☉浙江师范大学教师教育学院 周琳辉

☉浙江师范大学教师教育学院 唐恒钧

21世纪以来，数学探究被各国数学课程所强调.我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版》）中指出：“教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径.”［1］教科书是课程资源的重要组成部分、课程实施的载体，也是师生实施数学教学最重要的资源和线索.所以对数学教材中的探究内容进行分析，有助于师生对探究教学和学习的领悟，促进探究内容的使用和探究活动的实施.

新加坡的数学教育因其学生在如TMISS等国际比较中位居前列而备受关注［2］，且与中国有着相似的文化背景和环境.所以本文以“圆的性质”为例，试图从微观的角度分析新加坡SHINGLEE出版社2014年出版的《NEW SYLLABUSMATHEMATICSNORMALACADEMIC）》［3］（下简称《NSMN》）和浙江教育出版社2014年出版的《义务教育教科书·数学（九年级上册）》（以下简称《浙教版》）［4］两版教科书中的探究活动，以期为我国数学探究教育的发展提供有益的启示和借鉴意义.

一、研究方法

1.研究对象

徐斌艳教授认为数学探究是指：学生遇到某个数学问题或数学情境时，通过观察、分析、推测数学事实，提出有意义的数学问题，并寻找、验证数学事实及结论，给出相关规律或结论的解释或证明，同时反思所得结论以期形成新问题［5］.据此将表1中的栏目作为探究内容加以分析.

表1 数学探究内容取样

2.研究框架

徐斌艳教授从情境表述、问题表述、活动组织形式、活动类型、与教材上下文的关系这五个维度提出了数学教材中探究内容的分析框架.［5］张维忠教授等在此基础上进一步增加了探究内容的认知水平要求［6］.刘云老师等则在其分析框架中探讨了数学探究活动的内容类型［7］.本研究综合上述研究框架，形成了如图1所示的分析框架.

图1 数学探究内容分析的理论框架

二、探究内容的比较分析

1.探究内容数量的比较

由图2可知，在探究内容数量上，《浙教版》略多于《NSMN》.但《NSMN》的探究问题达到51个，远高于《浙教版》的28个.这主要是因为在《NSMN》中，如调查活动等显性探究栏目里，一个问题下面通常会出现多个子问题，每个探究内容的篇幅也较大.而《浙教版》的探究栏目通常篇幅短小精练，且因为大部分处于节前和节中的位置，一个探究内容中普遍只有1至2个子问题.

图2 探究内容与探究问题数量

2.探究内容类型比较

探究内容的知识类型可以细分为数学知识本身的探究和应用数学知识进行探究两类.具体地，数学知识本身的探究指向具体数学知识的学习，一般与数学概念、定理、公式、运算、方法、研究方法等有关.应用数学知识探究针对数学知识的应用，分为模仿性应用探究和创造性应用探究两种类型［6］.如图3所示，两国教材中的探究内容主要以陈述性知识为主，程序性知识为辅.相对而言，《浙教版》更注重探究中对数学知识的创造性应用，占21.43%.它比模仿应用能更好地培养学生的创新意识和解决问题的能力.

图3 知识类型比较

3.认知水平比较

如图4所示，该章探究内容没有记忆性的数学任务.两版教材均出现三成左右的无联系程序性探究，占比最高的是有联系的程序性任务.联系程序性任务能促使学生深入思考与理解数学知识本质，充分调动认知来寻求解决问题的程序.如在《NSMN》的探究栏目“调查活动”中，要求学生通过几何模板里的动点操作、观察圆的变化来抽象归纳出有关圆的性质定理.在一定的联系、无联系的程序性探究内容的基础上，《浙教版》还出现了一定量更高认知要求的做数学任务，拔高和提升了数学探究的层次.比如，让学生推测丁字尺找圆心的原理，再进一步设计出改进方案，使它能广泛应用于更多类型的圆.学生通过这些探究，可以锻炼结合元认知探索问题内在结构的能力.

图4 认知水平比较

4.探究内容情境表述的比较

（1）情境类型比较.

如图5所示，两版教材在探究情境的类型上有比较明显的差异.纯数学情境在《MSMN》中占91.67%，大多数出现在调查活动中.它要求学生进入指定的新加坡学习网站，利用其中的几何模板进行探究.所以它涉及的都是关于纯数学知识的几何操作.如在“圆的对称性质1”这一节中，“进入http：//www.shinglee.com.sg/StudentResources/，打开几何模板圆的性质1如下所示……点击拖动点A或B改变弦长，拖动R改变圆的大小，你能观察到AM和BM的长度有什么变化吗？你把M点叫作什么”.《浙教版》主要通过“做一做”这个栏目，用纯数学知识引入新知展开圆的性质的学习.

