张 昆，张乃达

（1.淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000；2.江苏省扬州中学，江苏 扬州 225001）

数学教学目标的实现，归根结底在于发挥数学知识资源中蕴藏的教育价值。数学教学所要传授的知识相对固定（其最低限度已经写入课程标准，从而有据可查）。但是，运用什么样的方式来传授这种已经设定了的知识，却随着教师萌生与定型的教学理念不同、预设的教学目标不同、持有的教学观念不同、获得的教学经验不同，理解特定数学知识性质不同、揣摩学生掌握特定知识时的认知方式不同、估计学生发生知识时现场心理活动意向与动机不同，存在多种选择余地。不同的教学设计对发挥数学知识的教育价值，促进学生数学素质发展的结果大相径庭、迥然有别。[1]在这一系列的要素之中，教学理念处于矛盾的主要方面，它决定了其他要素的选择与在教学活动中的实现。

一、实现有效数学教学设计的标志

为了说明有效教学设计的标志与本质，我们首先引入“熟知”与“真知”的概念。所谓“熟知”指的是主体从别人（包括书籍、网络等载体）那里接受了现成的现象性的知识结论，而不需要通过自己对外在信息的理解进而经由经纬编织建构出知识结构的过程；所谓“真知”指的是主体通过对外在现象性信息的实践、探索，亲身体悟等一系列心理活动过程而建构起来的知识结构，如此，学生对知识结构中的每一个环节及其联结中介都是经由自己的意识活动形成了相应的心理环节及其过渡性中介的构建过程。因此，数学教学设计目标的重要标志之一，可以确定为将学生接受“熟知”的学习方式，转化为知识发生上的“真知”的学习方式。[2]实现有效教学设计目标的技术性手段在于以下彼此关联的三个方面：

其一，分析知识，精心揭示作为结构的数学知识的环节及其联结中介；其二，分析学情，细致揣摩学生发生具有具体结构数学知识的那种独一无二的转承启合的心理活动环节及其过渡性心理中介；其三，分析知识与学情的关联，它取决于对两个体系的把握即数学知识结构体系与学生发生知识结构的心理环节体系，从而，选择关联知识环节与学生掌握具有这种特定的结构环节的心理活动环节的切入点及其延展，依据知识环节，搜寻从知识环节到学生心理环节的某些线索，模拟学生生成知识的心理环节及其过渡性中介的“接力”序列，将知识环节投射（有时需要启发学生构造）到心理环节上去，使知识环节自然而然地与学生的心理环节统一起来。[3]研究者以自己讲授小学数学骨干教师“国培计划”的教学设计课程为例展开研究。

二、实现有效数学教学设计的课例

在淮北师范大学的小学骨干数学教师“国培计划”项目的教学设计实施中，研究者有意识地、经过改变教科书内容而安排了一些知识点，通过在课堂上真实授课的形式展开培训活动。如此，研究者跟踪听了许多学员的数学课，发现绝大多数情况下，受训教师基本上是在“熟知”的基础上进行教学设计的。这里，我们近乎随机地选择近期所听两节课的某些主要环节的实录，并对其做相应的点评，给出研究者与受训学员在一起研究而得到的教学设计的过程，以此希望启发学员理解教学设计的目标理念与形成技术手段，达到培训目的。我们看两个具体小学数学知识教学设计及其课堂实施过程的片段实录：

课例1 两位数乘以两位数

当学生完成了个位数乘以个位数的乘法“九九表”后，研究者有意识地变动教材提供的内容（教材以两位数乘以一位数作为过渡的支点），直接进行两位数乘以两位数的教学活动。下面是教师甲的教学活动片段实录（省略号表示思维活动的中断，下同）。

