赵 坚

(昆明市五华区基础教育科学研究中心,云南 昆明 650031)

1 问题提出

涉及机械能守恒和机械能守恒定律的相关问题讨论一直是大学普通物体教学中受到大家热议的话题,[1～14]《大学物理》杂志曾经多次刊登文章进行讨论,并先后4次以编辑部编者的话进行综述说明．[15～18]近年来,此方面的问题又再次引发大家热议,[19～25]特别值得重视的是,在中学物理教育界显得尤为突出,较为混乱．归纳起来,大致有这样几方面的问题: (1) 机械能守恒或者机械能守恒定律是否满足力学相对性原理; (2) 不同惯性系中机械能是否都满足守恒; (3) 仅重力或弹簧弹力作用下的机械能守恒在各惯性系中是否都成立; (4) 机械能守恒定律满足协变性吗?等等．鉴于弄清楚这些问题对中学物理教师正确理解机械能守恒和机械能守恒定律以及开展好教学工作具有积极意义,故本文试图就涉及机械能的一些相关问题在此作点探讨．

2 问题探讨

(1) 如何理解和看待机械能、机械能守恒和机械能守恒定律3个物理概念.

《中国大百科全书·物理学》中对此这样表述:“机械能(mechanical energy)宏观的动能与势能之和”“机械能守恒(mechanical energy conservation of)质点或质点系在势力场(保守力场)中运动时,其动能与势能的总和恒为常量．动能与势能的总和称为机械能,故称机械能守恒．在一个不受外界作用的封闭系统经历任何变化过程中,系统的各种能量形式可以相互转化,但所有能量的总和不变,这是普遍的能量守恒定律,机械能守恒只是它的一个特例”．可以看出,其一,机械能是一个力学范畴内的物理量,它由宏观的动能与势能构成;其二,所谓机械能守恒是指在满足守恒的约束条件下,动能、势能变化过程中,动能与势能的总和恒为常量(保持不变);其三,机械能守恒只是能量守恒定律的一个特例,既然是特例就不具备作为普遍定律的一般性质,因此,在经典力学中虽然将机械能守恒定律作为一条定律来称谓,但是它不同于能量守恒定律、动量守恒定律、质量守恒定律等作为自然界最普遍、最重要的基本定律所具有的普遍物理特性．因为,一个守恒定律常常是宇宙中某种对称性的结果,守恒定律是表述运动方程的那些非常普遍的、重要的结果的一种方式,正如动量守恒定律可以理解为是伽利略不变性原理的一个直接结果．对能量守恒定律(energy conservation law)(热力学第一定律)来说,它虽然指在一个封闭(孤立)系统的总能量保持不变．可是在理解上,其中总能量一般说来已不再只是动能与势能之和,而是静止能量(固有能量)、动能、势能3者的总量．普遍意义下的能量守恒定律的表述是:一个系统的总能量的改变只能等于传入或者传出该系统的能量的多少．总能量为系统的机械能、内能及除内能以外的任何内能形式的总和．而对于一个特殊的、处于孤立环境下的系统,即不可能有能量或质量传入或传出系统．对于此情形,我们才将能量守恒定律表述为:“孤立系统的总能量保持不变．”所以,机械能守恒亦或机械能守恒定律要作为普遍意义下的物理定律,它必须有其普遍的物理特性才行．如果无视这些前提条件而去讨论机械能守恒作为定律的诸多问题显然都是无意义的．事实上,正是由于缺乏对相关问题的深入理解而在普通物理和基础物理范畴将机械能守恒与机械能守恒定律混用,才是直接导致出现混乱的原因之所在．

(2) 不同惯性系中机械能都守恒吗?机械能守恒具有相对性吗?机械能守恒定律满足力学相对性原理吗?

引发这一系列问题的焦点主要是针对下述几个习题中出现的问题．

例1.如图1所示,固定在车厢内的光滑斜面,倾角为θ,车厢以速度v0匀速前进,斜面上质量为m的滑块从斜面顶端自由滑下,试分析:以地面为参考系,滑块在下滑过程中机械能是否守恒?

图1 图2

以地面为参考系,滑块在斜面顶端时机械能为

滑块在斜面底端时的机械能为

式中v为滑块滑到斜面底端时对地的速度．根据运动合成,其大小为滑块在斜面底端时对车厢的速度v′和车厢速度v0的矢量和,如图2所示．

可见,E2>E1,以地面为参考系,滑块的机械能不守恒．

为此产生困惑,因为“根据力学相对性原理,任何力学规律在任一惯性系内具有相同的形式．机械能守恒定律作为重要的力学规律,理应满足力学相对性原理．既然车厢和地面都是惯性系,为什么机械能守恒定律在车厢参考系内成立,而在地面参考系中不成立呢?”

