刘文一，李玉杰，朱良明

（1.91550部队，辽宁大连116023；2.海军航空大学，山东烟台264001）

大型固体发动机属于短期工作、一次性使用的不可维修产品，如果完全依靠全比例发动机地面试车和飞行试验来评定它的可靠性，会带来耗费大、周期长、试验系统复杂的问题[1]。同时，在子样数较小的情况下，不可能全面评定发动机的可靠性[2]。而通过建立发动机的可靠性金字塔模型，用L-M法进行发动机可靠性综合，则可得到发动机整机的可靠性数据[3]。

1 金字塔模型

金字塔模型的基本思想是先获取数量可观的固体发动机的基础零、部件可靠性数据，然后对零、部件进行较少量试验，并将零、部件的试验信息按一定方法折合后对零、部件可靠性做出评定。按此方法逐级向上综合，最后可得到发动机整机的可靠性数据[4]。金字塔式可靠性综合评定其目的是充分利用各级试验信息，达到减少整机试验次数的目的，其模型如图1所示：

图1 金字塔模型Fig.1 Pyramid model

目前，国内外均开展了这方面的研究，发展了许多方法，例如经典法、贝叶斯法、信赖法以及蒙特卡洛法等。由于小子样复杂系统可靠性综合方法的数学处理比较困难，成熟应用的研究未见公开报道[5]。此外，作为系统可靠性综合基础的单元可靠性评定所依据的统计方法标准均为经典方法，因而系统可靠性综合宜采用经典方法[6]。

2 等效数据折算

金字塔式可靠性综合评定的核心方法是进行数据折算，即把零、部件的试验数据折算成系统的等效试验数据[7]。发动机系统可能包含并联成败型、应力-强度型和寿命型等，但是大部分零、部件和发动机本身都有成败数据，故应以成败型数据综合为中心，但寿命型可靠性分布属于指数型可靠性分布，因而评定发动机可靠性是必须要将并联成败型和指数型数据折算为等效的成败型数据[8]。

2.1 并联成败型单元等效数据折算

假如发动机系统由k(k≥2)个独立单元组成为并联系统，已知各单元的成败型数据为(ni,Fi)或(ni,si)，si=ni-F,i=1,2,…,k。要求得到系统等效的成败型数据(n,F)[9]。

采用与串联系统相同的一、二阶矩相等的方法，当已知单元的成败型数据时，系统可靠度的点估计为[10]：

点估计方差为：

由此导出的折合公式为：

2.2 指数型单元等效数据折算

固体发动机可靠性评定一般考虑多个指数型单元串联的情况，将等效的成败型数据记为(n,F)，仍按一、二阶矩相等的办法来导出折算公式[11]。

令二项分布的方差等于指数型单元串联系统的方差[12]：

求解得到：

代入系统可靠度点估计R^的公式，则得到折算公式为：

式（5）、（6）中：k为串联系统单元数，k≥2；ri为串联单元i的累积故障数，i=1,2,…,k；Ei为串联单元i的等效任务数[13]。

3 L-M法可靠性综合

固体发动机是一次性使用成败系统，它的可靠性构成属于串联模型，L-M（Levenberg-Marquardt）法是工程上广泛应用的串联系统可靠性分析方法[14]。

使用L-M法对发动机进行可靠性综合，先要得出整机的等效试验数、等效失效数，再加上实际飞行的成功数和失效数，再利用二项分布求出整机的可靠性置信下限[15]。

假设系统由m个不同的成败型单元串联而成，第i个单元进行了ni次试验，在ni次试验中共成功si次，失败fi次，即可靠性试验数据(ni,fi)，i=1,2,…,m。根据L-M法，整机的等效试验次数为[16]：

整机成功次数为：

整机等效失败次数为：

则整机可靠度函数R的最大似然估计为：

在置信度为γ时，则整机的可靠性置信下限可由下式得到：

4 固体发动机可靠性综合

某大型固体发动机是由多个单元串联而成，其工作可靠性模型属于串联模型，如图2所示。其中，燃烧室壳体、推进剂和绝热层属于成败型单元，点火安全机构属于并联成败型单元，喷管属于寿命性单元。

图2 固体发动机可靠性模型Fig.2 Reliability model of SRM

4.1 成败型部件可靠性

假设成败型部件可靠度为R，不可靠度为1-R，而某一次试验结果是随机的，用xi表示，其取值为：

单元经过n次试验，得到样本(x1,x2,…,xn)，失败数为，均为随机变量。出现(x1,x2,…,xn)的概率由二项分布给出：

根据极大似然估计法，须求出L(R)的极大点：

由于lnL(R)是L(R)的单调函数，两者具有相同的极值点，为便于计算，改为求解：

由式（12）得：

令：

解得R的极大似然估计值为：

可以看到其计算简单且直观，但它并不是总是无偏的。特别是当试验结果无失效时，此方法不适用。此时，只能扩大样本容量以避免发生无效的情况[17]。

点估计大约有一半可能大于真值，也有一半可能小于真值，因而不能回答估计的精确性和把握性。为此，可根据试验结果寻求一个随机区间[R1,R2]，使下式成立：

区间[R1,R2]为置信区间，反映了估计的精确性；而γ称为置信度，反映了估计的把握性，这种方法就是区间估计。

4.2 寿命型部件可靠性

发动机喷管属于寿命型部件，其可靠性分布服从威布尔分布。其概率密度为：

k为形状参数且k＞0，λ＞0为比例参数且λ＞0，t为工作时间。无故障数据时，当形状参数m分别为已知和未知时，有2种评估方法。实际应用时，采用哪一种方法更加符合实际，这是个重要问题[18]。