计算：13×15①。

师：如何计算①式？

生：……

师：这种计算两位数乘以两位数方法我们可以采用竖式计算。

到此，教师在黑板上给出图1的两位数乘以两位数的竖式计算方法，紧接着安排了十几个习题进行技能训练。

下面是教师乙的课堂教学关键片段实录：

师：如何计算13×15①？

生：……

师：我们在计算13+15时，采用怎样的方法？

生1：竖式加法，如图2，就可以顺利地得到计算结果：13+15=28。

师：这种加法的竖式计算对乘法会有帮助吗？

生2：我模仿图2列竖式，只是将加号改为乘号，如图3，首先将5乘以13，得65，然后将10乘以13，得130，按相同数位对应排列。……

师：下一步怎么办？

生3：在图3中，将所得到的乘法计算结果相加，如图4，得到13×15=195。

师：图3中，因为10乘以15的结果130中的十位数3 已经与65 中的十位数6 排在同一列上，本身就已经指的是30了，因此可以省略130的个位数0，如此，不耽误书写的时间与速度，就是说，在实际计算的书写时，可以用图1替代图4。

图1

图2

图3

图4

研究者对这两位教师的教学设计的评点：对于教师甲，从他的设计教学活动过程的现象上看，只是将列竖式的这种方法直接“奉献”于学生，这是此种教学设计的败笔。对此，我们提出的问题是，学生经由怎样的途径才得到这种竖式。学生发生图1这种竖式计算方法的心理活动环节绝不是如此轻易就可以得到的，教学设计的关键环节就是启发学生如何从自己的数学现实出发，从心底里构建出这种竖式计算的方法来。

对于教师乙，他的教学设计优于教师甲，因为他有效地利用学生的心理迁移活动，充分借助于学生已经存有的对加法竖式计算的经验，这是符合维果斯基的“最近发展区”的原理；从现象上看，也符合奥苏贝尔的“有意义学习”原理，但是，有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非任意的实质性的联系。[4]我们审视这种教学设计的结果发现，图3与图2的联系更倾向于现象上的联系，而非数学知识本质上的联系，因此，它的缺点就是没有充分利用数学知识结构的内在规定性，最终学生学会的知识与方法依然还是某种程度上的“熟知”，而不是“真知”。

那么，教师针对这个课例，如何通过自己的教学设计活动过程，在课堂上启发学生将发生认知的“熟知”途径，转化为发生认知的“真知”途径呢？这就需要教师下大功夫，努力进行教学设计创新，深入思考，揣摩学生发生数学认知的心理环节及其过渡性中介的萌生与关联。基于这种思想，研究者与受训学员一起对这个问题进行现场探究，得到改进后的教学设计的关键环节实录如下：

师：如何计算①式？

生：……

师：我们学习了个位数乘以个位数的“九九表”，现在面临的是两位数乘以两位数，前面的这些学习经验可以帮助我们处理这个问题吗？

生1：“九九表”乘法是对个位数而言的，如果将①式的计算转化为个位数乘以个位数的话，那么问题就解决了，……

师：一种非常好的想法！如何转化？

生2：①式可以转化为13×15=(3+10)(5+10)。由于0 乘以任何数为0，因此，10 就相当于1 了，将十位数化为个位数，运用乘法对加法的分配律，就可以计算了，计算的步骤是(3+10)(5+10)=15+30+50+100=195②。

师：很好！原来，两位数乘以两位数可以由乘法对加法的分配律将其转化为个位数乘以个位数的方法达到目的，如此完美地解决了问题。生2 的解决方法可否浓缩一些？

生3：被乘数不变，将乘数分开，即13×15=13(5+10)=13×5+13×10=65+130=195③（在真实的课堂上，这一问，学生提出许多想法，之所以选择生3的想法，是因为③式有利于学生思维的心理进展，即表征为竖式性的数学计算方法）。

