章旭晖 沈雷 帅涛

摘 要：针对高斯随机信号在传统时延估计算法估计下出现性能下降的问题，提出一种基于最小二乘样本拟合的时延估计算法。首先给出互相关的代价函数，利用sinc内插公式采用有限数量的样本估计相关数值，再通过最小二乘（LS）准则最小化其代价函数求出估计值，该估计值接近于无偏。给出算法的克拉美罗下界（CRLB）表达式，并将该算法与互相关算法、基于最小均方误差（MMSE）的算法进行性能比较。理论分析与实验结果表明，所提出的基于最小二乘样本拟合的算法性能优于互相关算法与基于MMSE的算法，并且能更好地逼近克拉美罗下界值。

关键词：时延估计;高斯随机信号;最小二乘准则;内插公式;克拉美罗下界

DOI：10. 11907/rjdk. 181867

中图分类号：TP393文献标识码：A文章编号：1672-7800（2019）002-0161-04

Abstract： Aiming at the problem of performance degradation of Gaussian random signal estimated in traditional delay estimation algorithm， a delay estimation algorithm based on least-squares sample fitting is proposed. Firstly， the cross-correlation cost function was given. The sinc interpolation formula was used to estimate the relevant data values with a limited number of samples. Then the least-squares （LS） criterion was used to minimize the cost function and the unbiased estimation value was obtained. The expression of Cramer-Rao Lower Bound （CRLB） of the algorithm was given， and the performance of the algorithm was compared with the cross-correlation algorithm and the minimum mean square error （MMSE） algorithm. Theoretical analysis and experimental results provide an explanation. The proposed algorithm based on least-square fitting is better than the cross-correlation algorithm and the MMSE algorithm can be asymptotically closer to the Cramer-Rao lower bound.

Key Words： time-delay estimation;Gaussian random signal;least squares criterion;interpolation formula;Cramer-Rao lower bound

0 引言

TDE（Time-Delay Estimation，時延估计）是对空间接收到的两个或更多信号的时间延迟进行估计，其在航空航天[1-2]、声呐[3-4]、GPS定位[1-2，7]与生物医学[5-7]等领域有着广泛应用。在不同环境条件下，使用的时延估计方法也不同。常用的时延估计方法有互相关法[1]、高阶统计量法[7]、基于MMSE（Minimum Mean Square Error，最小均方误差）的估计法等。如今信号处理方法经过不断发展，将各种算法[8-10]应用于时延估计中，提高了时延估计精度，减小了计算量，且提高了收敛速度。当发射信号为线性调频[11-12]信号或正弦信号等简单信号时，通过互相关法[12-15]可以逼近最佳时延估计性能，且在一定信噪比条件下，均方误差（MSE）能够逼近CRLB（Cramer-Rao Lower Bound，克拉美罗下界）;高阶统计量[16-17]的时延估计方法适用于信号为非高斯信号的情况，因为高斯噪声的三阶及以上的相关函数与互相关函数恒为零，但该算法运算量较大。对于高斯信号而言，例如在窄带雷达体制下，目标回波近似服从高斯分布[18]，但因为高斯信号具有随机性，若使用互相关算法会导致性能下降，且基于MMSE的算法进行内插估计时并未进行样本拟合最小化，从而导致算法性能较差，无法很好地逼近克拉美罗下界。

本文提出针对高斯随机信号的时延估计算法，通过将互相关函数利用sinc内插公式进行变换，再利用LS（Least Squares，最小二乘）进行样本拟合，使其代价函数最小化，得到接近于无偏的估计值，并将其与互相关算法、基于MMSE的算法进行仿真比较。在时延估计问题中常采用克拉美罗下界（CRLB）作为估计性能的极限， 即作为时延估计有效性的一种度量，而改进算法的估计性能可以渐近地达到CRLB。

1 基于最小二乘样本拟合的时延估计算法

本文研究的主要问题即估计两个接收信号之间的到达时延值。首先建立被动时延估计模型，在离散时间条件下表达式为：

其中[sn]是随机高斯信号，[α]是衰减常数，[D]是需要估计的时延量，[N]是采样点个数，而[z1n]与[z2n]是均值为零且互不相关的白噪声过程，[sn]、[z1n]、[z2n]对应方差分别为[σ2s]、[σ2z1]和[σ2z2]。

信号[x1n]与信号[x2n]的互相关函数[R2，1（τ）]可表示为：

将式（1）、式（2）代入式（3）中，其中[sn]、[z1n]和[z2n]互不相关，得：

根据互相关函数的性质，当[τ=D]时，[R2，1（τ）]取最大值，求得[R2，1（τ）]最大值所对应的[τ]为信号[x1n]与[x2n]之间的时延[D]。但由于实际上是用有限样本数进行估计，以及环境中存在噪声等因素，互相关函数可能找不到一个准确峰值，因此提出以下改进算法。

