基于知识交汇的《算法初步》考查模式研究
2019-04-18方明生朱贤良
方明生 朱贤良
摘要：在高中数学课程体系中，“算法”内容是知识网络的交汇点.《算法初步》知识常与函数、导数、定积分、数列、三角函数、不等式、解析几何、排列数、组合数、统计、概率及实际生活等相关知识融于一题进行考查，颇具新意.
关键词：知识交汇;算法;程序框图
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，数学教学与测试要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学大厦的框架结构.《考试大纲》强调“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度纵观数十年来高考命题改革的特点，注重各分支、学科间的知识联系，重视知识的迁移、知识的应用，强调知识的整体性和综合性，已成为一种共识与不可逆转的趋势与潮流.
每一个数学问题的求解都对应着一个算法，运用定义、定理、公式去解决问题的过程就是一个算法的实施过程.因此，在“算法”这一知识交汇点处命题成为考查《算法初步》知识与其它相关内容的一大热点.这要求考生对“算法”等相关课程内容能够融会贯通，合理、准确地运用分析问题的方法.基于知识交汇这—根本出发点，本文拟对《算法初步》知识的考查模式作一梳理.
1算法与函数的交汇
函数是数学大厦的重要基石，是中学数学中具有统帅作用的重要内容.函数的性质与函数思想方法是历年高考考查的热门之一，算法与函数的交汇更是别开生面.
例1（2013年高考全国I卷.理5文7）执行如
图1所示的程序框图，如果输人的t[-1，3]，则输出的s属于（）.
A.[-3，4]
B.[-5，2]
C.[-4，3]
D.[-2，5]
解析根据程序框图，算法的功能是输出分段函数s={3t，t<1///4t-t，t>1的函数值s，考虑到输入的tC[-1，3]，分两段计算s的范围：当[-1，1）时，s=3tC[-3，3）;当tC[1，3]时，s=4t-tC[3，4]所以，输出的s的范围是[-3，4].
评注本题巧妙地将分段函数嫁接到算法中的条件结构上，融分段函数、二次函数、函数值域、条件结构、分类讨论思想、转化与化归思想于一题.
例2（2013年高考重庆卷.理8）执行如图2所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）。
A.k<6
B.k<7
C.k<8
D.k<9
解析执行程序，依次产生s与k的新值：
s=1xlog23=log23，k=3，条件满足;
s=log23X1〇由4=log24，A;=4，条件满足;
《=log24xl〇g45=log25，A;=5，条件满足;
s=log25xlog56=log26，&=6，条件满足;
s=log26xlog67=log27，A;=7，条件满足;
s=log27xl0g78=log28=3，=8，条件不满足，退出循环.所以，判断框内应填入的条件是k<7.
评注本题涉及循环结构与对数的运算，着重考查考生对循环结构与对数换底公式的理解与掌握.需要注意的是，循环条件决定着循环体被执行的次数，在计算时要特别留心条件满足与否，避免提前或是滞后终止循环.
2算法与导数、定积分的交汇
导数与定积分是高等数学中的重要概念，髙考对其考查侧重于导数与定积分的运算及简单应用.将导数、定积分知识与算法结合在一起，倒也是颇具新意.
例3在如图3所示的程序框图中，输入f0（x）=COSx，则输出的是____.
解析根据程序框图运行程序，其实质是不断求导的过程d=l，/iO）=-siru;;i=：2，/2〇）=-cos^;i=3，/3（^）=siiu;;i=4，f4（x）=cosx;……由此发现，函数fi（x）呈周期性变化，且输出的是fmAx）=fi（x）=-sinx.
评注循环体多次被执行的过程，就是求〃阶导数的过程.本题将〃阶导数与算法中的循环结构联系在一起，涉及求导公式、求导法则、周期性等相关知识.
例4（2015年高考山东卷.理13）执行如图4所示的程序框图，输出的T值为____.
解析运行程序，两次执行循环体：T=1+丨^，/1，n=2，条件满足;T=1+丨+j^2也，n=3，条件不满足，终止循环.所以，输出的T的值为T=1+丨+f01x2dx=1+1/2x2|10+1/3x3|10=11/6
评注循环结构与定积分都是高考中的常见考点，本题将定积分的运算寓于算法问题中，有效增加了试题的考点覆盖率.
3算法與数列的交汇
算法与数列的交汇多种多样，一般以循环结构为主线，可以考查数列求项、等差、等比数列的前n和、裂项相消求和等诸多知识.