强调数学与现实生活、其他学科间的关联是新世纪以来数学课程改革的一个重要理念.［8］《浙教版》的探究内容中分别有3处真实情境和虚设情境，《NSMN》中有4处为虚设情境，没有出现真实情境.可见，无论是《浙教版》还是《NSMN》中，非数学情境较少，真实情境更少.而通过与日常生活和其他领域相关联的问题情境，能使得探究内容更富有趣味性和真实性，让学生体会数学与生活和其他学科的联系.如在学习图形的旋转时，把探究内容与现实生活中的艺术作品巧妙结合起来，学生在探究生活中图形旋转的同时，又能发挥自己的创造力设计出各种美丽的图案.

图5 情境类型比较

（2）数学信息比较.

由图6中关于数学情境的信息完整度数据可以看出，两版教科书探究内容的信息完整度都很高，没有出现数学信息冗余的探究问题.相较于《浙教版》中所有探究问题的情境给出了完备的数学信息，《NSMN》中出现了少量信息不足的情况（占9.8%）.“圆的性质”这一章节中知识比较抽象复杂，数学信息完备的探究内容有利于学生数学探究的顺利开展.但从探究能力的发展、数学思维的锻炼等角度考虑，数学结构不完整的探究内容能给学生留有更大的探究空间，为学生的探究学习提供更多能发挥创造力和发展创新力的机会.

图6 数学信息比较

5.探究内容问题表述的比较

（1）句式比较.

从图7中可以发现，《浙教版》的句式以疑问句为主（占64.29%）.如在第一小节“圆”的学习中让学生思考：“经过不在同一条直线上的三个点一定能做出一个圆吗？如果能，怎样找出这个圆的圆心？经过同一条直线上的三个点呢？”这样，通过多个问题的层层推进，推动了学生的思考，使探究逐步深入.而陈述句大多出现在最简单基础的计算中.《NSMN》中则正好相反，陈述句占64.71%.特别是在每个调查活动的最后部分，会让学生根据自己的归纳总结把概念或性质补充完整，并在下一个探究问题中要求证明该原理.这些探究问题都是以陈述句的形式呈现.可以看出《浙教版》更注重用疑问句式的探究内容来推动学生进行探究学习，疑问句的引导性和感染力更强，能更好地调动学生学习和思考的兴趣，推动探究知识的一步步深入.

图7 句式比较

（2）问题类型比较.

由图8可知，封闭式问题是《浙教版》和《NSMN》探究内容主要的问题类型，分别占60.29%和82.36%.另外，《浙教版》中过程开放式和结论开放式问题的比例都高于《NSMN》.开放式问题有利于引导学生大胆假设和探究.这样学生在“圆的性质”问题探究中，既能发挥想象力用所学知识寻求多元化的解决方法，又能调动创造力发现更多有价值的结论.如在圆心角这一小节中“设计一个实验，探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦长之间的关系”，学生能在探究中回忆前面学过的圆和弦的相关性质，将新、旧知识结合在一起.在这个过程中，用不同的方法设计出不同的验证实验，探索出弦、弧与圆心角关系的结论.在开放性的探究中，不仅能加深对圆心角的理解，又能培养学生善于质疑和善于反思的习惯.

图8 问题类型比较

6.探究活动组织及类型的比较

两版教材在探究内容的活动组织上差异不大（如图9）.个人活动是主要的组织形式，在《浙教版》和《NSMN》中分别占82.14%和84.32%.如《浙教版》中的正多边形、弧长及扇形的面积，以及《NSMN》中利用几何模板的调查活动，都设计了大篇幅的个人活动.两版教材中合作学习的比例都不大，在《浙教版》中主要存在于“合作学习”这一栏目中，《NSMN》中主要通过“课堂讨论”实现.

图9 活动组织比较

进一步，两版教材探究内容的活动类型均以解答活动为主，但是存在较为显著的差异.如图10所示，《浙教版》的活动类型比较丰富，除了占主体位置的解答活动（85.71%），还有阅读活动（7.14%）、项目活动（3.57%）和写作活动（3.57%）.《NSMN》中除了解答活动（58.86%），特别重视实验活动（43.13%）.在圆的性质学习中，要求学生借助前述网站中的几何模板进行探索，让学生经历数学化过程，从而更加直观地感受几何变化中的不变性，即圆周角、弦长等相关的几何性质.

图10 活动类型比较

7.上下文关系比较

如图11，两套教材的探究内容分别有35.71%和33.33%用于导入新知，多出现在小节的开头位置.通过其对新内容的引导和探索，有助于学生建构新知识.如《浙教版》中图形的旋转一节的开头，让学生探究：能否经过旋转，使左手的图形与右手重合？经过轴对称呢？另外，两版教材探究内容出现于承上启下和巩固拓展环节的均在20%左右，一般出现在节中或节中后，以帮助学生将前后知识融会贯通，进一步巩固学习和反思.从整体上看，《浙教版》和《NSMN》对这两种功能定位都较为重视.《NSMN》中用于归纳总结的探究内容占19.61%.如在调查活动栏目中“抄写并填充下面的定理和原理：一般地，圆中相等的弦与圆心的距离是______”，让学生对所学的知识进行抽象概括，总结出方法和规律.《浙教版》里用于归纳总结的探究比例较少，而更强调应用拓展的功能.如在“美妙的镶嵌”这一阅读活动中，学生既了解了艺术大师的作品，又能将所学的多边形知识用来设计图案.通过探究内容对数学知识的应用拓展，学生既锻炼了数学的思维，又提升了数学的基本思想.

