江苏海安市教师发展中心附属小学 张春新

郑毓信教授在《新数学教育哲学》一书中认为概念的心理表征在大多数情况下并非相应的形式定义，而是由多个成分组成的复合体，包括心智图像、对其性质的认识与有关过程的记忆等。也就是说，“数学表征”是指用某种形式将数学概念或关系表达出来的一个过程。就学生关于抽象数学概念的表征而言，具有两大特点:一是分散性和不一致性，在学生关于数学概念的表征中，各种成分往往没有构成一个有机的整体，以至于很大程度上被看成同一概念的不同心理表征，在它们之间更是经常存在一定的矛盾和冲突。二是具有僵滞性。学生往往不善于在心理表征的不同侧面（或者说，不同的心理表征）之间做出转换。

因此他认为，基于学生核心素养培养的数学概念教学，应当努力帮助学生建立抽象数学概念的适当表征,由“单一表征”过渡到“多元表征”。理解概念的关键在于将数学概念的抽象定义的含义转换成易于学生理解和运用的适当的心理表象。学生通过内化概念的多种表征并与已有的内在表征的相互转换，以此促进或影响学生的数学理解，进而促进儿童数学核心素养的发展。

鉴于表征在学习过程中的重要意义，从儿童有效概念表征形成的视角分析“分数的初步认识”这一内容，笔者发现众多的教学设计与实施都存在忽视表征的多元、发展层次，忽略表征间的转换与转译、表征的全面等倾向，这些倾向将为学生进一步理解分数的意义埋下潜在障碍。儿童不能多角度地理解概念的本质内涵，就谈不上数学核心素养的培养。本文拟从概念表征的视角谈谈笔者基于儿童数学核心素养的“分数的初步认识”教学的一些尝试。

一、在多元表征的多向表达中，初步感受分数特征

众多“分数的初步认识”的教学设计是建立在学生没有接触过分数的基础上设计的。但是，尽管分数是个复杂的概念，学生还是具备丰富的前概念的。其实，有些学生在学习分数之前已经接触过分数了，有的是看课本上的，有的是听爸爸妈妈说的，还有的是课外书籍上接触到的……我思考，与其一部分学生粗略模糊地知道，不如让所有学生都课前先学，让学生课前先感知分数，带着自己对分数的初步理解在课上交流、碰撞、提升……那么，怎样把学生对分数的初步理解用外在的方式表征出来，以了解学生的理解程度呢？ 针对三年级学生的年龄特点、学习特征，我设置了这样的课前学习单：

让学生尝试对它们进行初步表征，结果学生们出现多种多样的表征：

图1

图2

图3

不同的表征可以提供不同的信息，支持不同的认知建构过程，如果学生表征形式过于单一，则会影响他们对数学的深度加工，进而影响后续学习。学生个体的表征是有差异性的，这就需要我们在数学学习中，重视对学生表征形式的展示和交流，让学生在形成自我表征特点的基础上，能够积极吸纳他人的表征形式，并在今后的学习中尝试运用，提升表征的丰富性。

二、在多元表征的逐步抽象中，初步建立分数模型

外在个体单一的表征在交流讨论、互相学习的过程中逐步丰富起来。多元化的表征丰富了学生的视野，在此基础上，还需要引导学生深入思考，对多元化的表征进行分析比较、抽象概括，找出蕴含在丰富表征后面的数学本质，促使学生进行深度思考，提升表征的层次。