喷管的工作可靠性属于威布尔分布，一般取k=1，其概率函数属于指数分布，可将指数型单元等效数据进行折算来计算其可靠性。

假设发动机有k个独立的指数型单元，且可靠性模型为串联模型，要求发动机工作时间为t，设第j个单元可靠度为：

则整机可靠度为：

指数型单元可靠性试验方法如下[19]：

1）当指数型单元进行定数截尾试验时，第j个单元各自有nj个样品试验，可靠性试验进行到rj个样品失效时终止，记tj,1≤tj,2≤…≤tj,rj为试验时第rj个失效时间，则第j个单元的nj个样品总试验时间为：

2）当指数型单元进行定总试验时间截尾试验时，第j个单元的总试验时间为τi，在该时间内的失效数为rj，j=1,2,…,k。

根据可靠性数据分析方法，将指数型模型的单元产品试验数据通过下列方法折合成二项成败数据(N,F)[20]。

1）当rj（定数截尾试验为设定失效数，总试验时间截尾试验为试验时间内的失效数）不全为0时：

2）当rj=0时：

式（19）中，ηj为第j个单元的等效任务数，ηj=τi/t0。

5 某固体发动机可靠性评定

5.1 求可靠度置信下限

某型固体发动机试验信息见表1。表1中，共9个喷管进行了定数截尾试验，试验至第2个喷管失效为止，定数截尾试验为设定失效数Tc1=31 s，Tc2=40 s。

求当置信度γ=0.70时，该固体发动机的可靠度置信下限。

喷管的可靠性分布属于寿命型，因而利用本文2.1节中的折算方法和式（18）将喷管的试验数据分别转换为成败型数据（39.3，2）。

当γ=0.70时，应用式（7）和（8）得到该发动机的等效试验次数为20，等效成功次数为：

经过L-M法计算后的该发动机试验次数N=20+5=25，成功数S=12.65+5=17.65，失败数f=N-s=25-12.65=12.35，当γ=0.70，由式（11）计算得到（28，25.01）置信下限RL=0.993 1。

表1 某固体发动机试验信息Tab.1 Test information of SRM

5.2 可靠性评定

该发动机进行了单元可靠性试验和整机可靠性试验，整机可靠性评定中最重要的是发射可靠性和飞行可靠性评定。因此，评定发动机的发射可靠性和飞行可靠性即视为评定发动机可靠性。

1）发射可靠性是指从接到发射命令起，在规定的发射条件和发射准备时间内，按规定的程序及要求发动机具备点火条件的概率。

从图2看出，飞行器发射时在规定的发射准备时间内，要求除安全机构外，发动机其他单元均不工作。

2台点火安全机构属于并联成败型单元，其单元试验可靠性、整机地面试验可靠性和飞行试验可靠性均满足技术指标要求。因此，该发动机的发射可靠性满足技术指标要求。

2）飞行可靠性是发动机在规定的飞行条件下按预定的程序使飞行器正常飞行，使飞行器按规定要求完成其飞行任务的概率。

从图2看出，在发动机工作时，要求燃烧室壳体、推进剂和绝热层、点火安全机构均成功完成任务，对于喷管则要求其正常工作至规定时间。

发动机整机属于一次性工作的成败性系统，因而按成败型可靠性评定方法评定其飞行可靠性。将可靠性分布服从威布尔分布的喷管折算成成败型数据后，在给定的置信度条件下，利用L-M法计算出该发动机可靠性试验的成功数、失败数和置信度下限值，得出其可靠性满足技术指标要求的结果。

6 结论

为了解决小子样母本情况下大型固体发动机可靠性评估困难的问题，本文研究利用组成发动机单元可靠性试验信息，构建固体发动机金字塔模型，通过等效数据折算，将可靠性分布不同的单元可靠性试验数据折算成与发动机整机一致的成败型数据。最后，采用L-M法，将单元可靠性试验数据、整机地面试车数据和飞行试验数据进行综合，有效评估了固体发动机整机可靠性，得出以下结论：

1）可利用固体发动机组件的试验信息建立金字塔模型构建其整机的可靠性模型；

2）对于不同可靠性数据分布的发动机组件，可利用本文给出的方法，将其折算成与发动机本身一致的成败型数据，使得计算发动机整机的可靠性非常方便；

3）利用L-M法，可将串联模型的固体发动机进行可靠性综合，得到其可靠性数据，为评定小子样串联型复杂系统的可靠性提供了便捷的方法。