韩宝燕

摘 要：从诺贝尔经济学奖中的数学建模出发，阐述了数学建模在经济领域中的应用现状和前景，给出建立数学模型的基本步骤，最后给出养老数学模型，并进行分析。

关键词：诺贝尔经济学奖；数学模型；最后给出养老数学模型

一、从诺贝尔经济学奖看数学建模

（1）诺贝尔经济学奖

诺贝尔经济学奖是1968瑞典银行为庆祝建行300周年，决定从1969年起同样以诺贝尔的名义，颁发经济学奖。这个项奖的全称是“瑞典银行为纪念阿尔弗雷德·诺贝尔的经济学奖（The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel）”。除奖金来源不同外，诺贝尔经济学奖的整个程序与其他诺贝尔奖的设置完全相同。

从诺贝尔经济学奖得主的工作看来，经济学奖的发展趋势：日益朝着用数学表达经济内容和统计学定量化的方向发展。并且经济科学在经济行为的数学规范和统计定量化的方向上已经越来越发展，用来解释经济增长、商情周期经济波动及各种复杂经济现象的分析工具也越来越强大。经济学家对有关经济战略的经济关系构造数学模型的做法，已经被证明是成功的并且是有效的。

（2）Klein的宏觀经济模型

1980年诺贝尔经济学奖授予Lawrence R Klein（克莱因），以奖励他创立的宏观经济模型，并把它应用于经济波动以及经济政策的分析。克莱因与哥德伯格（Arthur Goldberg）两人合作完成了一套新的美国经济模型，并称其为克莱因-哥德伯格模型（Klein-Goldberg）。

克莱因在1950年发表的美国经济模型有以下六个方程：

（ⅰ）消费函数 ，

（ⅱ）投资函数 ，

（ⅲ）劳动需求 ，

（ⅳ）恒等式 ，

（ⅴ）恒等式 ，

（ⅵ）恒等式 ，

其中C是消费支出，I是投资支出，G是政府支出，P是利润，W是个人收入，w是政府支出，K是资本储备，T是税收，Y是税后收入，t是时间，u1，u2和u3是随机干扰项。C，I，W，Y，P和K是相互依赖的内生变量，其他变量是预定的外生变量，其中方包括Pt-1，Kt-1和Yt-1。由此根据上述六个方程导出变量之间的关系。克莱因依据的是1921-1941年的美国数据。克莱因的早期论文主要是方法论性质的，比如他的第一个美国经济模型，只有六个变量，而后来他又提出变量数目多于六个的模型。

克莱因于1980年同中国社会科学院合办了一次计量经济的暑期研习会，从这以后，中国的访问学者也就来到费城。尽管其进展非常有限，但为LINK建构中国模型，并维持其运作，这也算有了一个好的开始。原来已有的中国模型，是有斯坦福大学的刘遵义（Laurence La）建立的。1984年，克莱因再度造访中国，并继续讲授计量经济方法。克莱因在中国台湾地区就建构了和LINK相容模型进行过类似的工作。

（3）Stigler文献引证模型

1982年诺贝尔经济学奖授予George Joseph Stigler，以奖励他对行业结构、市场功能和公共监管的起因和效应的系统研究。

Stigler被认为是“信息经济学”与“监管经济学”的创始人。研究市场信息在市场中的作用，就是信息经济学的主题。比如人在购买房屋、家用电器、汽车一类的耐用品时，会广泛收集信息，以便是自己买到最适合的商品。Stigler就把这样的问题模型化为效用函数，这一数学观念很快就得到广泛的应用。

Stigler及其合作者对经济学家在其论文中的引证作了详细的统计分析。其中还对1886-1925年间和1925-1969年间的数据分别做了回归分析，结果对前一时期得到：

（1.68） （0.60） （1.05） （0.05）

R???2=0.23，n=53。

其中圆括号中的数是t检验值，B是代表书的数量，A代表文章的数量，下标to05表示1905年以前，下标5，25表示1905-1925年间。根据这个模型，Stigler得到一个结论：从早起来看，书的重要性是文章的3倍。而且R2的值很低，这说明出版物的质量所起的作用要比它的数量所起的作用大得多。对于1925-1969年间的分析结果为：

