刘云山， 顾大卫， 张居乾， 张学良， 闻邦椿

(1.东北大学机械工程与自动化学院 沈阳， 110819) (2.辽宁轨道交通职业学院机械工程系 沈阳，110023)

引 言

同步现象在生物、物理、工程及技术领域都发挥着极其重要的作用。研究同步的历史可以追溯到1665年，Huygens发现了钟摆的同步现象，并作出了相应的解释。近年来，学者们在机械系统的同步理论上做出了大量的理论探讨和试验研究，文献[1-2]为其中的一些代表。

在工程技术领域，多激振器的同步理论得到了极为广泛的应用，促进了社会生产力的发展。1984年，闻邦椿等[3]提出了振动同步传动的概念，从能量传递的角度分析了振动同步传动的物理过程。文献[4-12]也对振动同步传动的现象进行了相关的研究。以双激振电机驱动的自同步振动机械为例，通常情况下，此机械在两台激振电机同时供电的情况下运转。但振动同步传动理论[1]指出，只要满足一定的条件，在激振器实现同步运转之后，切断一台电机的电源，两个激振器仍然可以保持其同步运转状态。试验指出，这种单电机供电的情况下，所消耗的电能仅为双电机供电时的70%～85%，而达到的工艺效果保持不变。这为振动机械的设计带来了新的思路和途径。

目前，许多学者和工程师正在研究带多个激振器振动机械的振动同步，但多个激振器的振动同步传动少有涉及。笔者以远共振 (即系统的运转频率是其固有频率的3倍以上) 条件下的三激振器同向回转的激振系统为例，从系统动力学耦合特性并通过一些数值和试验，对其振动同步传动原理给予详细阐述。

1 系统动力学模型及运动微分方程

图1为三机同向回转激振系统的动力学模型，其中包括刚性主体、激振器及弹簧。弹簧对称分布并与基础和主刚体连接，3个激振器同向回转，其回转轴心连线为一条水平直线，每个激振器分别由感应电机驱动。设Oxy为固定坐标系，原点O为机体质心平衡点，O1与O3连线的中垂线经过原点O及激振器的回转中心O2。整个振动系统展现出3个自由度：x,y和摆动ψ，每个激振器分别围绕各自的旋转轴转动，以φi(i=1,2,3)表示。

图1 同向回转三激振器振动系统动力学模型Fig.1 Dynamic model of the vibrating system with three-motordrives rotating in the same direction

可得系统的运动微分方程如下

(1)

2 系统实现振动同步传动的判据

设3个激振器在稳态运行时的平均相位为φ，激振器1和2以及激振器2和3之间的相位差分别为2α1和2α2，可得

(2)

在3台电机的最小正周期内，平均角速度的平均值为一常数，即

(3)

(4)

应用线性叠加法则，设mi=ηιm0，i=1,2,3,其中m2为标准激振器，即η2=1，得到系统运动微分方程的稳态响应解为

(5)

3 系统实现振动同步传动同步性判据

To i=Te0i-fdiωm0=χf i+χa i(i=1,2,3)

(6)

其中：To i为电机i的电磁输出力矩，其为电机的电磁转矩与电机转子阻尼力矩之差；χf i及χa i的具体形式由文献[11]给出，且χf i和χa i的表达式中包含相位差的代数项。

振动系统通过调整3个激振器之间的相位差从而在3个激振器之间传递电磁力矩以平衡3个电机之间输出力矩之差，使得系统达到同步。系统实现同步的同步性判据为

(7)

其中：ΔTo12和ΔTo23为电机1与2及电机2与3之间的输出力矩之差；Tu=m0r2ωm0/2为标准激振器的动能；τc12max和τc23max为激振器1与2及激振器2与3之间无量纲频率俘获力矩的最大值；Ws o1,Ws o2及Ws o3的表达式由文献[11]给出。

定义振动系统的同步性能力指数为

(8)

其中：τa为3电机平均无量纲负载力矩，表达式由文献[11]给出。

(9)

此时系统实现振动同步传动时的同步性能力指数如式(10)所示，同步性能力指数越大，系统越容易实现振动同步传动

(10)

(11)

此时系统实现振动同步传动时的同步性能力指数如下

(12)

同步性能力指数越大，振动系统越容易实现振动同步传动。

4 振动同步传动状态的稳定性判据

(13)

通过det(G-λI)=0得矩阵G的特征方程如下

λ2+c1λ+c2=0

(14)

其中

(15)

由Routh-Hurwitz准则可知，当矩阵G的特征方程(14)满足

(16)

时，平凡解Δα=0是稳定的。

切断电机1的电源，此时Te 01和ke 01均为零，此时系统的稳定性方程为

(17)

通过det(G′-λI)=0得矩阵G′的特征方程为

(18)

由Routh-Hurwitz准则可知，当矩阵G′的特征方程(18)满足式(19)时，可解Δα′=0是稳定的

(19)

切断电机3的电源，此时Te03和ke03均为零，系统的稳定性判据为

(20)

其中：矩阵A3满足广义Lyapunov方程；A30为A3的顺序主子式。

5 数值分析和试验验证

图2为三机驱动振动同步试验台，对应图1所示的动力学模型，试验台的系统结构参数如下：β1=15°,β2=90°,β3=165°,m0=4 kg,M=155 kg,r=0.05 m,l01=l03=0.45 m,l02=0.1 m,rl1=rl3=1.25,rl2=rl1sinβ1,Jm=16 kg·m2,rm=0.026,kx=95 kN/m,ky=75 kN/m,kψ=15 kN/rad,fx=fy=0.3 kN·s/m,fψ=0.2 kN·s/rad,fd1=fd2=fd3。3台电机逆时针同向回转，型号均为VB-326-W(380 V，50 Hz，6-pole，Y-连接，额定电流0.82 A，额定转速950 r/min，0.2 kW，激振力0～3 kN，绝缘等级IP54)，3电机由变频器控制在50 Hz下运转。