图11 数学探究内容上下文关系比较

三、结论与启示

1.适当调整探究内容的数量，准确把控功能定位

我国《浙教版》教材在“圆的性质”这一节中的探究数量适中.但因为大部分处在节前或节中的位置，同时一个探究内容下通常只含有一到两个问题，易出现探究不够深入的情况，甚至造成探究内容习题化.如果一道题能综合多个知识点，从学生思维和能力培养的角度来说，它能促使学生开阔、多向地思考问题，建立起数学内部知识的联系.《浙教版》可以适当增加具有归纳总结功能的探究内容的比例，加深学生对数学知识点的理解.《NSMN》则需要重视探究在拓展应用功能上的价值，加强数学与生活、与其他学科的联系，丰富数学文化，增强学生应用数学的意识，促进学生的体验性学习和探究性学习，不断增强探究能力和实践能力.总之，既要合理安排数量，又要关注内在功能和价值.

2.增加真实情境下的探究内容比例，密切生活实际

《课标（2011年版）》在基本理念中指出：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索.”数学是对生活日常的系统归纳，所以要基于学生的生活实际来编制教材，引导学生在真实的情境中，通过模仿、猜想、观察、实验等各种手段来搜集知识和获取经验，以便培养学生基于数学知识来解决生活中问题的能力.真实情境下的数学探究内容有助于学生体验与理解、思考与探索，使学生经历从实际背景中抽象出数学知识和方法的过程，虚设情境也有利于学生建立生活和抽象数学之间的联系.但中国和新加坡两个国家目前都是以纯数学情境下完备信息的探究内容为主，因此要重视真实情境的创设，密切联系生活实际，关注数学与日常生活、数学与其他学科等领域的联系，由此激发学生的探究兴趣，让学生学习和应用数学知识的同时，感受数学的价值和乐趣.

3.丰富探究内容类型，重视辅助工具的应用

实验活动、写作活动、项目活动、阅读活动等不同类型的探究活动有助于学生通过自己经历、体会、感悟、积累获得基本的数学思想，锻炼写作能力、动手操作能力，拓宽自己的认知领域，提升探究的水平.中国和新加坡教材探究内容都以解答活动为主，其他类型的探究活动所占比例很少.不过《NSMN》探究内容的实验活动中对几何模板的充分应用也给《浙教版》提供了借鉴，应增加学生借助几何画板等其他辅助工具的机会，提高学生应用技术和资源解决问题的能力，同时使探究活动更加活性、多元地展开.

4.强化程序性知识探究，注重知识的创造性应用

有研究表明，程序性知识与创造性应用探究对学生问题解决能力及创新意识的培养作用更大.特别是数学知识的创造性应用，它能更好地帮助学生学会数学地思维［6］.但在“圆的性质”一章中，两版的教材都以陈述性知识的探究为主.应进一步重视程序性知识和知识的创造性应用，有助于加强学生自主探索的意识、创造性思考的能力，从而拓宽认知水平，提升认知高度.

5.增加合作学习机会

合作学习也是新课改中强调的重要教学理念和学习能力之一.合作探究能增加学生团队合作意识，在探究中提高数学表达能力，通过和同伴合作交流，拓宽彼此的数学思维，寻求更多方位的解决方法.比较发现，我国和新加坡教材的探究内容在合作学习的比例都还不到20%，更偏向个人活动，所以教材的编制应该在个人与合作活动的设置与比例上做适度的协调，增加学生合作学习的机会.

6.注意多角度探究，适当加强探究内容的开放性

《浙教版》探究类型多为封闭式问题，注重问题的严谨性.但开放式问题可以引导学生自由探索多元的解决策略和方法，从多角度切入进行多方位探究.未来应注意创设开放式问题情境，推动多角度的探究，从而调动学生的求知欲和学习的积极性，促进学生思维的发展，使其通过活性的探究过程和方式，发散性地探寻未知、多元的结论.

总之，探究能力是学生综合素养的重要组成要素.数学教材中的探究内容是培养学生综合实践能力和探究能力的重要载体.通过对中国和新加坡两个版本教材的比较，辨证地看待各自的特点，审视我国数学教材在探究内容编制方面的优点和不足，以期为教材的修订及教师创造性设计数学探究提供借鉴.