师：当初我们学习加法时，可以采用竖式进行形式化的计算，两位数乘以两位数也可以采用竖式的形式化计算吗？

生4：就是将③式的计算形式转化为竖式的计算形式，这是容易办到的。

到此，生4 与其他学生一起进行了相应的试验与交流，经过许多学生的几次修正，最终获得的图1的竖式所表征的计算形式，得到了多位数乘以多位数的一般竖式算法。

图1竖式计算的出现并不是无缘无故、异想天开、突然发生的，而是学生将具有新内涵的数学化信息逐步地转化为利用他们已经学了的知识与经验，将两位数乘以两位数化归为个位数乘以个位数的②式，为了简化计算步骤，将②式转化为③式，再联想到加法的竖式运算方式，从③式过渡到图1的竖式乘法，就近乎水到渠成了。学生正是通过这一系列的操作信息的活动，理解了两位数乘以两位数的竖式乘法的来源，形成的是“真知”，同时，萌生了解题方法的联结，为创造性地自己探究与解决问题打下了良好的基础；相比较而言，教师甲与教师乙的教学设计，某种程度上说，都依然只是将竖式算法犹如常识一般地传递于学生，学生掌握这种竖式的运算方法，事实上只是一种记忆式的“熟知”。

这是一种追求理解数学知识本质的结果，在知识本质的指导下，揣摩学生发生认知的心理环节，为这种设计活动过程的出炉，奠定了基础。试想，从我们研讨后的教学设计出发，这样小的年龄阶段，就在教师启发下，如此探究数学（计算）的本质，学生假以时日，积累更丰富的学习经验，到中学思维力提升后，他们基本上应该不需要老师，而依靠自己的独立学习就可以掌握数学知识了。

课例2 异分母分数加减法则

教科书处理“异分母分数加减”是在学生学习了“同分母分数加减”的基础上展开的，因此，学生具备了强烈的背景，他们面临问题的第一个想法，就是将“异分母”化为“同分母”，这种直接的、易于形成的思维路径，掩盖了数学知识与建构“通分法”方法的本质，至此，损伤了这个知识内容的教育价值。下面是教师丙的课堂教学关键片段实录：

师：如何计算①式？

生：……

师：我们发现，异分母分式加减，只要通过通分的手段，将它们的分母化成相同就行了。

研究者对这位教师教学设计的评点：这种教学设计还依然只是将异分母分数加法法则直接奉献于学生，学生形成的是“熟知”而不是“真知”，如此，损伤数学知识的教育价值。例如，在学生进行如此的学习之后，当我们追问：为什么要通分？或者通分的本质到底是什么？学生的回答只能是，分母相同的分数可以相加减，分母不同的分数不能相加减，而这只是现象上的原因，而非本质原因。那么，本质原因是什么？

于是，在培训教师时，与第一个课例一样，我们设计的前提是，先不进行“同分母分数”的加法运算，直接出示“异分母分式”的加法运算习题。研究者在分析知识、分析学情的情况下，决定创造性地使用教学内容，改动教科书的安排，直接将“异分母分数加减”法置于分数加减法运算的第一课，向学生出示最简单的问题：如何计算由于学生没有“同分母分数加减”的经验，学生必须要经由自己的探究活动，寻找出“异分母分数加减”的法则，伴随着这种探究活动过程的展开，学生能够加深“分数加减”的本质理解。下面是研究者与学员一起进行分析与探究，所完成的教学设计活动过程的关键环节实录：

师：2+3 可以计算吗？

生1：可以，2+3=5。

师：这种运算正确吗？2 元+3 角=？

生2：这不能计算，因为加法是有条件的，这个条件就是需要统一单位，当化成以角为单位时是可以加法计算的。

师：很好。那么，其实我们已经统一了单位，规定单位为1，如何计算

师（有针对性地创设问题情境）：如图5，在一个单位圆（它的面积规定为单位1）中，指的是这个单位圆面积的指的是这个单位圆面积的，如此，我们知道，它们两者的单位都是“这个单位圆的面积”，不妨记这个面积为1 个单位面积，因而是统一的。那么，此时，我们如何得到的计算结果呢？

