吕荣春 郭爱平

摘要：本文从学生发展的需要思考超纲的意义;从一题多解中思考超纲和不超纲;理解超纲知识的价值，进而思考面对不同学生度的把握;结合具体题目理解超纲知识和必备知识的相互替代性及解题层面的优越性;理解超纲知识和数学思想能力的互补

关键词：超纲;一题多解;互补.

1超纲试题命制的意义

学生的发展不拘泥于考试大纲，全国卷在12、16题的命题常常是鼓励学生超纲，但也要求学生把核心思想方法掌握好.

例1（2017年全国亚第16题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角;

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角;

③直线AB与a所成角的最小值为45°;

④直线AB与a所成角的最大值为60°;

其中正确的是_____，（填所有正确结论编号）

解法1（直观感知）为了更好的观察，把AB作为体对角线，如图1，取a=b=1，AC=2，容易求得此时直线AB与a成60°角，AB与b也成60°角;排除①，选②;

当AB移动到左侧面的时候，此时a⊥AB，为最大角，如图2，当AB移动到AF时，注意到CF=CB=2=AC，所成角为45°，为最小角.

解法2（回归正方体，运动变化的观点）因为出现了很多的垂直，所以考虑回到正方体中考虑，设边长为1，B点运动的轨迹为以C为圆心，1为半径的圆.

（直观感知）在圆弧上任取一点M，当M位于B点时，直线AB与a所成角的最小值为45°;当M位于E点时，夹角为90°，直观感知排除④，选③;

（向量法）在正方体中，建系是一个很好的方案，以C为原点建立直角坐标系，设θ=∠MCB，则M（cos0，sin0，0），AM=（cos0，sin0，-1），a=（1，0，0），b=（0，1，0），由直线AM与a所成角的余弦值cos60°=cosθ/√2

，得cos0=√2/2，θ=45°，CM平分角∠BCE，所以此时AM与两直线所成的角都为60°

解法3（最小角定理或三余弦公式）过M作b的垂线，则AM与MN所成的角为AM与a所成的角.由三余弦公式得cos∠AMN=cos∠AMC`cos∠CMN.2xcos∠CMN，若所成角为60°，则有了cosCCMN，则∠CMN=45°，CM平分角∠BCE，所以此时AM与两直线所成的角都为60°.

点评立体几何的学习在“直观感知——操作确认——推理论证——度量计算”这四个层面展开.因为立体几何呈现给我们的是几何结构，视角思维可以成为主导思维，即特别突出直观感知.借助长方体这个载体，把所研究的点线面的位置关系联系到一起，降低了立体几何学习的门槛，这是新课改强调的理念有了长方体，其长度的关系为计算带来了便利，求角困难时，还有向量法作为保障，运动变化的观点是基本观点，作为一般的学生深刻理解这些基本思想方法，也能高效地解决此问题。

三余弦公式揭示了线面角、射影角和线线角之间的关系，在线线角计算有困难的时候，可以借助线面角和射影角来转化，作为特优生，不受制于考纲，广泛地学习和专研.

2“一题多解”中的超纲与不超纲

学生的知识结构、能力结构、思想方法体系不一样，对于同一个题目有不同的视角，这就对应着不同的思维方式，就会有不同的方法.有些优秀的学生掌握的知识.思想方法超过考试大纲，其解法也自然会超纲.所以很难精确的界定一个题的考查超纲和不超纲.早在上个世纪90年代，就提出了高考“依据考纲、但不拘泥于考纲”，高考的12题、16题都是以能力和思想立意，所以知识的定位应该从属于思想能力定位.同时也让学生在不同的阶段、不同的水平看经典的高考题目，有不同的视角和不同的思维方式，更好地解读高考题目，领会命题思路.

例2（2013年新课标I文16理15）设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cos0=_____.

解法1（辅助角公式+同角三角函数基本关系）f（x）=√5sim（x-φ），tanp=2，φ∈（0，/2）.由题知f（0）=√5，则θ-φ=/2+2kπ，h∈Z，即θ=“+2kπ+φ，k∈Z.所以cosO=cos（2+2hπ+φ）=-sinp.因为tanφ=2，所以sinp=2√5则cos0=2√5.

解法2（同角三角函数基本关系+方程思想）因为f（x）=√5sin（x-φ）最大值为/5，则f（θ）=sinθ-2cosθ=√5.结合sin2θ+co3θ=1，可得cosθ=-2/5/5.

解法3（导数研究单调性）由题可知f（x）=cosx+2sinx.因为f（x）的最值也是函数的极值，所以f（0）=cosO+2sinθ=0.结合sim20+cos2θ=1得cosθ=士2√5/5.因为f（0）=sim0-2cos0=√5，所以cosθ=2√5.

