杨亚军

【摘 要】一题多解确实能启迪学生思维，但有些解法的局限性学生不一定能注意到。还有，刷题在当下也被绝大多数学生奉为提高数学成绩的不二法宝。笔者从对一道高考三角题多种解法的学习研究中，有了自己的困惑，进而做了一点粗浅的探索，认为这对于培养学生的质疑精神和数学推理能力，引导学生走出通过刷题学习数学的误区。

【关键词】解法探究;学法指导

【中图分类号】G634       【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）09-0286-01

（2013年高考浙江卷理科6）已知α∈R，sinα+2cosα=〖SX（〗〖KF（〗10〖KF）〗〖〗2〖SX）〗，则tan2α（ ）

A.〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗  B.〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗  C.-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗  D.-〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗

此题答案为C，有许多种解法，体现了三角求值中变形的技巧或方程思想的运用.[1]但大多数方法都是先求得tanα=3或tan2α=-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗，进而求出.

还有构造几何图形，猜想赋特殊值等方法.[2]

作为这道选择题，这些做法各有特点，给人启发.但笔者有一个困惑，这类题目中，tan2α的取值一定是唯一的吗？还是由于该题目中数据的特殊性，导致了此处的tan2α取值唯一呢？或者说，tan2α在什么种情况下，tan2α的取值唯一？在什么情况下，的取值不唯一？

为解决此问题，我们不妨设tan2α=a（a≠0），则a=〖SX（〗2tanα〖〗1-tan2α〖SX）〗

可化为：a tan2α+2tanα-a=0.设t=tan α，则at2+2t-a=0.

∵a≠0，且△=4（1+a2）>4>0

∴关于t的方程at2+2t-a=0一定有两个相异的实根t1，t2，且t1·t2=-1.

至此，我心中的困惑解决了.当题目中的已知条件满足：两个tanα的取值之积为-1时，tan2α的取值唯一，否则必不唯一.

进而还可以得到这个结论：若tanα·tanβ=-1，则tan2α=tan2β.

当年浙江省的这道高考题中，tanα=3或-〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗，满足3×（-〖SX（〗1〖〗3〖SX）〗）=-1，所以tan2α的取值唯一，是-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗.

再比如：已知sinα+3cosα=〖KF（〗5〖KF）〗，求tan2α的值.可求得tanα=2或tanα=-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，所以tan2α=-〖SX（〗4〖〗3〖SX）〗.（这里2×（-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）=-1，所以tan2α的取值唯一.）

但对下面这道题目：已知sinα+3cosα=3，求tan2α的值.

解：由已知得3cosα=3-sinα，两边平方，整理得5sin2α-3sinα=0.

∴sinα=0，或sinα=〖SX（〗3〖〗5〖SX）〗.

∴〖JB（{〗sinα=0cosα=1〖JB）〗或〖JB（{〗sinα=〖SX（〗3〖〗5〖SX）〗cosα=〖SX（〗4〖〗5〖SX）〗〖JB）〗

∴tanα=0或tanα=〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗

∴tan2α=0或〖SX（〗24〖〗7〖SX）〗.（這里0×〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗=0≠-1，所以tan2α的取值不唯一.）

由此注意到，一些特殊解法，像构造图形、猜想赋特殊值等方法，对四选一的选择题确实很快捷，但这些解法往往掩盖了问题的实质，还可能形成隐患，导致学生在完成填空题或解答题时考虑不周全，因思维的不严谨而造成漏解等错误.

另一方面，也提醒我们在平时的解题中，可注重发掘和利用题目中数据的特殊性，以此简化分析及求解过程，快捷求解.

更重要的是，要培养质疑精神，在学习中多问几个为什么.尤其是面对题目或题目的解法时，要学会利用自己所学知识去研究题目.这样做，肯定费时间，但它一定能达到事半功倍的效果，一定比盲目的刷题更有效，也更能培养数学能力，提高数学学习成绩.

参考文献

[1]常国强，储瑞年主编.《中高考年鉴·数学卷2013年》，内蒙古少年为儿童出版社，2013.8：381-382.

[2]蔡小雄主编.《更高更妙的高中数学一题多解与一题多变》，浙江大学出版社，2016.3（2018.1重印）：22-24.