张 鑫，邹德旋，李顺才，喻 秋

(江苏师范大学 a.电气工程及自动化学院；b.机电工程学院，江苏 徐州 221116)

0 引言

粒子群优化方法(Particle Swarm Optimization，PSO)是Kennedy和Eberhart[1-2]在1995年提出的一种启发式优化方法。与传统计算方法相比，具有收敛精度高、搜索速度快、无需设置初始值、易于解决不连续问题等众多优势，十分适用于机床主轴结构参数优化问题。

在实际加工工件中，机床主轴受到局部负载、扭矩和弯矩的作用，需要主轴有足够的刚度和强度避免弯曲和断裂，在保证主轴性能的同时合理控制重量是主轴优化设计的重要领域，不仅可以提高生产质量，增加公司经济收入，也可以减少不必要的成本。目前对机床主轴参数优化普遍使用的是有限元法分析。顾寄南等[3]使用有限元法分析了CK61200车床的关键结构并对其进行设计；陈忠敏等[4]使用有限元法对CA6140型机床主轴建立了更加准确的模型，在主轴参数优化中减少了有限元的分析次数和计算量；王新旺等[5]分析了高频破碎器的主轴应力且优化了结构；Shen等[6]使用Matlab的fmincon函数法优化设计建立好的主轴待优化函数模型；张景尧等[7]使用NSGA-II法求解以机床主轴刚度最大和转动惯量最小为优化目标的高质、低碳主轴优化模型。

有限元法分析可以将复杂问题简单化[8]，但用于优化时，本质是最小二乘法或者梯度法逼近最优解[9]，这两种方法存在精度不高，且迭代次数较多的缺点。fmincon函数法具有计算量大、收敛速度慢、需要迭代时间较长和精确度不高的缺点。这些方法在寻优时需要设置初始值，初始值选取是否得当直接影响迭代时间和结果，在解决机床主轴结构参数优化问题时不方便。

针对以上缺点和现状，本文提出一种搜索速度更快、精度更高的极简粒子群优化算法(Super-simplify Particle Swarm Optimization，SPSO)用于实现机床主轴最优化设计。为了检验本文方法的优越性，令fmincon法、PSO和SPSO在保证参数设置公平和同一平台的情况下对实例模型进行寻优设计，比较优化结果。

1 机床主轴结构参数优化数学模型

1.1 机床主轴模型假设

基于极简粒子群优化算法的机床主轴结构参数优化设计方法是以二支承主轴为设计本体，主要目标是主轴质量最小，以刚度、强度、转角等约束条件设计优化模型，最后使用SPSO优化设计。现列出搭建模型所需的假设条件。

(1)主轴材料已知，且密度均匀，符合材料力学和机械动力学相关原理；

(2)机床型号已知，主轴内径确定，且整根空心主轴粗细一致；

(3)外伸端负载已知；

(4)主轴轴承位置确定，且可简化为支座。

根据假设条件，二支承主轴的简化模型图如图1所示。

图1 二支承主轴模型图

图中F是外伸端处载荷；T是扭矩；a是主轴外伸长度；L是支承间跨距；D是主轴外径；d是主轴内径。

1.2 机床主轴模型构建

当机床型号和主轴材料确定时，主轴内径和材料密度便是已知的。目标函数公式可建立如下：

(1)

其中，W是主轴质量，单位为kg；ρ是材料密度；a是外伸长度；L是跨距；D是主轴外径；d是主轴内径。假设受力点为C点，两个支撑分别对于主轴的A和B点，建立坐标系，主轴弯矩M和剪力Q图如图2所示。

图2 主轴弯矩和剪力图

主轴外伸端挠度不能超过允许挠度。根据材料力学[10]推导可得挠度约束方程：

(2)

其中，F是主轴外伸端处已知载荷；[y]是外伸端挠度规定值。

考虑正应力对其影响，可列约束方程：

(3)

式中，WZ是抗弯截面系数；[σ]是主轴许用正应力。

主轴切应力不应超过许用切应力，约束方程如下：

(4)

