黄新丽

(福州理工学院文理学院, 福建 福州 350506)

Hilbert空间中的框架是Duffin和Schacffer[1]于1952年在研究非调和级数时引入的概念。 框架是标准正交基的一种推广，空间中的每个元素都能够由它线性表出，但它的重构表示式是不唯一的，这种冗余性使得它在实际应用中非常有用。 目前，框架理论已经在无线电通讯[2]、信号处理[3]等领域有着重要的应用。

随着框架理论的发展，出现了框架的不同形式的推广。 在处理巨大数据时，需要将一些数据做局部处理后再做整体处理，这种思想与计算机对大型数据处理时进行分部计算的方法相符合。 2004年，Casazza和Kutyniok[4]研究框架整体与局部关系时引入了Fusion框架的概念。 2006年，孙文昌教授[5]在已有的几种框架概念的基础上提出了g-框架的概念。 2011年，Gǎvruta[6]在研究原子分解系统时引入了一种推广框架——K-框架的概念。 一个序列fii∈I为H的K-框架的充要条件是其合成算子T满足R(K)⊂R(T)，而序列fii∈I为H的框架的充要条件是其合成算子T为满的，这说明K-框架与框架有许多性质是不一样的，因而K-框架具有重要的研究价值。 随后，一些学者提出了K-g-框架[7]、K-fusion框架[8]、K-g-fusion框架[9]的概念。 本文在原有的框架理论的基础上，研究K-g-fusion框架与其合成算子的关系，K-g-fusion框架与K-框架的等价刻画，以及K-g-fusion框架在算子扰动下的稳定性。 所得结论推广了一些已有的结论。

在本文中，设H和H′为两个可分的复Hilbert空间，Hii∈I是H′的闭子空间序列，其中I是正整数集的子集。 记L(H,Hi)为从H到Hi的所有有界线性算子的集合。 在本文中，算子Λi∈L(H,Hi)，其中i∈I。 定义l2({Hi})为

并定义其内积为