杨斯博

摘 要：转化是一种重要的数学思想方法，是数学思想的核心内容，同时也是解决问题的重要策略之一。转化数学思想方法在国内外都有着广泛的应用，数学家们从不同维度对转化思想进行阐述。文章对国内外转化思想在小学数学教学中的应用研究进行文献综述。

关键词：转化思想;教学;小学数学

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-03-03 文章编号：1674-120X（2019）11-0048-02

一、国外有关转化思想的研究

在数学发展的历史上，有许多数学家以各种不同的视角对转化思想方法进行了阐述。

（一）国外在数学思想方法角度下转化思想的研究

罗莎·彼得是匈牙利著名的数学家，在她的著作《无穷的玩艺》中提出，数学家的思维过程就是推理过程的经典代表，就是“数学家们通常不对问题进行正面的攻击，而是持续地把它变形，让它转变成能得到解决的问题为止[1]”。她用形象的比喻对转化做出了以下风趣的描述，并说明了转化法的本质。她说：“假如为你准备了煤气灶、水龙头、水壶和火柴等工具，现在你想烧开水，那应该怎么办？[1]”对于这个问题，有人会这样答复：“先把壶中灌水，然后点煤气，最后把壶放到煤气灶上。”显然这样做是十分正确的。然后她问了第二个问题：“假设其他条件都不变，现在壶中已经有充足的水，你又如何去做呢？”到这个时候大部分人都会自信地说：“直接点燃煤气，把水壶放到煤气灶上就行了。”但她觉得这些都不能成为最好的答案。因为，更好的答案应当是：“把壶中的水倒掉。”这应该是最笨的方法，为什么反而是最优化的答案呢？因为这些时候往往数学家就可以声明：“这应该只有物理学家会这样做，而数学家们则会让后面的问题转化为前面所说的问题[2]”。原来只是倒掉水这么简单的回答。这种思维方法与一般的经验相比，往往是独特的、有效的。数学家们特别擅长运用转化思想方法。

《怎样解题》的作者是美籍匈牙利数学家G.波利亚，书中所提到的关于应充分利用“辅助问题”的思想与转化思想是有异曲同工之处的。G.波利亚有着这样的叙述：“我们试图求解的是一个几何问题，而我们想到的早已解决的有关问题是三角形问题。一般说来，当我们想到一个早已解决的有关问题后，我们必须经常问：为了可能利用它，我们是否应该引入某个辅助元素？去设计并解决一个合适的辅助问题，从而用它求得一条通向一个表面上看起来很难接近的问题的通道，这都是运用智慧的卓越成就[3]”。G.波利亚对“辅助问题”做出了分类，分别是：等价代换问题、较强的辅助问题和间接的辅助问题。与G.波利亚的这些论述进行比较，转化思想方法的主要特点就在于它具有更强的目的性、方向性和概况性，就是希望通过未知到已知、繁到简的转化来达到解决问题的目的。在这个意义上，转化思想方法可看成是对G.波利亚有关思想的进一步的发展。

（二）国外在小学数学教学的维度下转化思想的研究

以上所提到的几部著作都是对数学思想方法的阐述，其共同特点是立足于整个的数学领域，应用现代数学的共性来进行论述，基本上没有从小学数学教学的维度进行归纳、总结和概括，特别是能够应用高观点从宏观角度对整个初等数学，甚至到数学学科领域的研究涉及的面很小。以目前找到的文献资料为依据，《高观点下的初等数学》的作者是德国数学家F.克莱因。在这本书中，他都是以十分简单、基本的数学知识为着眼点，循序渐进地展开并且扩展到非常艰深的数学问题。数、形的互相转化是数形结合思想的特点，它也是一种经典的转化思想类型，同时，也渗透在初等数学的教学之中。

也可以说，转化思想是数学中一种最常见、最基本的思想方法。转化思想是数学思想的灵魂。这种思想方法因为有着许许多多的数学家和教育家的努力，才得以不断完善和发展，它是沿用至今的重要的数学思想方法之一，并且在数学学科领域中对数学问题的解决、学科的发展都有着不可或缺的重要作用。

二、国内有关转化思想的研究

《九章算术》是中国古代数学的经典之作，它在全世界的数学名著中十分重要。《九章算术》对汉代以前数学知识进行了归纳总结。对转化思想的起源，《九章算术》是以应用问题集的方式编写的，首先提出问题，接着给出“答”和“术”，也就是说任何一个问题都有“术”，所说的“术”就是我们在解决问题时的方法和算法，即我们现在所说的数学定理和数学公式。《九章算术》的第一卷叫作“方田”，一共有38道题，其中一共有21个“术”，重要“术”文叫作“均分术”。方田也叫作田亩形状，在此章节中包括各种如何计算平面几何图形面积以及与面积的分数四则运算。转化思想方法在这里给很多问题提出了解决方法，如“割圆术”“勾股定理”等原理。