解法4（反三角函数）f（x）=/5sin（x-arctan2），由题知f（0）=√5，则θ-arctan2=/2+2kπ，k∈Z.即θ=/2+2kπ+arctan2，k∈Z.所以cos0=cos（/2+2kπ+arctan2）=-sin（arctan2）=-2√5/5.

例3（2007年全国I）设函数f（x）=e*-e～*.

（I）略;

（II）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围.

解法1（分離参数+洛必达法则）当x=0时，f（x）≥ax成立;当x>0时，a≤ex-e./x.令g（x）=-，g（x）=（e*+e-*）/x-（e*-e～*），g（x）=（e*+e-*）/x-（e*-e～*）/x2.

令h（x）=（e*+e～*）x-（e"-e～*），h'（x）=（e*-e～*）x>0，x∈（0，+∞）.

所以h（x）在[0，+∞）单调递增.所以h（x）>h（0）=0，x∈（0，+∞）.

则g'（x）>0，g（x）在[0，+∞）单调递增.

因为limg（x→+∞）=lim-→+∞）=limex2=2（洛必达法则），所以a≤2.

解法2（邻域分析+讨论）令g（x）=f（x）-ax，则g'（x）=f'（x）-a=e*+e～*-a.

（注意到g（0）=0，要g（x）≥0恒成立，则要求g（x）在x=0的附近（即邻域）单调递增.由函数的連续性知g'（0）≥0，得a≤2.再说明a>2不成立，即说明g（x）在x=0的附近（即邻域）单调递减，用零点存在性定理和导函数的单调性说明导函数有唯一实根xo，从而确定了[0，xo]为函数的单调递减区间，与g（x）≥0矛盾）.

（i）若a≤2，当x>0时，g'（x）=e*+e～*-a>2-a≥0，故g（x）在[0，+∞）.上为增函数，

所以当x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax.

（ii）若a>2，方程g'（x）=0的正根为x|=In“/a-4此时，若x∈（0，x），则g'（x）<0.故g（x）在[0，x]上为减函数.

所以当x∈（0，x）时，g（x）

综上，满足条件的a的取值范围是（-∞，2].

解法3（背景分析+微分中值定理）分离参数，得到a≤df（x）_f（x）-f（0）x-0

由微分中值定理知：存在ξ∈（0，x），使得f（ξ）=f（x）-f（0）/x-0由（1）知f'（ξ）≥2，所以答案为a≤2.

解法4（级数分析）由e*=1+x+2+...2+3！知，e～*=1-x+2！～3！

则*一*=2（*+号+-）

当x-+0时，x3/3！+x5/5！+…是x的高阶无穷小，确定a≤2..

在教学的时候，要准确把握学生的知识、能力结构，在合适的时间选择恰当的方法，给学生呈现多个角度都可以切入的题目.一题多解有助于学生思维的发散，但最重要的不是解法，而是对解法的点评和认知，方法的选择应该从属于“思想能力”的定位，鼓励热爱数学的学生多专研、多思考，不受考纲的限制.

一题多解也有助于学生发现某种方法使用的恰当与否，比如：

例4已知f（x）={|log3x|，0

解析作出函数图象如图3，y=h，0

研究（x3-3）（x-3）/xx2：范围，自然要考虑x（，x2，x3，x4之间的关系，注意到|log3x|=|1og3x2|，有log3x1=.-log3x2，所以log3xI+logsx2=log3（x1x2）=0，即x1x2=1.注意到函数的对称性，有x3+x4=18，求（x3-3）（x4-3）/x1x2=（x3-3）（x4-3）最值的方法很多，

但很容易忽略范围，可以通过不同方法进行检验.

解法1（均值不等式）和为定值，即x3+x4=18，求积（x3-3）（x4-3）的最值.考虑均值不等式，（x3-3）（xo-3）<[-（x3-3）+（x4-3）/2]=36，所以范围为（0，36）.

解法2（运动变化+极限分析）当k=1时，此时x3=3，x4=15，（x3-3）（x4-3）=0;当k=0时，此时x3=6，x4=12，（x3-3）（x4-3）=27.即范围为（0，27）.

解法3（函数观点）y=（x3-3）（x4-3）=（x3-3）（15-x3），构建函数，就要找定义域，注意到xz∈（3，6），可求得范围（0，27）.

那到底第一种方法错在什么地方呢？没有考虑到（x3-3），（x4-3）的范围限制，因为x3-x4>6，所以取不到最值，或比最值小的很多值都取不到.

3超纲知识的理解和把握命制试题“难"的度

课标削弱了反函数，只在73页借助指数函数和对数函数给出了反函数的概念，在76页探究发现研究了指对数函数的图象关于y=x对称.考试说明明确指出：“了解指数函数y=a°与对数函数y=log。x互为反函数（a>0且a≠1）”，没有提及图象的对称性.“了解”是高考要求中最低层次的要求，要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.下面看看新课标的高考题：

例5（2012年新课标理科第12题）设点P在曲线y=1/2e*.上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）.

