李 婧，朱晓军，李 华

(1.海军工程大学 管理工程与装备经济系， 武汉 430033；2.海军工程大学 舰船与海洋学院， 武汉 430033；3.海军工程大学 兵器工程学院， 武汉 430033)

对于绝大多数的民用与军用产品而言，产品出厂后通常都是立即投入使用或服役，产品在其整个寿命周期中基本上都处于工作状态。因此，人们关心的往往只是其工作可靠性指标，而忽视了其贮存可靠性指标。但是，值得注意的是，有些产品特别是军用武器装备，如导弹、水雷和鱼雷等，出厂交付后，必须在岸基仓库、舰仓、甚至发射体或运载体上长期贮存，只有在接到任务命令后才能投入使用，进入战斗工作状态[1-3]。对这些武器装备，我们不仅要关注其工作可靠性指标，而且还更加关注其贮存可靠性指标，而贮存寿命就是装备贮存可靠性的一个重要参数。

贮存寿命通常是指在规定的贮存条件下装备从开始贮存到给定可靠度时所对应的时间[4]。本文中，我们将贮存寿命定义为产品从开始贮存到发生故障所经历的时间。能够较为准确地预测出武器装备的贮存寿命，不但有利于减少武器装备的贮存费用、节约资源，而且可以为装备的检修提供正确的决策依据，在提高贮存装备完好性的同时减少后勤保障费用[5]。

国内外对于贮存寿命的研究一方面通过加速寿命试验、加速退化试验[6-7]等贮存可靠性试验结果分析获得；另一方面是基于信息融合技术将性能退化理论和可靠性评估的传统方法相结合，利用多方面数据的综合预测方法[8-9]。这些方法都比较成熟，但在我军装备贮存管理的实际环境下可操作性不强。本文介绍了一种利用实际贮存期间的检测结果数据，基于贝叶斯推断来估计指数型单元贮存寿命分布参数的方法。使用该方法可以对装备中的指数型寿命件的贮存寿命分布规律做出较为准确地估计，达到采用使用阶段数据对初始的可靠性指标进行修正的目的，进而为开展装备贮存效果评估和装备延寿、定寿等重要问题的决策提供理论依据和数据支持。

1 指数型单元贮存寿命问题描述

鱼雷、水雷和导弹等武器都是一种长期处于贮存状态的武器装备，通常被称为长期贮存装备。以鱼雷为例，由于鱼雷贮存时间往往长达数年、单价昂贵，因此在时间和经济成本上都难以通过理论上的贮存试验(需要试验时间足够长、样本数量足够多)来获得准确的鱼雷贮存寿命分布参数。而且，在整个贮存期间，无论是针对整条鱼雷还是组成鱼雷的各个单元，都无法做到实时在线连续检测，而只能在离散的检测时间点Tc得到鱼雷(或鱼雷单元)“完好”或“故障”的结论。我们将武器装备的贮存寿命记为T0，则通过离散检测只能得到贮存寿命T0>Tc(检测结果为“完好”)或T0

2 基于贝叶斯推断的指数型单元贮存寿命分布参数估计模型

很多贮存装备，比如鱼雷，由于价格昂贵、贮存量较少，可获得的贮存检测数据很少，具有典型的小子样特点，且这种检测结果数据属于区间数据。而贝叶斯理论既是一种应用广泛的小子样理论，又便于通过似然函数处理区间数据，它可以充分地利用先验分布和试验样本信息有效融合综合评定，在有限的样本下提高评估精度。

记指数型单元的平均贮存寿命为t0，共有m批次的检测结果，第i次的检测结果用[cTiN1iN0i]表示，cTi表示该批次的样本单元从开始贮存到本次检测的已贮存时间，N1i表示本次检测结果为完好的单元数量，N0i表示本次检测结果为故障的单元数量。则本文对指数型单元贮存寿命分布参数的估计模型由以下主要步骤组成：

步骤1 生成n个候选的失效率参数λj,1≤j≤n。

(1)

式(1)中，n的取值取决于对T0的估计精度要求。

步骤3 遍历各个批次的检测结果，用后验信息修正权重系数Wj。

1) 令i=1。

2) 根据第i次的检测结果yi=[cTiN1iN0i]，对所有候选的失效率参数λj，计算P1j= e-λj · cTi,P0j= 1-P1j,Pj=P1jN1i·P0jN0i，则

(2)

式(2)中，Pj定量描述了检测结果[cTiN1iN0i]发生的似然程度；cTi表示样本单元从开始贮存到第i次检测的已贮存时间；N1i表示第i次检测结果为完好的单元数量；N0i表示第i次检测结果为故障的单元数量。

3) 利用贝叶斯公式计算各候选失效率参数λj的后验概率πλj|yi，修正权重系数Wj，得到：

(3)

