徐秀斌, 何宁杰

(浙江师范大学 数学与计算机科学学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

随着科学技术的迅速发展,求解非线性算子方程在工程技术中已有广泛的应用,但如可应用于非线性微分方程、边值问题和积分方程组求解等领域是学术界关注的焦点.设X,Y是Banach空间,Ω⊆X是一非空开凸子集,H:Ω⊆X→Y为非线性算子,考虑求解非线性方程

H(x)=0.

(1)

一般情况下,通常用迭代法求解非线性方程(1)的根,如果H是一个可微算子,那么Newton法[1-4]就是解方程(1)最常用的迭代方法之一,其迭代格式为

xn+1=xn-[H′(xn)]-1H(xn),n=0,1,….

(2)

但是,这种方法需要算子H′的存在性,若算子H不可微,则无法使用Newton法解方程(1).在这种情况下,通常使用差商法去逼近Newton法中的算子H′(xn).记L(X,Y)为从X到Y的所有有界线性算子组成的空间,对x,y∈Ω,若[x,y;H]∈L(X,Y)满足

[x,y;H](x-y)=H(x)-H(y),

(3)

则称[x,y;H]为算子H在点x和y处的一阶差商.

文献[5]提出了与Newton法有相同收敛速度的线性插值法，且无需求解H′(xn)，迭代格式如下：

(4)

文献[6-8]把H拆成以下两部分：

H(x)=F(x)+G(x)=0.

(5)

式(5)中:F是可微算子;G是连续不可微算子.

许多学者对Newton法作了二步修正[9-11]，研究了半局部收敛性.文献[12]提出了如下类似于二步修正Newton法的二步迭代法:

(6)

证明了在Lipschitz条件下的半局部收敛性.

文献[13]引入了如下迭代法:

(7)

证明了该方法在一类ω条件下的半局部收敛性.

受文献[12-13]的启发，本文将讨论迭代式(6)在ω条件下的半局部收敛性,同时证明解的唯一性.

1 半局部收敛性分析

这一节研究迭代法的半局部收敛性.取初值x0,y0∈Ω,并且假设：

1)‖y0-x0‖≤2α.

3)∀x,y∈Ω,

‖F′(x)-F′(y)‖≤ω1(‖x-y‖).

(8)

式(8)中:ω1:R+→R+是一个连续不减的函数;ω(0)≥0.

4)∀x,y,u,v∈Ω,

‖[x,y;G]-[u,v;G]‖≤ω2(‖x-u‖,‖y-v‖).

(9)

式(9)中:ω2:R+×R+→R+是关于2个变量都连续不减的函数;ω(0,0)≥0.

定理1假设条件1)～4)成立,记

m=max{β(ω1(η)+ω2(2α+η,0)),β(ω1(η)+ω2(2η,0))}.

不妨再设方程

(10)

存在最小正根r.如果

即x1∈B(x0,r).根据Taylor公式得

(11)

另一方面,由差商公式可知

G(x1)-G(x0)=[x1,x0;G](x1-x0).

(12)

结合式(11)和式(12)可知,

H(x1)=F(x1)+G(x1)=H(x0)+F′(x0)(x1-x0)+

-(F′(x0)+[y0,x0;G])(x1-x0)+F′(x0)(x1-x0)+

[x1,x0;G](x1-x0)-[y0,x0;G](x1-x0)+

(13)

从而

‖H(x1)‖≤‖[x1,x0;G]-[y0,x0;G]‖‖x1-x0‖+

(ω1(η)+ω2(2α+η,0))‖x1-x0‖.

(14)

又因为

所以

‖y1-x0‖≤‖y1-x1‖+‖x1-x0‖≤[1+β(ω1(η)+ω2(2α+η,0))]‖x1-x0‖

即y1∈B(x0,r).由x1,y1∈B(x0,r)得

β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r))<1.

(15)

即x2有定义.

由式(14)和式(15)可得

(16)

因此,

‖x2-x0‖≤‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤(M+1)‖x1-x0‖≤r,

即x2∈B(x0,r).