例5（2015年高考湖南卷.理3文5）执行如图5所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）
A.6/7B.3/7C.8/9D.4/9
解析运行程序，依次产生S与i的新值：S=1/1x3，i=2，条件不满足;S=1/1x3+1/3x5，i=3，条件不满足;S=1/1x3+1/3x5+1/5x7，i=4，条件满足，终止循环.
所以，输出的s=1/1x3+1/3x5+1/5x7=1/2（1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7）=3/7
评注本题借助算法中的循环结构来考查数列裂项相消求和的知识，两个章节的知识交汇于一题，浑然一体.考虑到循环体执行次数较少，依照程序框图，按部就班，一步一步地运行程序，得到相应结果.
例6（2007年高考山东卷.理10文10）阅读如图6所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量s和T的值依次是（）.
A.2500，2500
B.2550，2550
C.2500，2550
D.2550，2500
解析S、T和〃的初始值分别为0，0，100，循环体每执行一次，依次产生S，n，T，n的最新取值.观察规律，结果列表如下：
结合等差数列的求和公式，输出的S=100+98+…+2=50（100+2）/2=2550，T=99+97+…+1=50（99+1）/2=2500
评注本题中循环次数较多，根据程序框图列出前几项，观察规律，由归纳推理即得S和T的表达式.将等差数列求和公式嵌入算法问题中，则为本题增添了不少趣味.
4算法与三角函数的交汇
三角函数是一类常见的函数模型，将三角函数知识融入算法问题，在考查程序框图的同时，可以有效考查考生对三角恒等变换与三角函数图象与性质的掌握程序.
例7执行如图7所示的程序框图，若输入的x∈[0，2]，则输出的y的取值范围是（）.
A.[0，1]
B.[-1，1]
C.[-v2/2，1]
D.[-1，V2/2]
解析根据程序框图，该算法的功能是输出分段函数y=sinx，sinx>cosx的函数值.由正、余弦函数的图象，当x∈[0，2]时，该分段函数的图象如图8所示（实线部分）.显然，输出的y的取值范围是[-V2/2，1].
评注本题求解的关键有二：一是从条件结构中挖掘出分段函数;二是借助正、余弦函数的图象、数形结合求解分段函数的值域.
例8程序框图如图9所示，若输入《=^|-（cosl8。-sinl8。），&=2cos228。-1，c=2sinl60cosl60，则输出的是____的值.（填a，b，c中的一个）
解析根据程序框图，先比较a与b大小，将大的数记为a;再比较a与c的大小，输出大的数.由此可知，算法的功能是输出a，b，c的最大数.
由三角恒等变换公式，a（cosl^-sinl8°）=sin（45°-18°）=siii270，6=2cos228°-1=cos56°=sin34°，c=2sinl6°cosl6°=sin32°.
结合正弦函数的单调性，sin270 评注求解本题时，首先应读懂条件结构，明确算法的功能是输出a，b，c中的最大数;具体比较大小时，又用到三角恒等变换及正弦函数的单调性等知识.至此，问题迎刃而解. 5算法与不等式的交汇 不等式知识包括不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、线性规划、基本不等式等内容，将不等式知识与算法流程图结合在一起，很是新颖别致. 例9（2014年高考山东卷.理11文11）执行程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为____. 解析算法程序中，循环条件为x/-4+3<0，即1 评注本题主要涉及算法流程图与解一元二次不等式的有关知识，考查考生读图、识图的能力.2012年江苏高考试卷第4题的命制思路与本题相似，读者朋友可以查阅. 例10（2014年高考四川卷.理5文6）执行如图11的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）. A.0 B.1 C.2 D.3 解析程序框图中包含了条件结构：当条件满足时，输出的S=2x+y;当条件不满足时，输出的S=1.其中，当条件满足即输入的x、y满足约束条件，.x>0y>0x+y<1时，目标函数S=2x+y表示直线y=-2x+y的截距.由线性规划知识，当x=1，y=0时，S取得最大值2.所以，输出的S的最大值为2. 评注本题将线性规划知识镶嵌到条件结构中，重视考查考生读懂程序框图、求解线性规划问题等基础知识的能力，要求考生对不同章节知识有一定的整合能力. 6算法与排列数、组合数的交汇 排列与组合是组合学中最基本的概念，排列数公式Amn=n！/（n-m）！