4) 令i=i+1，若i≤m则执行2)，否则执行步骤4。其中，m表示共有m次检测结果。

(4)

3 算例设计

为表达方便，假定每次检测的总样本数量都为10。假定某指数型单元的平均贮存寿命为120个月，每6个月进行一次检测，共做了10次抽样检测，检测结果如表1。

表1 贮存检测结果

指数型单元贮存寿命分布参数估计过程如下：

3) 遍历各个批次的检测结果，修正权重系数Wj。计算结果如表2。

表2 算例基于历次检测数据的权重系数贝叶斯调整结果

4 仿真分析

可采用下述仿真模型，来模拟样本总数量为S的贮存过程和第i次的检测结果。

步骤2：在这组随机数Xs中找到所有大于cTi的随机数，记其数量为N1i，令N0i=S-N1i。

图1为本方法关于本文算例参数大量仿真验证结果的箱线图。从仿真结果得出该指数型单元的平均贮存寿命的估计均值为133.2、根方差为26.4，说明获得的平均贮存寿命的仿真结果与算例中设定的平均贮存寿命120个月在估计精度范围内是比较一致。

图1 基于算例参数的平均贮存寿命仿真结果的箱线图

使用上述仿真模型，下面分析本文方法对寿命分布参数估计精度的主要影响因素。

1) 检测的样本数量对估计精度的影响。

逐渐增加样本数量为20，30，50 和100，将分别得到的平均贮存寿命估计值利用Matlab绘制多重箱线图如图2。由图2可以看出，样本数量少量的增加就可以使估计精度大幅度提高，如样本数为20时，平均贮存寿命的估计均值约为128、根方差约为16；样本数为50时，平均贮存寿命的估计均值约为123(与真值120非常接近)、根方差约为11。

图2 不同样本数量下对平均贮存寿命仿真结果的多重箱线图

2) 检测次数对估计精度的影响。

取样本量为10(保持样本较少数量)，保持检测间隔不变(6个月)，逐渐增加检测次数为10，15，20 和25，将分别得到的平均贮存寿命估计值，利用Matlab绘制多重箱线图如图3所示。由图3可以看出，检测次数这一因素对估计精度影响的灵敏度很高，随着检测次数的少量增加估计精度有很大提高，当检测次数增加为25时，平均贮存寿命的估计均值约为121.412 5、根方差约为7.831 0，与真值非常接近。可见，检测间隔不变的情况下，检测次数的增加使得数据对装备寿命区间覆盖率增高，寿命预测会更精确，这与实际情况相符。

图3 不同检测次数对平均贮存寿命仿真结果的多重箱线图

3) 检测间隔对估计精度的影响。

取样本量N0i+N1i=10(保持样本较少数量)，检测次数m=10，将检测间隔(单位：月)分别选为3，6，12和18，将分别得到的平均贮存寿命估计值,利用Matlab绘制多重箱线图如图4所示。由图4可以看出，本文方法对检测间隔并没有要求，间隔较长时也不会影响估计精度。因此，本方法对检测数据的要求宽松，在检测工作频度不高、样本数量较少的情况下仍然能较为准确地估计出装备的寿命规律。

图4 不同检测间隔对平均贮存寿命仿真结果的多重箱线图

4) 预计的寿命区间对估计精度的影响。

保持算例中其他数据不变，将预计区间分别选择为[12，180]、[12，240]、[12，360]、[60，120]、[60，240]，将分别得到的平均贮存寿命估计值，利用Matlab绘制多重箱线图如图5所示。由图5可以看出，预计区间的大小对估计精度并没有明显影响，只要预计区间把真值包含其中即可。图5中第四种情况下，由于预计区间[60，120]相对真值120比较偏离导致结果误差较大。可见本方法并不要求对初始预设的寿命区间有较准确的估计，相反初设的范围越宽(降低预计区间与真值偏离的概率)，最终的结果相对越理想，这也是贝叶斯估计方法的优点之一。

图5 不同预计区间下对平均贮存寿命仿真结果的多重箱线图

基于对以上影响因素的分析，调整各参数的选取可实现本方法对贮存寿命更为精确的评估。如调整检测次数m=20，样本数N0i+N1i=30情况下，可以得出对平均贮存寿命的估计均值为121.674 2、根方差为8.190 4(如图6所示)。

图6 m=20， N0i+N1i=30的平均贮存寿命仿真结果的箱线图

5 结论

1) 本文提出了指数型单元件贮存寿命分布参数的贝叶斯估计方法，通过算例设计和大量仿真分析结果说明，可以在所接受的置信区间内较为准确地估计出指数型单元件的贮存寿命分布规律。

2) 本方法的好处在于估计结果受样本规模的影响较少，且不要求对贮存寿命的初始区间给出精确的设定，相反初始区间范围设定越宽估计结果相对越准确。