类似于式(13)可得

H(x2) =F(x2)+G(x2)=H(x1)+F′(x1)(x2-x1)+

-(F′(x1)+[y1,x1;G])(x2-x1)+F′(x1)(x2-x1)+

从而

‖H(x2)‖≤‖[x2,x1;G]-[y1,x1;G]‖‖x2-x1‖+

(ω1(η)+ω2(2η,0))‖x2-x1‖.

(17)

所以

M‖x2-x1‖≤M2‖x1-x0‖;

‖y2-x0‖=‖y2-x2‖+‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤

M2‖x1-x0‖+M‖x1-x0‖+‖x1-x0‖≤(M2+M+1)‖x1-x0‖

因此，y2∈B(x0,r).

假设xn,yn∈B(x0,r),则

β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r)) < 1.

所以Ln的逆存在,且

‖xn+1-xn‖≤M‖xn-xn-1‖≤Mn‖x1-x0‖≤η.

类似于式(13)可得

H(xn) =F(xn)+G(xn)=H(xn-1)+F′(xn-1)(xn-xn-1)+

-(F′(xn-1)+[yn-1,xn-1;G])(xn-xn-1)+F′(xn-1)(xn-xn-1)+

[xn,xn-1;G](xn-xn-1)-[yn-1,xn-1;G](xn-xn-1)+

从而

‖H(xn)‖≤‖[xn,xn-1;G]-[yn-1,xn-1;G]‖‖xn-xn-1‖+

(ω1(η)+ω2(2η,0))‖xn-xn-1‖.

所以

M‖xn-xn-1‖≤Mn‖x1-x0‖.

那么

‖xn+1-x0‖≤‖xn+1-xn‖+‖xn-xn-1‖+…+‖x1-x0‖≤

故xn+1∈B(x0,r).从而证得由式(6)产生的序列{xn}是有定义的,且含于B(x0,r)中.

下证{xn}是柯西列.∀q∈N,有

‖xn+q-xn‖≤‖xn+q-xn+q-1‖+‖xn+q-1-xn+q-2‖+…+‖xn+1-xn‖≤

(18)

‖H(xn)‖≤(ω1(r)+ω2(2r,0))‖xn-xn-1‖,

所以当n→∞时,‖xn-xn-1‖→0.由H(x)的连续性可知,H(x*)=0.

则

L(y*-x*)=H(y*)-H(x*)=0.

因此,如果L-1存在,那么必有y*=x*.实际上,

βω2(‖y*-y0‖,‖x*-x0‖)≤β(ω1(r)+ω2(r+2α,r))<1.

由Banach引理可知,L-1存在,故y*=x*.定理1证毕.

考虑条件3)和4)的特殊情形:

3′)∀x,y∈Ω,

‖F′(x)-F′(y)‖≤K‖x-y‖,K>0.

4′)∀x,y,u,v∈Ω,

‖[x,u;G]-[y,v;G]‖≤K‖x-y‖+K‖u-v‖,K>0.

则得

推论1在1),2),3′)和4′)成立的条件下,设m=max{βK(2α+2η),3Kβη}.假设方程

2 数值例子

考虑下列非线性方程组:

(19)

式(19)中,(x1,x2)∈Ω:={(x1,x2)∈R2|x1,x2>0}.令

F=(f1,f2),G=(g1,g2).

易知

因此,

α≈0.116 5;β≈0.753 6;η≈0.230 4;m≈0.341 1;r≈0.500 3.

且β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r))≈0.632 2<1,M≈0.927 4<1.从而满足了半局部收敛结果的假设，解的唯一性区域为{x∈R2:‖x-x0‖≤0.500 3}.

3 结 语

讨论了具有不可微算子的二步迭代法的半局部收敛性，证明了非线性算子F的一阶导数和非线性算子G的一阶差商满足ω条件下的半局部收敛定理，推广了文献[12]的结果.但本文未给出不可微算子的二步迭代法在ω条件下的局部收敛定理及收敛半径，这是以后还可以继续研究的课题.