王欢 丁德锐

摘 要：为提高医疗机器人术前规划效率及减少患者关节置换手术时间，提供更加微创、精确的治疗方法，针对关节置换中骨科机器人工作空间需求，提出一种基于蒙特卡洛分析法的骨科机器人工作空间分析方法。该方法通过对可达工作空间的分析，有效改善传统骨科机器人在术前规划时对工作空间预估及医疗机器人术前位置摆放估计不足等问题，并通过MATLAB进行试验仿真，证明算法可行。

关键词：骨科机器人;全膝关节置换;蒙特卡洛;DH参数;机器人运动学

DOI：10. 11907/rjdk. 182876

中图分类号：TP301文献标识码：A文章编号：1672-7800（2019）002-0013-04

Abstract： In order to improve the efficiency of preoperative planning of medical robot and reduce the time of patients undergoing joint replacement surgery， orthopedic robot provides more minimally invasive and accurate treatment methods. In order to meet the demand of orthopedic robot workspace in joint replacement， a new method of orthopedic robot workspace analysis based on Monte Carlo method analysis is proposed in this paper. Through the analysis of the accessible workspace， this method effectively improves the deficiencies of the traditional orthopedic robot in the preoperative planning of the workspace estimation and the preoperative position estimation of the medical robot， etc.， and the feasibility of the algorithm is proved by MATLAB experimental simulation.

Key Words： orthopedic robot; total knee arthroplasty; Monte Carlo method; DH parameters; robot kinematics

0 引言

随着微创外科技术、精准医疗的不断发展，骨科机器人及其关节置换技术引起了公众广泛关注。凭借智能、微创、精准等基本特性，骨科机器人展现出巨大的应用价值，极大改善了传统骨科手术损伤大、辐射量高、操作不精确等状况。骨科机器人体积由大到小，功能由简单到复杂，智能化程度不断提高，拓宽了传统手术视野及操作局限性。但目前我国骨科机器人产品全部依赖进口，因此开发具有自主知识产权的骨科机器人具有重要战略意义。

在机器人辅助全膝关节置换过程中需要对病人的股骨与胫骨做5次定向磨削、开孔。术中假体安放位置、磨削与开孔精度直接关系到手术质量[1]。传统关节置换手术主要依赖于医生经验，而娴熟的手术技巧需要经过长期的学习积累，术中多使用夹具与切骨模板，这种定位方式操作繁琐，定位精度不高，影响假体安装精度与术后恢复效果。近年来，随着医学影像技术的发展，医疗机器人已成为先进机器人领域重要研究方向，机器人在辅助外科手术中，具有操作灵活、稳定性与精确度高的明显优势，机器人截出的关节假体结合面吻合度极高，能够有效克服传统手术的缺点，同时提高手术精度，改善手术效果，减少术后并发症。

基于此，多国积极展开骨科机器人研究。目前，主要辅助关节置换系统有：以色列机械工程部研究室研发的MBARS 手术系统[2]，日本东京大学与千叶大学等合作研发的7自由度机器人辅助骨科手术MIS-UKA系统[3]，美国Integrated Surgical Systems公司开发的ROBODOC机器人系统[4]，美国MAKO 公司研发的基于CT 扫描和可视化导航的半自主机器人系统MAKO Plasty[5]，英国帝国理工学院MIM 实验室研发的半自动膝关节置换手术系统ACROBOT[6]。

当前应用最广泛的骨科机器人手术系统为美国ROBODOC机器人系统[7-8]。该系统使手术精度大幅提高，但在手术过程中仍需要医生进行人为术前空间判断[9]，导致手术时间浪费，同时手术空间得不到合理利用。如何让机器人实现自主空间判断，有效合理利用、节约手术空间，成為当今各国研究热点方向[10]。

对此，本文以6自由度机械臂模型为实例背景，提出一种基于蒙特卡洛空间分析法的空间分析解决方案，该方案使机器人能够更加精确地实现空间利用，解决空间分布不合理的问题，提高手术系统智能化水平。

1 机器人系统模型

机器人系统模型及其分析是实现机器人控制的前提条件，也是对机器人运动学进行分析及后续对机器人进行蒙特卡洛空间分析、关节奇异点分析的基础。因此，为更好实现机器人精确控制，更为准确地求解机器人正逆解，并以机器人正逆解为基础进行机器人工作空间分布分析、奇异点求解分析，本文以6自由度骨科机器人为例对机器人系统进行建模，同时依据机器人模型建立关节参考坐标系，并依据关节参考坐标系建立D-H参数表。机器人模型及关节坐标系如图1、图2所示。

机器人运动学通常依据D-H参数表展示，目前机器人D-H参数表已成为机器人运动学建模标准方法[11]，依据图1所示的骨科机器人与图2建立骨科机器人关节坐标系，并依据DH参数表建立的法则[12-14]，建立如表1所示的DH参数表。

表中i为第i个关节轴，[θi]表示绕Z轴的旋转角度，[di]表示在Z轴上两条相邻公垂线之间的距离（关节偏移）;[li]表示每一条公垂线的长度（连杆长度）;[αi]表示两个相邻Z轴之间的角度（扭角）。通常只有[θi]与[di]是关节变量[15]。