与组合数公式Cmn=n！/（n-m）！·m！也可以与《算法初步》知识结合起来进行考查. 例11（2010年高考辽宁卷.理4）如果执行如图12所示的程序框图，输入正整数n，m，满足為n>m，那么输出的p等于（）. A.Cm-1n B.Am-1n C.Cmn D.Amn 解析根据程序框图的描述，运行程序，依次产生k与p的值：k=1，p=（n—m+1）＼k=2={n—m+1）（n—=（n-m+l）（n-m+2）（n-m+3）;2），所以k=m时退出循环，此时p2）（n—m+3）***（ti—＼）n=A^. 评注本题实现了排列数公式与算法循环结构的完美对接，求解时需要注意&与P值的生成顺序，准确把握循环条件. 7算法与解析几何的交汇 椭圆、双曲线、拋物线与圆的方程都是关于x，y的二次方程，故可以将对曲线方程类型的识别设计在算法问题之中. 例12程序框圖如图13所示，已知曲线E的方程为ax2+by2=ab（a，b∈R），若该程序输出的结果为s，则（）. A.当s=1时，E是椭圆 B.当s=-1时，E是双曲线 C.当s=0时，E是拋物线 D.当s=0时，E是一个点 解析阅读程序框图，输出的结果s可能为0，1，-1. （1）当s=0时，c=ab=0，分三种情况： 若a=0且b=0.则曲线E：ax2+by2=ab表示整个坐标平面; 若a=0且b=0，则曲线E：ax2+by2=ab表示直线y=0; 若a一0且6=0，则曲线E：ax2+by2=ab表示直线x=0. （2）当s=1时，c=ab=1，方程似ax2+by2=ab等价于x2/1/a+y2/a=1，分三种情况讨论： 若0 若a=1，则曲线E表示单位圆; 若a<0，则曲线E不表示任何图形. （3）当s=-1时，c=ab=-1，方程ax2+by2=ab等价于y2/a-x2/1/a=1，故曲线E表示双曲线（焦点所在位 置与a的正负有关）. 评注正确求解本题，需要考生能准确读图，准确把握条件结构中的条件.另外，考生还需要对曲線方程的类型具有一定的鉴别能力，特别是椭圆与双曲线、椭圆与圆的方程容易混淆. 8算法与统计的交汇 统计知识与算法的交汇在高考试题中出现较早，统计图表、样本的数字特征如平均数、方差等，常常成为交汇问题中的考查目标. 例13（2010年高考陕西卷.理6）如图14所示是求样本x1，x2，…，x10心平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（）. A.S=S+Xn B.S=S+Xn/n C.S=S+n D.S=S+1/n 解析根据题意，算法需要实现计算平均数[的功能，故需要先求样本中数据的和S=x1+x2+…+x10，这可以通过循环结构予以实现.结合程序框图，空白处应填入实现求和的语句S=S+xn，运行程序即可多次执行循环体，求得样本中数据之和S=x1+x2+…+x10，进而求得平均数x. 评注借助算法中的循环结构实现求和的功能是比较经典的模型，如必修3教材中就有“设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图”这样的问题.在选择循环结构时，既可以选择当型循环结构，也可以选择直到型循环结构，而本题选用的是后者. 例14（2007年高考广东卷.理6）图16是某县参加2007年髙考的学生身髙条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）.图15是统计图16中身髙在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）. A.i<6 B.i<7 C.i<8 D.i<9 解析统计身髙在160～180cm的学生人数，即求和S=A4+A5+A6+A7.运行程序，分析循环变量的取值以控制循环次数，使输出的S恰为A4+A5+A6+A7： S=0，i=4，条件必须满足，执行循环体; S=A4，i=5，条件必须满足，继续执行循环体; S=A4+A5，i=6，条件必须满足，继续执行循环体; S=A4+A5+A6，i=7，条件必须满足，继续执行循环体; S=A4+A5+A6+A7，i=8，此时肯定不满足条件，退出循环. 所以，条件框中应填人“i<8”或者“i<7”. 评注本题以当形循环结构为工具实现相应的统计功能，将统计中的条形图、算法中的当型循环结构自然地交汇在一起，如2008年江苏高考试题也曾将频率分布表与算法知识进行交汇考查.求解时，先运行程序，分析控制循环的变量应满足的条件，从而得到程序框图中空缺的部分应填写的内容. 9算法与概率的交汇 概率知识是中学数学的重要组成部分，也是髙考考查的重要知识模块.将古典概型、几何概型或是随机模拟等相关内容融入程序框图之中进行考查显得十分自然，可谓是珠联璧合、相得益彰. 例15（2013年高考四川.