图2 三机驱动振动同步试验台Fig.2 Vibrating synchronous bedstand with three exciters

5.1 有关系统特性的数值分析

图随系统参数变化曲线Fig.3 the parameters of system

5.2 三激振器相同情况下的试验分析

图4为三激振器相同时(η1=η2=η3)的试验结果。试验开始时，三台电机均以相同电源供电。在约10 s处，激振器彼此之间的相位差达到稳定状态，为2α1≈198.6°，2α2≈205.4°和2α3≈43.7°。

图4 三激振器相同时的同步试验结果Fig.4 Experimental results on synchronization of three identical exciters

40 s处，切断电机1的电源，此时振动系统原有的平衡状态被打破，经历短暂的波动，系统进入振动同步传动状态。在振动同步传动过程中，平均耦合力矩担任能量传输的工具[8]，将来自于供电电机2和3的能量传递给断电的电机1以克服后者的负载力矩并继续保持同步运转。振动同步传动状态下的稳定相位差为2α1≈191.5°，2α2≈199.7°和2α3≈29.1°。

80 s处，切断电机3的电源，此时振动系统的振动同步传动状态被打破，经历短暂的波动，系统再次进入振动同步传动状态。此时，振动同步传动状态下的稳定相位差为2α1≈196.3°，2α2≈208.6°和2α3≈42.5°。

在第2次的振动同步传动过程中，系统的转速及相位差较之前呈现出细小的间歇性波动，导致其波动的原因如下：

1) 在两个电机断电的情况下，系统的平均耦合力矩恰好能够克服三台电机总的平均负载力矩，处于一种临界状态；

2) 供电电机2的电压波动及电机自身相关参数随外界环境变化而变化，导致电机2通过振动系统加载到电机1，3上的负载呈现不均匀性。

5.3 三激振器不同情况下的试验分析

图5为三激振器不同时(η1=η3=0.5,η2=1)的试验结果，试验仍然使用图2所示的试验台。

试验开始时，三台电机同时供电，在约13 s处，激振器彼此之间的相位差达到稳定状态，但呈现出较小的间歇性波动，为2α1≈168.5°～172.3°，2α2≈175.1°～178.3°和2α3≈-15.8°～-14.2°。

40 s处，切断电机1的电源，此时振动系统原有的平衡状态被打破，经历短暂的波动，系统进入振动同步传动状态，此阶段平均耦合力矩担任能量传输的工具。稳定状态的相位差为2α1≈156.9°，2α2≈164.8°和2α3≈-40.5°。通过电机1断电前后系统的稳定性的对比，可以看出电机1断电后系统的稳定性更好，这是因为少了一个电机的内部扰动。

图5 三激振器不同时同步试验结果Fig.5 Experimental results on synchronization of three non-identical exciters

80 s处，切断电机3的电源，系统的转速及各激振器之间的相位差开始出现较大的波动，系统处于不稳定状态。原因如下：在两台电机断电的情况下，系统的平均耦合力矩不足以克服三台电机总的平均负载力矩。这也验证了图3的结果：τcijmax在η1=η2=η3=1时较τcijmax在η1=η3=0.5,η2=1时大，即振动系统在三激振器相同的条件下更容易实现同步及振动同步传动。

5.4 系统参数带入理论验证

以三激振器相同(η1=η2=η3)时的试验结果为例，将试验系统结构参数代入稳定性判据中，如表1所示，可知同步状态及振动同步传动状态下的稳定性指数都大于零(α3ij>0，det(A3)>0，det(A30)>0)，说明系统稳定，与试验结果相符合，这也验证了所用理论方法的有效性。

表1 电机3断电后系统振动同步传动状态下的稳定性

6 结 论

1) 理论上定性地给出了超远共振条件下同向回转三激振器水平直线放置激振系统实现振动同步传动的两大判据：同步性判据及同步状态的稳定性判据。

2) 对于三机同向回转激振系统而言，要想实现振动同步传动，首先必须实现三机同时供电条件下的系统同步运转，产生频率俘获力矩，以保证系统在振动同步传动过程中使得平均耦合力矩担任起能量传输的工具，将来自于供电电机的能量及转矩通过系统传递给断电的激振器以克服后者的负载力矩得以继续保持同步运转。

3) 由三激振器相同及三激振器不同两组试验结果可知，电机1及电机3断电前后系统稳态时的相位差变化不大，因此系统稳定时的主要运动形式在电机断电前后保持不变。说明该三机振动系统在振动同步传动状态下仍然可以维持正常工作。

4) 通过比较分析三激振器相同及三激振器不同两组试验结果：当三激振器相同时，系统在振动同步状态及振动同步传动状态的主要运动形式为圆周运动及摆动运动；而当三激振器不同时，系统在各个同步阶段的主要运动形式为摆动运动，而摆动对工程实际来说毫无意义。同时，在三激振器相同的情况下，系统更容易实现振动同步传动及各个阶段的同步状态更加稳定。本研究表明，在工程生产中应尽量选择偏心块质量一样的电机来进行振动同步及振动同步传动方面的设计。