式中，T是扭矩；WT是抗扭截面系数；[τ]是许可切应力。

根据主轴前轴颈处的转角不能超过许用转角，并代入轴惯性矩公式，可得约束方程：

(5)

最后，主轴外径D、外伸长度a和跨距L还有各自的边界条件需要满足：

Dmin≤D≤Dmax,amin≤a≤amax,Lmin≤L≤Lmax

(6)

式中，Dmin、Dmax、amin、amax和Lmin、Lmax分别是3个待优化参数的上下限。

2 改进粒子群优化算法

2.1 基本粒子群优化算法

基本粒子群算法的由以下两个迭代公式组成：

(7)

(8)

式(7)即为粒子速度公式，式(8)为粒子位置公式。其中，vi表示第i个粒子当前速度；xi表示第i个粒子当前位置；ω是惯性权重；n表示粒子在第n个维度；i表示第i个粒子；t当前迭代次数；c1和c2分别是认知因子和社交因子；r1和r2是[0，1]之间的随机数；pbest是个体历史最优解；gbest是全局最优解。

2.2 极简粒子群优化算法

为了更有效地利用粒子群算法的优势，并良好应用于主轴优化设计问题，本文直接利用社交项作为粒子学习项来控制算法寻优，令粒子群算法的公式达到最简化，即极简粒子群算法(Super-Simple PSO，SPSO)。该方法提高了算法的搜索效率，稳定性减弱不明显。改进计算方法只由一个迭代公式构成：

(9)

式中，l是锁定因子，用于锁定粒子与gbest的影响，公式为：

(10)

如此改进后，SPSO在寻优时，粒子只受全局最优点gbest影响，粒子的方向始终指向gbest。这一改进使寻优过程变得非常简洁，速度非常快，且粒子多样性因为锁定因子的加入而得到保证。

改进后的算法实现步骤如下：

(1)初始化。设置问题维度、最大迭代次数、种群数量、惯性权重、位置上下限，根据位置上下限随机初始化种群位置；

(2)根据机床主轴结构的参数优化问题的数学模型计算适应度，并利用罚函数法添加约束条件；

(3)通过比较获得到全局最优解gbest；

(4)计算当前锁定因子，利用SPSO迭代公式更新粒子位置；

(5)如果迭代次数达到最大迭代次数则停止运行并输出最优化设计方案，返回步骤二直到完成迭代。

算法流程图参考图3所示。

图3 算法流程图

3 算例与分析

3.1 算例介绍

已知某普通机床二支承主轴，电机功率为7.5kW，主轴的内径d=48mm，作用在主轴外伸端处的外力F=15000N，许用挠度[y]=0.124mm，许用正应力[σ]=160MPa，许用切应力为[τ]=240MPa，允许转角[θ]=0.01rad。主轴材料的密度为ρ=7800kg/m3，主轴材料的弹性模量为E=2×105MPa，剪切模量为G=8×105MPa。主轴的计算转速为n=50r/min，主轴最大功率P=7.5kW，经过计算主轴最大输出扭矩为T=1432Nm。

3.2 模型变换与实验平台设置

模型建立后需要和优化方法相结合。根据计算需要，本文将当量外径D、外伸量a和跨距L对应SPSO的三个维度，即粒子i的位置可以表示为xi1、xi2、xi3。挠度、刚度和转角约束条件统一变换成小于等于0的形式后，建立可使用于解决约束问题的粒子群寻优函数模型。边界条件则通过初始化粒子速度和位置上下限实现，粒子速度和位置上下限可以在迭代时有效限制粒子速度和位移。

那么，函数模型可变为可以编程实现的形式：

(11)

目标函数寻优空间的切片图可参考：

图4 目标函数寻优空间切片图

约束函数为：

(12)

(13)

(14)

(15)

边界条件通过设置速度和位置上下限实现：

(16)

使用惩罚因子解决约束问题处理方法，需要将目标函数和约束函数归一成一个待寻优总目标函数：

(17)