图5

生4：是否可以考虑缩小这个面积单位？

师：如何缩小？缩小需要达到怎样的一个目标“单位”？

师：生5 同学提供了解决问题的有价值的思想观念，如何具体实施这种思想观念？

师：原来“异分母分数加法”可以通过缩小单位将相加的分数变成在这个较小的单位下的整数，再利用整数加法法则解决问题。那么，如何找到这个“缩小了的单位”呢？

生6：其实，这个“缩小了的单位”是比较容易得到的，它是一个分数，其分子为1，分母为加数各自分母的最小公倍数，例如与，两个分母是6、9，它们的最小公倍数是18，它们化成整数的单位是于是，

师：其实，这种寻找“缩小了的单位”的过程，就是为了达到将异分母分数化成同分母分数的过程，同分母分数是可以相加的。因此，我们给“异分母分数化成同分母分数的过程”起一个名字，把它叫作“通分”（余下教学环节略）。

数的加法运行的本质是“相同单位”下的物体的个数是可以合并的，因此，同一单位下的两个异分母分数所表示的内容的份数已经不一样了，其实是变相地破坏了原来的统一的单位，变得不能直接相加了。于是，需要启发学生用缩小单位的手段达到目的，目标是使得两个异分母分数在这个“缩小了的单位”下，都是它的整数倍，从而将分数的加法转化为整数的加法。经由对此思路的总结与抽象，我们获得了异分母分数的加法法则。这个探究发现过程，为今后学习整式加法“合并同类项”“合并同类根式”等知识的学习打下了现实的基础；同时，启发学生理解了分数是可以“公度”的这种具有数学文化价值与史学价值的数学观念（系统），为今后理解无理数的概念打下了比较好的基础。

三、实现有效教学设计时教师的行动倾向

作为教师，这些整数与分数的四则运用，我们在很小的时候就学会了，但大多数教师完全忘记了我们是在什么情况下学会的。后来，我们的智囊里又添进了许多新的知识、新的思想和新的概念，可是它们在我们的心中，没有一个能像我们在启蒙时期所学的那些数的性质那么确实、那么根深蒂固。学习这些东西的年龄正是我们对事物是“怎么样”感到有兴趣的时候，当我们长大到问事物“为什么”是这样的时候，这些法则经过不断的使用，已经变成我们智囊中如此密切的一个部分，以至于我们把它们视为理所当然了。[5]这是我们作为成年人的教师难于理解启蒙时期的孩子数学计算心理活动过程的症结所在。

由于小学数学教师已经不能恢复他在启蒙时期掌握数学知识的那种心路历程，致使一般教师就直接将这些知识作为“熟知”“下载”于学生的智囊，遮蔽了“真知”可能出现的灵光，如此，极大损伤了数学课程内容的教育价值。教师倾向于回忆自己在孩童时如何发生数学认知的情景，但是，如前所述，这种回忆不太容易，由此，教师需要猜想、揣摩、试验、修正等手段，其中，最为重要的方法是追求对数学知识（包括观念、方法等）本质的理解与领悟。

研究者同受训学员一起研究而形成的教学设计活动的这两个课例，之所以有效，主要取决于对知识结构体系本质的把握。课例1 说明，整数的四则运算的本质就是个位数的运算，其他的运算都应该转化为个位数的运算，具体运算方法的形成与出现，就是对这种转化的过程与结果的抽象。课例2 是在课例1 所形成的观念的基础上，领悟加法实施的本质——具有相同单位，当出现不同的单位时，首先化成相同的单位，这就是异分母分数加减法通分手段的本质来源。

学生数学学习要取得真正的进步，意味着在教师的启发与影响下，促使学生利用意识结构中已经掌握了的相关知识、技能、能力与观念等要素，并以这些要素为工具，在将外在数学化信息经纬编织成新知识结构时，教师经由教学设计的途径，诱导学生插进他们的“体悟”“酝酿”等的心理活动过程。因此，教学设计时，教师务必要进行一系列的“铺垫”“渲染”“烘托”等教学手段，细心研讨产生具体知识结构的心理活动环节及其过渡性中介建构的来龙去脉，由此启发学生产生认识，而不应该迅速地将这些知识结论“下载”给学生，从而使学生掌握的不是“熟知”，而是“真知”。对此，我们一线教师要思之再思，慎之又慎！▲