首先根据MMSE准则，可求得其代价函数：

其中[α]、[D]是[α]与[D]的最优变量，假设[α∈R]。

将代价函数[TM（D）]展开，并取其中的互相关部分，可得：

式（6）对应的互相关函数[R2，1（D）∈R]，计算[x2n]与[x1[n-D]]之间的相似性，得到[x1n]与[x1[n-D]]之间的关系，利用sinc内插公式[19]：

将式（6）代入[D=argmaxR2，1（D）]，即找出互相关函数对应的峰值点，而在实际中是基于有限个样本进行估计，[R2，1（D）]是一个估计量。因此，代入内插公式（7）可得：

因此，代价函数可表示为：

在有限樣本[P]的数值条件下，对代价函数进行改进，利用最小二乘（LS）准则拟合方法，将[TDM（D）]最小化可得[TDM1（D）]。

式（11）中的[β]为[β]的最优变量。对式（11）求关于[β]的一阶导数：

将式（12）中右式置为零，则能够用[D]表示[β]，即：

将式（13）代入式（11）求解得到加入最小二乘准则改进的代价函数为：

该代价函数下的估计值D_L为：

得到估计值后，需要验证所得估计为无偏估计。首先，求[TDL（D）]的一阶导数前，需要先得到[（T'DM（D））2]的期望值为非零常数。

当[D=D]时，[（T'DM（D））2]期望值为：

即符合无偏估计条件，D_L接近于无偏。

若所估计的量为无偏估计量，则该估计量可以达到或渐进达到该克拉美罗下界。根据文献[21]，当信号采样点数[N→∞]时进行抛物线插值与高斯-马尔科夫估计后得：

其中[SNR]为信噪比，[L]为接收信号数量。因此，将[L=2]代入式（22）可得本算法对应的[CRLB]为：

2 算法仿真与性能分析

为了验证算法正确性，对高斯随机信号进行时延估计。首先生成3个互不相关的复高斯序列[sn]、[z1n]与[z2n]，并假设[σ2z=σ2z1=σ2z2]，使得[SNR=σ2s/σ2z]。因此，[z1n]和[z2n]具有相同功率，从而可以通过改变功率产生不同的[SNR]条件，且衰减系数[α=1]，时延量[D=0.01]。另外，由于蒙特卡罗方法可以保证全局收敛，取1 000个蒙特卡罗法运行的独立平均值作为最终结果，[DG]代表互相关算法，[DM]代表基于MMSE的算法，[DL]代表基于最小二乘样本的拟合算法。

由图1、图2可知，互相关函数大约在1 010.9位置处取最大值。经过粗略估计，此时估算时延为（2000/2+1）-1 010.9=-9.9，即9.9个采样周期，换算成时延为0.009 9，而仿真时延估计数值为0.009 915 47，此时估算结果与实际信号时延非常接近。

图3、图4给出了不同信噪比与不同[P]值下的均方延迟误差值。观察图3可知，在-10

另将图3与图4作对比，发现在信噪比逐渐增大时，[P]值也会增大，能够提高本算法效果，[DL]在信噪比影响下能更好地逼近于CRLB。

图5给出了不同[N]点数下的均方延迟误差值。由图5可以分析得出，[DG]在[N]逐渐增大时，所得误差会逐渐偏离CRLB，并收敛于自身算法极限，而基于最小二乘样本拟合的[DL]能够得到较为准确的延迟误差值。从总体上看，[DL]的均方延迟误差能够最好地逼近CRLB，而[DG]与[DM]算法收敛至其极限值后则不再增加。

3 结语

本文针对高斯随机信号提出基于最小二乘样本拟合算法，通过sinc内插公式在有限数量样本条件下估计代价函数中的互相关量，并通过LS准则进行样本拟合，将代价函数最小化，求得代价函数极值点，该值即为所需的时延估计值，并将其与互相关算法及基于MMSE的算法进行性能比较。由算法仿真结果可得，在不同信噪比或不同[N]点数量的条件下，基于最小二乘样本拟合的[DL]相比于互相关算法的[DG]与基于MMSE算法的[DM]，都能更精确地计算出时延误差值，且对于较大的[P]值，[DL]也能够更好地逼近CRLB。因此，可得到基于最小二乘样本拟合的[DL]总体性能最佳。

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（责任编辑：黄 健）