（1.28） （2.09） （0.10） （1.89）

（3.37） （2.67）

R2=0.398，n=126。

根据这个模型，Stigler得到的结论是：从早期看来文章的影响会更大，而近期的书的影响力则远远不如前者，但近期文章的影响力却在逐年上升。

（4）从诺贝尔经济学奖看数学经济建模的价值

从以上两位诺贝尔经济学奖得主的成绩我们可以看出，数学建模方法应用于经济领域，已经对经济领域的各个方面产生了不可估量的影响，尤其是在经济理论证明和指导实践方面取得了跨越式的发展。将数学建模方法应用于经济领域已经是不可阻挡的趋势，并且其作用和影响也越来越受到人们的热切关注。

二、构建数学经济模型的基本步骤

（1）数学经济模型建立的基本步骤

一般来说，要解决一个经济问题，建构一个合理有效的数学模型主要有一下几个步骤：

1.分析问题

对问题所给的条件和数据进行分析，明确要解决的问题。通过对问题的分析，明确所给的信息与那些知识有关联，判断可能用到的方法和工具，最好是能确定要解决问题的重点和关键所在。

2.模型假设

根据问题的复杂程度、建立与求解模型所使用的条件和方法，对研究的问题进行一些必要的合理的假设。在数学建模中，进行一些合理的假设不但能够简化问题，还可以限制求解方法和使用范围。这也是评价一个模型的好坏的重要方法之一。提出的模型假设，既要起到是问题简化和突出主要因素的作用，又要是问题不能过分简单或特殊，必要时需要在建立模型的过程中对已经做好的假设进行不断的修改和补充。

3.建立模型

通过假设对要研究的问题进行简化、抽象，明确影响模型的诸因素，并找出主要因素，用数量和参数来表示这些因素。运用相关数学知识来描述问题中变量与参数之间的数学规律，列出数学表达式、表格或图形。对上述表达式、表格或图形进行数学处理，初步确定数学模型。

4.模型求解

利用数学相关知识和方法，使用已知数据以及观测数据，求解模型中参数的近似值，从而初步确立模型。在求解过程中掌握一两个数学软件（如Matlab）会使运算更加简便。

5.模型的分析、检验和应用

对所确定的模型参数在數学上进行误差分析、模型对数据的灵敏性分析等。还需要把所得解及其分析结果翻译回到实际问题，包括解是否合理适用，数学模型的解在实际问题中是否具有一般意义。若误差较大或灵敏性不高，模型就必须进行调整修改，重复前面的建模过程，直到建立一个符合实际的合理有效的数学模型。

（2）养老保险模型

众所周知，养老保险是保险中一个非常重要的险种，一般情况下保险公司将提供不同的保险方案供投保人选择，或分析保险品种的实际投资价值。换句话说，就是分析如果所交保险费和保险收入，按年或者按月计算实际的利率是多少？

1.模型假设

因为缴费是按月进行的，所以这个过程可以按月进行划分。假设投保人到第k月止所缴保费及收益的累计总额为Fk，每月收益为r，用p，q分别表示60岁之前和之后每月缴费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停止领取保险费的月份。

2.模型建立

在这个阶段，离散变量Fk的变化规律满足一下式子：

，

在这里Fk表示从投保人开始缴纳保险费以后，投保人账户上的资金数，需注意我们关心的是在第M个月时，FM能否为非负数。如果为正，则表明保险公司获得收益；否则，表明保险公司出现亏损。当它为零时，表示保险公司既没有获得收益也没有出现亏损，即所有的收益全归投保人，把它作为投保人的实际收益。由此可以看出，引入的变量Fk能够很好的刻画整个过程中资金的变化关系。尤其是引入的收益率变量r，虽然它不是要求的投保人的收益率，但是在问题系统中必须要考虑引入另外一个对象，即保险公司的经营效益。以此作为整个过程中各个变量变化的表现基础。

3.模型计算

现以25岁起投保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有p=200，q=2282，初始值为F0，可以得到：

，

在上述式子中，分别取k=N和k=M，并利用 可以求出：

，

利用数学软件可以求出方程的根：r=0.00485。这里M=50×12，N=35×12。

参考文献

[1]刘亚，宋敏娜，刘毅.数学建模在经济学中的应用[J].商业现代化，2008，总第532期：382.

[2]李林志，欧宜贵.数学建模及典型案例分析[M].北京：化学工业出版社，2007：31～32，98～99.

[3]薛毅.数学建模基础（第二版）[M].北京：科学出版社，2011：3～5.