教学片段1

……

师：这些图形不同，涂色部分的形状和位置、大小也不一样，为什么都用表示呢？

生1：因为它们都是平均分成了2份，涂了其中的1份。

生2：不管它是长方形、正方形、圆、三角形、梯形，只要是平均分成了2份，每份就是它的

生1：不是，它没有平均分成2份。

师：是的，平均分很重要，它是表示分数的前提，丢了“平均”，就成不了分数了。

……

生3：看来，我们的（ ）里不仅可以是长方形、正方形等图形，还可以是一个苹果、一个西瓜、一个大饼等。

生4：是的，不管是图形，还是物体，只要是把它平均分成2份，每份就是它的

生1：都是平均分成了4份，涂了其中的1份。

生2：我觉得不管是图形，还是物体，虽然形状大小都不一样，但只要是平均分成4分，每份就都是它的

生展示。

师：你们有什么想说的吗？

生：不管是什么图形，还是物体，只要平均分成8份，每份都是它的

生1：要表示分数，首先要平均分。

生2：我发现不管是什么形状的物体还是图形，只要把它平均分成几份，分母就是几，取几份，分子就是几。

生3：我发现，把一个物体或图形平均分成几份，其中的1份就是它的几分之一。

（师板书）

生2：我看到把一个长方形平均分成了9份，每

师：（随即出示）你能给它们找找朋友吗？

……

三、在多元表征的自觉转换中，逐渐内化分数认识

基于数学表征在数学学习中的交流和认知的作用，莱旭将布鲁纳的分类发展为五种，即书面（文字）符号、口头语言（口语符号）、操作性模型（模式）、图形（图像）、实物（实际生活情境），并强调，它们之间不一定存在先后的发展顺序，主要应重视它们之间的转换与相互影响，因为这种转换与影响对学生的概念形成和理解有重要意义，体现了逻辑思维与非逻辑思维的互补。

教学片段2：

（生讨论交流）

生2：一个长方形大饼，平均分成2份，其中的1份比把它平均分成4份其中的1份大，所以大。（其他同学都连连点头）大家看。（出示所画图形）

生3：我画的是同样一个圆，平均分成2份，其中的1份也比把它平均分成4份中的1份大。

……

生5：同样大的东西，平均分的份数越多，每份就越小。

……

学生在进行分数比较的过程中，已经自觉地将符号化表征转换为图形表征，并通过图形表征的形象性帮助思考分数大小，在此基础上又自觉地转换为符号表征确定大小。在这一过程中，学生已经能在符号化表征和图形表征之间自觉自如地转换，并通过自觉转换灵活地解决了问题，两种转换已经水乳交融。转换与转译的过程，既有助于学生在两种表征内在的、必然的联系中灵活地解决问题，对几分之一之间的关系理解得更为深刻，又促进了他们形象思维、直觉思维、逻辑思维的发展。

四、在多元表征的整体联系中，完善认知结构

学生在学习分数之前，学习的是整数，在整数的世界里，学生对数的整体表征是这样的：0,1,2,3,4……也就是说1后面是2,2后面是3……有了分数以后，数的结构发生了变化，这时应及时地扩充学生已有的数的表征，在分数与整数表征的整体联系中，进一步完善学生大脑中关于数的认知结构，使得学生对数的表征更全面。

教学片段三：

师：现在你能将以上这些数按从小到大的顺序排列吗?在自己的练习纸上排一排。

师：你能把它们填到下面的线上吗？

师：闭上眼睛想一想它们的大小。3块蛋糕，2块蛋糕，1块蛋糕，块蛋糕，块蛋糕，块蛋糕，蛋糕慢慢变小，慢慢怎么了，最后怎么了？ （边说边出示对应的图）

生：蛋糕慢慢变小了，最后没有了，也就是0。

师：原来我们数数,0后面是1，1后面是2，现在0后面是1吗？

生：不是。现在0和1之间有了许多分数。

生：那么1和2、2和3之间是不是也有许多分数？

师：是的，后面我们会认识许许多多新的分数。

生：我知道了，今天我们学的分数都比0大、比1小，后面我们还会学习大于1的分数。

在这一环节中，分数的表征和整数的表征有机结合，给学生很好的整体性表征和结构化思维，学生原有的认知结构得到及时扩充，更加完整，更加系统，更加精细。在整体表征分数和整数时，再进一步将整体的符号表征转换为图形表征，这时的图形表征由原先“率”的表征转换为“量”的表征，角度自然地转换，又提高了一个层次，变为分数、整数有机结合的整体的图形表征，学生在生动形象的图形表征中感受到数逐渐变小，与整体符号表征融为一体，促进了学生对整体表征的进一步感受和理解。在此基础上，学生进一步思考“0和1之间有许多分数，1和2、2和3之间也有许多分数吗”，激发继续学习分数的兴趣。

总之，在学习“认识分数”的过程中，顺应学生的学习心理，学生经历了概念表征的逐步丰富、抽象、内化、完善，对分数的理解逐步深入，认知结构进一步扩充，学生的数学学习真正发生了，这时的数学学习充满了生长的力量，学生的数学核心素养在其中得到培养。