式中，F是需要寻优的总目标函数；f是目标函数；g是经过简单变形后的约束函数；K是约束条件个数；k是当前约束条件；φ是惩罚因子。

假设惩罚因子设置为1050，利用公式(17)将目标函数和约束函数归一化后的总目标函数切片图如图5所示。

图5 总目标函数寻优空间切片图

比较实验需要考虑公平性和公正性，本文实验均使用Matlab R2014a作为实验平台，PC机内存4.00GB，CPU速度2.26GHz。迭代次数均设置为20次。fmincon函数法初值设置为[140,130,550]，粒子群算法因为本身特殊性无需设置初始值。

具体参数设置可参考表1。

表1 参数设置表

表中，T是迭代次数；N是问题维度；M是种群个数；ω是惯性权重；φ是惩罚因子；x0是初始值。

3.3 寻优设计结果与分析

优化设计时，随着迭代次数的增加fmincon法的三个参数直到第10次迭代时才逐渐稳定，PSO和SPSO均在5次迭代以内。10次迭代后的具体质量见表2，时间指计算方法迭代一次的运行时间。

表2 10次迭代的质量寻优具体结果

由表2可见，当运行10次迭代后，PSO和SPSO均已搜索到质量最小的参数设计，其中PSO在第4次迭代时搜索到最好设计方案，SPSO在第2次迭代时就已经搜索到最好的方案，fmincon函数经过第1次迭代的结果就很大，10次迭代结束后依然未能收敛到最优方案；观察运行时间可以发现，SPSO比PSO迭代一次时间更短，减少了7.31%，与fmincon函数法比较，时间减少了76.91%。

具体寻优曲线图如图6所示。

(a) 外径寻优曲线图 (b) 外伸寻优曲线图

(c) 跨距寻优曲线图 (d) 3种计算方法的质鲟优 曲线对比图

(e) 2种粒子群算法的质量寻优 曲线细节图 (f) 3种计算方法迭代次 时间柱状图 图6 3种方法的寻优结果图

从图6a、图6b和图6c中的曲线可以看出，fmincon函数法在收敛到13代的时，外伸量和跨距没有变化，但是外径出现了上升，与之对应，图6d中fmincon法寻优的质量也在13代时变大，稳定性较差。SPSO的搜索曲线都下降很快，收敛到第2代时就已经最优，且之后没有波动。因为fmincon法迭代较慢、前期寻优质量较大且PSO和SPSO均在迭代5次以内就已经完成寻优过程，故绘制只有5次迭代结果的图6e单独观察PSO和SPSO的质量寻优曲线， SPSO在第1轮迭代时的结果就很小，且收敛很快，第2次迭代就已经到了最好的结果，而PSO则收敛较慢。最后，图6f可以看出三种计算方法寻优同一个问题迭代1次的时间，SPSO用时最短。

如果不对fmincon法设置固定迭代次数，即搜索到最优再输出结果，则需要迭代17次。寻找到的最优设计结果具体如表3所示。

表3 3种方法均达到最优后的参数优化结果

表3中可以看出，PSO和SPSO搜索到的最优设计为[60,60,320]，而fmincon函数法迭代17次后结果是[64.30,60,320]。且在使用fmincon函数法时需要设置初始值，初始值得选取是影响其优化效果的因素之一。综上，SPSO可以在更短的时间里搜索到可能更好的结果，各方面性能均优于其他两种计算方法。

4 结论

本文将极简粒子群优化算法运用于机床主轴结构参数优化设计，改进的粒子群算法直接利用社交项作为粒子学习项来控制算法寻优，并使用按一定规律分布的锁定因子干扰粒子受全局最优解的影响程度，使实施更简单，效果也更好。论文最后引入实际案例，对fmincon函数法、PSO和SPSO 的寻优结果进行对比，结果表明：SPSO在第2次迭代时就搜索到了最好的优化方案，PSO则是在第4次迭代时寻找到相同的方案，fmincon函数法在迭代17次后只找到了近似较好的设计方案；且在比较寻优时间可以看到，与PSO相比，SPSO的优化时间减少了7.31%，与fmincon函数法相比减少了76.91%。可下结论：本文提出的基于极简粒子群优化算法的机床主轴结构参数优化设计方法稳定性好，性能优越，对改进粒子群优化算法运用于其他梁结构的设计优化问题也具有实际参考意义。