■何成宝

三角函数是高中数学的重要内容，主要包括三角函数的概念、图像、性质，以及三角函数的应用等。常考考点主要有函数的图像、函数的性质、函数的化简与求值等，一般以选择题、填空题的形式出现，难度较低，有时也以解答题的形式考查，但难度也不大。本文就三角函数的考查点加以分类例析，以帮助同学们更好地掌握相关知识。

考点一：考查三角函数的概念

主要考查同学们掌握三角函数概念的情况，并能否利用同角公式、诱导公式求三角函数值，这是高考中最基本的题型。

例1 若角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点P（-4，3）为其终边上一点，则cosα的值为（ ）。

解：由余弦函数的定义可知应选C。

解决本题的关键是理解已知角的终边上一点的坐标，结合三角函数的定义，求解三角函数值。

跟踪练习1：若角α的终边经过点（1，-5），则tanα的值为（ ）。

提示：因为角α的终边经过点（1，-5），所以x=1，y=-5，则-5。应选A。

考点二：考查三角函数的图像

主要考查同学们对三角函数图像的理解及应用情况，常见的题目为给出解析式要求画出图像，给出图像让求解析式，以及进行图像变换等。

例2函数在区间上的简图是（ ）。

解：通过特例可排除B、D项。通过特例可排除C项。应选A。

解答此类型题的关键是熟练掌握正弦、余弦函数的图像和性质，而解决本题的关键是巧用特殊点。

跟踪练习2：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间上的图像是（ ）。

提示：函数y=tanx+sinx-|tanx-因为在区间上tanx＜sinx，在区间上tanx≥sinx，所以函数y在区间上的图像为D。应选D。

例3已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图如图1所示，则此函数的解析式为___________。

图1

解：由图像可知A=2。由图像过点（0，1），可得f（0）=1，即sin因为所以又因为是图像上的一点，所以即0。由图像可知是图像在y轴右侧部分与x轴的第二个交点，所以2π，解得ω=2。故此函数的解析式为f（x）=

掌握A，ω，φ 的物理意义，根据图像中的特殊点，可以快速解题。

跟踪练习3：已知函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像如图2所示，则此函数的解析式为（ ）。

图2

例4把函数y=sinx（x∈R）的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，则得到的图像所表示的函数是（ ）。

解：将函数y=sinx（x∈R）的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y=的图像。再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，即函数周期变为原来的一半，因此得到的图像所表示的函数为R）。应选C。

对于三角函数图像的变换，大家主要掌握三种：相位变换、周期变换和振幅变换。①将函数y=sinx，x∈R的图像向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin（x+φ）的图像，简记为“左加”“右减”。②将函数y=sinx，x∈R的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的纵坐标不变，得到函数y=sinωx，x∈R（ω＞0且ω≠1）的图像。③将函数y=sinx，x∈R的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍，横坐标不变，得到函数y=Asinx，x∈R的图像。

跟踪练习4：要想得到函数y=的图像，只需将函数y=sin2x的图像（ ）。

提示：因为函数所以只需将函数y=sin2x的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像。应选A。

考点三：考查三角函数的性质

主要是对三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值问题的考查，要求大家熟练掌握y=Asin（ωx+φ）（x∈R）与y=Acos（ωx+φ）（x∈R）等类型的函数的相关性质。

例5设函数R，则函数f（x）（ ）。

C.在[kπ-π，kπ]（k∈Z）上单调递减

D.在[kπ-π，kπ]（k∈Z）上单调递增

解：由函数 f（x）=-cos2x，得函数f（x）在Z）上单调递增，在上单调递减。应选B。

熟悉几种常见的三角函数的单调区间是解答此类问题的关键。

跟踪 练 习 5：设 函 数 f（x）=则以下结论正确的是（ ）。

提示：由x∈可知所以函数f（x）先减后增；由可知所以函数f（x）先增后减；由可知所以函数f（x）单调递减；由可知所以函数f（x）先减后增。应选C。

例6已知函数y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ的值可能为（ ）。

解：因为函数y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，所以sin（-x+φ）=sin（x+φ），即x+φ=π-（-x+φ）+2kπ，k∈Z，解得又因为0≤φ≤π，所以当k=0时应选C。

函数y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）为偶函数，则函数y=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω≠0）为奇函数，则φ=kπ，k∈Z。

跟踪练习6：函数y=3sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的奇函数，则φ的值可能为（ ）。

提示：因为函数y=3sin（2x+φ）（0≤φ≤π）是R上的奇函数，所以φ=kπ，k∈Z。又因为0≤φ≤π，所以当k=0时，φ=0。应选A。

考点四：考查三角函数的化简与求值

三角函数化简与求值的基本要求：①尽量使函数的种类最少、次数最低、项数最少。②尽量使分母不含三角函数式。③尽量使被开方数不含三角函数式。④能求值的应计算出来。

例7化简2sinα·cosα。

解：原式2sinα·cosα

三角函数的化简与求值通常与三角函数的图像、性质及诱导公式综合在一起进行考查，同学们在解题时要严格按照三角函数化简与求值的基本要求。

跟踪练习7：化简：sinθ（1+tanθ）+

提示：原式

例8已知（m≠0），求的值。

解：由可得所 以又由且可得所以所以

应用整体意识找到角与角之间的关系是解答此题的突破口。

跟踪练习8：求sin2（42°+θ）-2tan（45°+θ）·tan（45°-θ）+sin2（48°-θ）的值。

提示：原式