A.1-ln2

B.√2（1-ln2）

C.1+ln2

D.√2（1+ln2）

这个题需要会解反函数，才能看出y=-e*和y=ln（2x）互为反函数，还要求会对“互为反函数的图象关于y=x灵活运用”这一结论的应用.

反函数作为一个极其重要的概念，新教材突出函数概念淡化了映射.因为没有一一映射作为铺垫，无法深入地讲解反函数这个概念考纲的制定要参考课程标准，但全国卷两次都对反函数提出了很高的要求，超越了考试大纲，明确提出特优生应该掌握但与反函数的相关知识很多，“度”的把握是关键，对于优秀的学生，紧扣考纲要求，结合高考题目，理解反函数的概念、在实际问题情景中能够认知反函数、会求反函数原函数和反函数图象关于y=x对称，这些都是应该掌握的，当然作为数学爱好者来说，还可以掌握反三角函数等，不受任何限制，理解知识的本质，广泛地学习和思考.

4注意超纲知识和必备知识的相互替代性及解题层面的优越性

新课标删除了夹角公式，原因是可以利用向量来处理夾角.但就解题而言，有时候却有一点差异，对于特优生来说，这些都应该掌握，还应该掌握夹角公式和向量之间的联系.

例6（2017年全国I文）设A、B是椭圆C：x2/3+y2/m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）.

A.（0，1]∪[9，+∞）

B.（0，v3]∪[9，+∞）

C.（0，1]U[4，+∞）

D.（0，/3]U[4，+∞）解析1（夹角公式+椭圆第三定义）很自然想到夹角公式|tan∠AMB|=|k1-k2/1+k1k2|，由椭圆上的点到长轴端点连线斜率之积为-b2/a2.

若焦点在x轴上，则k1k2的=-m/3

所以√3=-|k1-k2|/1-1/3>2√|k1`（-k2）/1-m/3=√m/3/1=m/3|

即m∈（0，1].

当焦点在y轴上，可得m∈[9，+∞）.用向量的夹角公式cos∠AMB=-AM.BM/-AM.BM却很难处理。

椭圆上到长轴两个顶点张角最大的点位于椭圆短轴的端点.用同样的方式容易说明双曲线上的点到实轴顶点连线张角的变化规律.椭圆上到两个焦点张角最大的点在什么位置？

可以利用余弦定理，夹角公式，但用向量法是最优化的.

解析2（向量法）cosLF[MF2=FM.F，M

设M（x，y），则FM.FM=|FM|.|F2M|（x+c，y）`（x-c，y）=x2222=x“-c+y=x“-=c+b°-"x2.2b2

当x=0时，即M位于短轴端点时，达到最小值，而|FM|.|F2M|≤{|FM|+|F2M=a2，取等条

2

件是|FM|=|F2M|，即M位于短轴端点此时余弦值最小，FMF2最大.

作为理科，此题可以改得更为隐蔽一点在条件不变的情况下，求离心率的范围.

例7（2017年全国I文改编）设A、B是椭圆C：+h=1（a>b>0）长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则离心率e的取值范围是____.

这其实是很古老的题目，由此看到最新的高考题目常常是经典再现.

5超纲知识和数学思想、能力的互补

考纲明确指出：了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求函数的单调区间（其中多项式函数，理科要求一.般不超过三次，文科明确说不超过三次）.因为超过三次，会涉及三次不等式的解法，高考是不做要求的.

例8（2017年全国I第16题）如图4，圆形纸片的圆心为0，A半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中为0.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当OABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为____.

解析根据题意可得△DBC，△ECA，△FAB分别全等，故而可得三棱锥是正三棱锥，斜高即为三个三角形的高，即为DG，高为OD（如图5）.

不妨设OABC的边长为a（0

圖6中，OG=^3-a，DG=R-OG=5-√3-a.3‘3

所以5-33-a，解得0

根据体积公式可得Vv-ARC-a341031310√3.s25一a=25a4-a'.312/3

利用函数性质可得，假设f（a）=25a*-10√33

则f'（a）=50a3（3a一2）.|3

故而当a=2、3时取最大值/15cm3.

点评如果设OG=x，则构造的函数V=√15（5x4-2x5）更简洁，求导容易处理，虽然出现了5次函数，也可以认为这和考纲是吻合的.函数如果超过3次，导函数很简洁，易于处理，这可以视为考纲要求.

参考文献：

[1]吕荣春.全国卷高考数学分析及应对[M].成都：四川大学出版社，2018.

[2]吕荣春.高观点下函数导数压轴题的系统性解读[M].成都：四川电子科技大学出版社，2017.