胡珏

有些同学在做函数问题时，感觉做对了，结果却又做错了。这主要是由于同学们对概念、性质理解不透导致的。为了帮助同学们更好地掌握这部分内容，下面以例题的形式总结了函数问题中的3类易错题。

一、概念问题

例1 已知函数y=（m-1）y[m]+5m是一次函数，则m的值为（ ）。

A.1 B.-1 C.0或-1 D.1或-1

【错解】D。

【错因】忽略一次函数定义中的隐含条件。

【正解】B。

【点评】本题根据一次函数的概念求m的取值范围时，要考虑两个方面，一是函数的指数为1，二是该函数的一次项不能为0。同学们很容易忽略第二点。

二、性质运用问题

1.反比例函数中的几何意义。

例2 点P是反比例函数y=[kx]的图像上一点，若矩形APBO的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。

【错解】y=[2x]。

【错因】错解知道k的几何意义，但忽略了图像的性质。当k<0时，图像在第二、四象限。

【正解】y=[-2x]。

【点评】本题考查的是k的几何意义，同学们容易忽视k的值还与图像的位置有关。

2.二次函数中的平移。

例3 若抛物线y=x2-2x+3不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度，则原抛物线的表达式应变为 。

【错解】y=（x-2）2+5。

【错因】错解误将平移平面直角坐标系看作平移抛物线。

【正解】y=x2-1。

【点评】抛物线的平移规律为“左加右减，上加下减”，这个规律的适用范围是坐标系不动，抛物线平移。本题是抛物线不动，坐标系平移，所以平移规律与上述规律正好相反。

3.函数图像。

例4 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=bx2+ax的图像可能是（ ）。

【错解】B、C或D。

【错因】遗忘一次函数的图像性质，难以根据一次函数图像信息判断a、b分别与0的大小关系;或者不清楚二次函数的图像性质，判断出了抛物线开口方向，却忽略了顶点位置。

【正解】若a>0，b>0，则y=ax+b经过第一、二、三象限，y=bx2+ax开口向上，顶点在y轴左侧，故B、C錯误;若a<0，b<0，则y=ax+b经过第二、三、四象限，y=bx2+ax开口向下，顶点在y轴左侧，故D错误;若a>0，b<0，则y=ax+b经过第一、三、四象限，y=bx2+ax开口向下，顶点在y轴右侧，故A正确。

【点评】本题考查二次函数与一次函数的图像，解题的关键是明确函数图像性质，利用分类思想解答。

三、分类问题

1.对“函数”概念的理解。

例5 如果函数y=mx2-6x+2的图像与x轴只有一个公共点，则m的值为 。

【错解】∵y=mx2-6x+2的图像与x轴只有一个公共点，∴由b2-4ac=0，解得m=[92]。

【错因】审题不清。题目条件是函数，该函数可以是一次函数，也可以是二次函数。所以要分类讨论：如果m=0，函数是一次函数，图像与x轴只有一个公共点，符合题意;如果m≠0，函数是二次函数，当b2-4ac=0时，顶点在x轴上，也符合只有一个公共点。

【正解】m=[92]或0。

【点评】审题时要区分题目中的“函数”“二次函数”“一次函数”等概念性词语。

2.求函数表达式。

例6 已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是-4≤x≤2，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤7。求此函数的表达式。

【错解】把x=-4，y=-5;x=2，y=7代入一次函数表达式中，可得[-4k+b=-5，2k+b=7，]解得[k=2，b=3，]则这个函数的表达式是y=2x+3。

【错因】x的取值范围与y取值范围的对应关系，并不是x与y的对应关系，所以应当有两种情况。

【正解】（1）当k>0时，y随x的增大而增大。x=-4时，y=-5;x=2时，y=7，同上解。（2）当k<0时，y随x的增大而减小。x=-4时，y=7;x=2时，y=-5。同理，由待定系数法可得函数表达式为y=-2x-1。综上所述，这个函数的表达式是y=2x+3或y=-2x-1。

【点评】本题主要考查一次函数的性质。当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小。注意要分情况讨论。

例7 若一次函数的图像y=kx+b与两坐标轴围成三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式。

【错解】设一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，则OB=2。∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8，∴[12]×OB×OA=8，OA=8。∴点A的坐标为（8，0），由待定系数法可得此函数表达式为y=[-14]x+2。

【错因】当OA=8时，忽视点A的坐标有两种可能：（8，0）或（-8，0）。

【正解】y=[14]x+2或y=[-14]x+2。

【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数表达式，要分情况讨论。

（作者单位：江苏省常州市北环中学）