在20世纪80年代，我国著名数学家及数学教育家徐利治，率先提倡在大学中讲授“数学方法论”，对数学教学理论做出了巨大贡献。他在研究级数反演理论时提出了关系、映射、反演方法，即RMI方法（以下简称RMI方法）。并从方法论的角度对这一方法进行了专门研究。实际上，RMI方法是现代数学研究中的一种常见的转化思想方法，但这种方法比一般的转化思想有更抽象，因此具有更重要和广泛的应用。“关系结构—映射—定映—反演—得解”这几个步骤是处理问题的一般方法。运用RMI这种方法解决问题时，有以下具体步骤：首先，要弄清楚所要解决的问题中原象关系结构与原象未知目标的主要内容分别是什么;其次，运用RMI原则处理解决数学问题的关键是选择合适并且有效的映射;再次，要搞清楚映像关系结构和映像未知目标的具体内容;第四，应用数学手续求解映像的未知目標;最后，依据被确定了的映像目标，通过反演的方式得到原象目标，让问题得到解决。这是转化思想的又一种运用。

通过对所找的文献的梳理，笔者认识并发现国内转化思想方法的研究分别是以“数数转化”“数形转化”“形形转化”三种方式进行的，下面对三种方式分别进行文献梳理：

（一）关于“数数转化”的研究

数数之间的转化就是在学习和解决新的数字之间的运算问题之中，把所学的新数转变为之前已经学过的数，把即将解决的新问题转化为学过的旧知识和旧问题，让我们所学的新内容易于理解、易于解决。数数转化的数学思想方法目的在于从认识数的角度出发，把新问题转化为旧问题，让学生理解新的数。学生以此为基础进行学习，从熟悉到陌生，从已知到未知，注重知识之间的联系，就能牢固地掌握运算方法。数学具有系统性，它决定了数学知识之间是有联系的，应用转化思想进行教学时，就要考虑新知识和已经学过的哪些知识有联系，以为日后要学的知识打下基础。教师在教学时要及时引导学生沟通新旧知识间的联系，帮助学生形成良好的认知结构。在小学数学里，关于数的概念的学习，在学习了分数概念之后，整数可以当作特殊的分数来看，所有整数都可以化作任意自然数（0除外）做分母的假分数。反之，假分数也能转化成整数和带分数。小数能化归为分数，分数也能化归为小数。整数、小数和分数之间相互转化，体现了数数之间的转化，计算时就能灵活转换，使运算更简便。

（二）关于“数形转化”的研究

数学中的基本研究对象——数和形，它们在一定条件下能实现互相转化。数形转化就是所说的“数形结合”的数学思想方法。在小學数学教材中，“数与代数”的板块中表现在能够让数字转化为直观的平面图形，如线段、小棒等清晰直观图像。数形转化的应用让学生在数与代数模块的学习中具有直观性。把抽象转化为直观，对处于形象思维阶段的小学生来说，有利于其更好的学习。

（三）关于“形形转化”的研究

在小学数学的“图形与几何”板块中，也蕴含着转化思想方法。这种转化思想方法是将“形”转化为“形”。例如化曲为直、割补法、拼接法等。我们用化斜为正和化难为易的思想方法进行教学，可以求解图形的周长、面积等有关计算的问题。在小学数学教学中怎样运用转化的数学思想方法，张卫星给出了五点建议：首先，运用类比的方法，落实转化的思想方法;其次，运用数形结合的方法，落实转化的思想方法;再次，运用条件替换的方法，实现转化的思想方法;第四，把条件进行统一，实现转化的思想方法;最后，通过假设说明，实现转化的思想方法。

上述研究对广大一线教师有很大的启发和借鉴意义。一是从总体上阐述了转化的数学思想方法在国内外目前的研究成果，这些都会作为我们研究的依据。二是展示了转化思想中所具有的内容和表现形式，这使得我们的研究更有针对性。此外，在文献梳理中可以发现：

首先，对有关转化思想进行研究的国内外文献很多，但这些研究多数以研究个案为主。转化是数学发展中所必需的，是常用的数学思想方法，是解决数学问题的必需的工具。所以，怎样运用转化思想应该引起教育工作者的重视，应不断努力把它贯穿于教学的始终。但是笔者在读了大量的有关转化思想的文献分析得出：关于转化思想在“数数转化”“数形转化”“形形转化”三个方面的研究较多，但研究只以习题的形式呈现单个的知识点，把自己的教学方法和教学建议阐述出来，没有立足于教材本身，从整体分析教材内容中的数学思想，在一定程度上导致提出的教学建议不具有普遍性。

其次，对有关在小学数学教学中如何渗透转化思想的研究文献比较多。转化思想方法是十分普遍的数学思想，无论学生处于什么阶段，在学习、解题等方面都要用到它，这种思想是值得学生掌握的。

最后，研究有关转化思想在数与代数、图形与几何上的研究多，在统计与概率方面的研究较少。就笔者研究的文献来看，有关转化思想的研究，大部分都集中在了数与代数、图形与几何上，对于统计与概率领域的研究是没有的，所以说这给转化思想的研究带来了挑战。

以上是笔者对转化思想在小学数学教学中的应用研究所做出的阐释。总的来说，转化思想在小学数学教学中占有重要地位，教师在日常的教学过程中应对其予以足够的重视。

参考文献：

[1][匈] 罗莎·彼得.无穷的玩艺[M].朱梧槚，袁相婉，郑毓信，译.大连：大连理工大学出版社，2008.

[2]徐树道.数学方法论[M].桂林：广西师范大学出版社，2001.

[3][美] G.波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982.