理18（1）文18（1））某算法的程序框图如图17所示，其中输入的变量X在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生.分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）. 解析变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种等可能的结果.结合程序框图，运行程序时出现三种可能的结果： 当x是奇数时，x从1，2，3，…，23这12个数中产生，输出的y的值为1，即P1=12/24=1/2 当x是偶数且不能被3整除时，x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生，输出的y的值为2，即P2=8/24=1/3， 当x是偶数且能被3整除时，x从6，12，18，24这4个数中产生，输出的y的值为3，即P3=4/24=1/6. 评注本题在原始的古典概型问题中融入了程序框图，使得问题的综合性增强.特别是摒弃了以往算法问题只能考选择、填空题这一固有思路，在解答题这一题型中设置算法与概率的交汇就显得比较新颖与别致了. 例16（2012年高考陕西卷·理10）如图18所示是用模拟方法估计圆周率it值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）. A.P=N/1000 B.P=4N/1000 C.P=M/1000 D.P=4M/1000 解析结合程序框图，随机数x，y∈[0，1]，M表示1000次随机模拟试验中随机数x，y满足条件x2i+y2i<1的次数，N表示1000次随机模拟试验中随机数xi，yi，不满足条件x2i+y2i<1的次数.问题等价于向边长为1的正方形内随机投掷1000个点，其中落入扇形x2+y2=1（0 评注本题求解的关键在于将随机模拟试验转化为几何模型问题，进而借助事件发生的概率与试验中的频率近似相等得到圆周率的估计值.解题过程中的易错点在于忽略随机数x，y∈[0，1]这一前提，易将单位圆的面积误作为图中的扇形x2+y2=1（0 10算法与实际生活的交汇 数学教学要重视数学的实际应用，以现实世界為背景，将实际生活中的问题与算法知识结合在一起进行考查，彰显了数学的时代性与应用性. 例17（2010年高考广东卷·理13）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理方法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，…，xn（单位：吨）.根据如图20所示的程序框图，若n=2，且x1，x2分别为1，2，则输出的结果S为____. 解析因为n=2，x1=1，x2=2，运行程序，依次产生S1，S2，S，i的值： Si=xt=1，52=%=1，S=-yxl2）=0，i=2，条件满足，继续执行循环体; =1+x2=3，S2=l+xl=5，S=y（5-yx32），i=3，条件不满足，退出循环. 所以，输出的结果为S=1/4 评注本题将节约用水这一时代背景与算法问题交融在一起，凸显了数学的实用性与高考命题“以能力立意”的原则.求解本题时，涉及的变量较多，要注意区分，对四个变量S1，S2，S，i的生成顺序要准确把握. 例18（2009年高考辽宁卷·理10文10）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…，an，其中收入记为正数，支出记为负数.该店用如图21所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）. A.A>0，V=S-T B.A<0，V=S-T C.A>0，V=S+T D.A<0，V=S+T 解析阅读程序框图，首先明确变量A，S，T，V的实际意义，再明确统计总收入和总支出的算法. A代表依次输入的N个收入与支出数据1，a2，…，an，故当A>0时，应将A加到总收入S上去;反之，当A<0时，将A加到T上去，故T表示总支出.显然，判断框内应填入“A>0”. 当终止循环后，需要计算月净盈利V，而总支出T已用负数表示，故处理框内应填入“V=S+T”. 所以，正确选项为c. 评注求解算法与实际生活的交汇问题，需要根据程序框图来理解变量的实际意义，以及变量在算法中的变化规律.本题既联系实际生活，又需要考生根据算法功能来完成判断框与处理框的填空，对算法思想的考查较为深入. 上述十几道例题将《算法初步》内容与函数、数列、三角、不等式、概率统计等章节知识交叉渗透，设计精巧，取材考究，立意独到，融合自然，充分体现了“注重学科的内在联系和知识的综合”“以能力立意”的命题原则.因此，在数学教与学的过程中，要落实新课程标准的要求，顺应髙考的这一命题趋势，以问题为中心，注重数学知识的纵横交叉和思想方法的融会贯通，培养学生解决综合问题的能力.