2 机器人运动学求解

机器人运动学求解是进行空间可以到达各边界点分析的基础和前提条件，而运动学建模求解的标准方法是D-H参数表，具体求解方式如下：

（1）机械臂正运动学求解。将上述表中建立的D-H坐标系各参数带入下列矩阵。

（2）机械臂逆运动学求解。机器人逆解是运动学分析中非常重要的一环，也是机器人实现有效控制的关键，机器人逆解求解是机器人由笛卡尔空间转换到关节空间的方法，是有效进行路径规划、空间分析，奇异点分析不可或缺的一步，本文求解关节空间的关节变量[θ1]、[θ2]、[θ3]、[θ4]、[θ5]、[θ6]，具体求解过程如下：

[θ1]求解過程是使用逆变化[（0A1）-1]左乘[0T6]，可以得到：

由矩阵相对应元素相等的原则，可以得到：

求解可得：

由此可以推出[θ1]，同理可由此方法求得[θ2-θ6]的解。

3 机器人工作空间及奇异性分析实验设计

机器人工作空间指机器人器械末端能够达到的所有位置集合，包含机器人能够到达的所有位置。为保证对手术机器人工作空间及奇异性分析有效，本文采用蒙特卡洛求解法，该方法是进行机器人空间分析的有效方法，其具体流程步骤如下：

（1）根据文中D-H参数表建立的运动学模型，提取机器人末端执行器位置向量。

（2）由逆运动学求解法求解机器人关节变量，并在关节变量变化范围内，生成N个随机数，组成N组变量值组合。

（3）将N组组合带入[p=（px，py，pz）]中。

（4）将得到的点在MATLAB中记录下来，得到机器人工作空间三维图像。

其中[p=（px，py，pz）]为末端操作器的位置向量。

3.1 机器人工作空间分析

对骨科机器人工作空间进行分析是术前规划的重要部分，代表了机器人性能优良程度，也是机器人可操作性的一项重要指标[16]。

蒙特卡洛求解法以随机概率为基础，近年来在分析机器人工作空间问题上得到了广泛应用，比其它方法而言求解效率更高，解法更加方便实用[17]。

蒙特卡洛求解机器人工作空间方法原理：机器人末端位于基坐标系中位置[p=（px，py，pz）]中，其中[q=（q1，][q2，q3，][？，q6）]为关节空间向量。

由于机械臂机械装置与机械结构的原因，机械臂关节活动范围有固定的限制，本文采用以下定义描述关节活动范围：[qmin

使用以下关系表示工作空间集合：[WR={p|qiminqi][qimax（i=1，2，？，n）}？R3]。

依据上述对应关系，采用随机蒙特卡洛法产生几组随机变量，该随机变量符合关节变化的末端位置值，由一系列关节末端位置值即可得到关节空间构成的空间点云图，提取边界，可得到该骨科机器人机械臂末端工作空间，如图3所示，均匀地产生了机械臂工作空间点云图。

该实验中N=50 000，得到三维点云图，通过计算关节对应的末端位置值，显示该机器人工作空间及在工作空间中各平面投影在各空间上的投影，如图4所示。

3.2 工作空间奇异性分析

雅克比矩阵可建立机械臂关节速度与机械臂末端操作器笛卡尔速度之间的关系。但机器人求解速度变换过程中需要对雅克比矩阵求逆解，求解矩阵逆解过程中会涉及到矩阵奇异性问题。求解过程中，矩阵存在逆解，此时为非奇异矩阵。但当矩阵不可逆时，则求解得到的矩阵不满秩，此时得到的解存在奇异性，称之为奇异点[18-19]。在机器人研究过程中奇异点分析是分析机器人系统稳定性的重要一步，若存在奇异点，则机器人关节空间速度控制存在不可控可能，这对于医疗机器人来说是不可接受的。

本文奇异点分析目的是找出在整个机器人工作空间中，哪些位置在雅克比矩阵中是不可逆的，并找出相对应关节的关节角，在整个控制过程中尽量避免在这些位置求解雅克比矩阵逆解，采用相近的矩阵替代该位置的雅克比矩阵进行求解。由前文已知，机器人末端速度关系式为：

定义雅克比矩阵范数与条件数：在本文设[J]为雅克比矩阵范数，依据范数基本性质可以得到：[qJ-1？][x]。由此可知，当[x]一定时，[J]与[q]呈反比关系，且[q]越小，机械臂需电机提供的速度越低。

在本研究中采用固定5个关节轴，然后通过改变剩余一个关节轴角度判断奇异点位置，找到奇异点。通过该方法找到的位置如图5所示。

由上图可知，关节2、关节3、关节5分别在110°、90°与0°附近存在奇异点，所以通过以上算法可以有效求解关节存在的奇异点。

4 结语

本文以六自由度机器人为实例，通过建立机器人模型，并对机器人模型进行分析，建立DH参数表，完成了骨科机器人正逆运动学求解，为后续使用蒙特卡洛法奠定了理论基础，并在实验中结合蒙特卡洛算法对机器人工作空间进行有效分析。研究结果表明，本方案可有效提升机器人工作空间分析效率，且可对奇异点进行有效分析，从而避免在控制过程中不可控事件的发生。随着中国自主知识产权医疗机器人研发的进展，关节置换手术会具有更好的安全性能，更有效地节省医疗资源，同时最大程度减轻病人痛苦，更有效地为广大医生与患者提供更好的服务。

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（责任编辑：江 艳）

收稿日期：2018-06-06