图3

例2.如图3所示,在车厢里光滑桌面上弹簧拉着一个物体m作简谐运动,车厢以匀速v前进．

例3.如图4所示,以速度v0匀速下降的升降机天花板上悬挂着一个质量为m的小球,某时刻小球突然下落,在小球下落过程中(未碰升降机地板前):

图4

以升降机为参考系,只有重力做功,小球机械能守恒,有

式中h为小球相对升降机下落的高度,v为小球相对升降机的速度．

以地面为参考系,设小球在下落瞬间的机械能为E1,则

可见,E2=E1,即以地面为参考系,小球的机械能仍是不变的,为什么会是这样?

以上几个例子,集中反映出这样几个问题．其一,例1、例2中当参考系发生变化后,研究对象的机械能不再相等,是否机械能守恒具有相对性?不满足力学相对性原理?其二,例3中虽然研究对象参考系发生变化,但其机械能仍然满足相等,是否力学相对性原理仅仅是针对研究对象只受到重力作用的这类特殊情形才是成立的?其三,机械能守恒定律满足力学相对性原理吗?

认真分析上述3个例子,我们会发现,在例1中如果以地面作为参考系,则斜面对滑块的支持力已经对滑块做了功,不再满足质点或质点系在势力场(保守力场)中运动时,其动能与势能的总和恒为常量的机械能守恒条件,导致滑块的机械能发生变化;假如斜面对滑块的支持力对滑块不做功,滑块的机械能必定是保持不变的．例2中小球与弹簧系统之所以在不同参考系中机械能不同,原因在于在地面系中观测,弹性势能不仅与小球的空间坐标用有关,还与小车运动有关,即弹性势能显含时间t,且产生弹力的胡克力场场源(车厢壁)具有速度v,除非小车不动v=0,这样,在两个参考系观测结果一定是相同的．可是,问题又来了,例3中重力势能也是一个显含时间t的量,为什么以地面为参考系时小球机械能仍保持不变?这也是容易让大家感到比较纠结的问题．对此,朱如曾先生提出:[21]“在外力场概念下质点的重力势能就是内力场概念下质点与地球之间的相互作用势能．内力势能由系统中各对质点之间的距离决定,而与系统中各质点的速度无关．由于参考系(惯性系和非惯性系)的变换完全不改变系统中各对质点之间的距离以及相互作用力,所以内力势能具有参考系变换下的不变性(即在不同参考系同时观察同一系统的内力势能是相等的),亦即对同一系统,不同参考系中的势能(内力势能及根源于内力场的外力势能)具有参考系变换下的不变性．”

另外,一切普遍规律(微分方程)都是协变的,此点无容置疑,如能量守恒定律(普遍表述是“一个系统能量的变化等于非保守外力作功”,不能理解为“能量不变(守恒)”)．但是加上一些不协变的条件(初始条件、边界条件、规范条件等),就不协变了．因为,能量不变(守恒)涉及3个问题:(a) 系统的选择,(b) 什么是保守力?(c) 做功的条件,而我们只有对选定的系统才能区分内力和外力．我们通常说保守力作功与路径无关,是指沿路径的积分是“等时”的,也就是在某一个时刻,没有考虑时间的变化．如例3中,在电梯内自由落体问题里,若忽略重力与高度有关,无论在电梯参考系还是地面参考系里,重力场都是非时变的,因此能量都守恒．同时,保守力一定是个有势力场,而只有不含时间的力场才能保证能量不变,否则能量必然变化．如例2中,在车内弹簧振子问题里,选弹簧和振子为系统, 在地面的参考系里看外力着力点在动; 只选振子为系统, 在地面的参考系里看弹性力势场是时变的,因此能量不守恒．再有,不作功的条件是受力作用点不动,或力垂直于位移．在例1中,车内光滑斜面下滑物体问题里,从车的参考系里看斜面的支撑力垂直于斜面,在地面的参考系里看斜面的支撑力并不垂直于斜面．

综上所述,笔者赞同这样一个观点[18]:“所以规律都服从相对性原理”,然而只有“普遍定律满足协变性”“非普遍定律不满足协变性,但可以导出”．

致谢:本文初稿得到北京大学赵凯华先生认可,同时就一些细节与赵先生进行多次有益探讨,并得到赵先生的悉心指导,借此深表感谢!