSKIMA.粗糙表面分维计算的立方体覆盖法[J].摩擦学学报，2000，20（6）：455-458.

[4]Zhou H W， Xie H. Direct Estimation of the Fractal Dimensions of a Fracture Surface of Rock[J].Surface Review and Letters，2003，10（5）：751-762.

[5]Zhang Y H， Zhou H W， Xie H P. Improved cubic covering method for fractal dimensions of a fracture surface of rock[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2005，24（17）：3192-3196.

[6]Ai T， Zhang R， Zhou H， Pei J. Box-counting methods to directly estimate the fractal dimension of a rock surface[J]. Applied Surface Science，2014，3114：610-621.