孙 坚，臧涛成，骆者虎，张锴珉，顾天雷

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

用梯度的散度表示的拉普拉斯算子是一种常见的二阶微分算子。根据作用函数类型的不同，可以分为作用于标量函数的拉普拉斯算子和作用于矢量函数的拉普拉斯算子。在涉及数学物理方法的许多问题中，拉普拉斯算子有着广泛的应用。譬如，热力学中的热传导方程[1]、电动力学中的电磁场波动方程[2-3]、机械波中的非线性波动方程[4]、量子力学中薛定谔方程中的动能项[5]、微波技术中的经典场理论[6]、多层球颗粒和柱颗粒散射截面[7-13]、量子电动力学中的卡西米尔效应[13]等。在电磁场理论[2，7，12]与微波技术经典场理论[6，14]以及拉普拉斯算子的基础研究[15-18]和经济学研究领域[19-20]中，有很多问题都会涉及到作用于标量函数的拉普拉斯算子和作用于矢量函数的拉普拉斯算子，包括它们相互之间存在的关系，以及在不同坐标系下作用于标量函数和矢量函数的拉普拉斯算子的具体表达式。但是，在许多电磁学和电动力学教材及其附录里，通常只介绍作用于标量函数的拉普拉斯算子。对于作用于矢量函数的拉普拉斯算子只是一笔带过或者基本不提及，这让人们较难理解、不易掌握和灵活运用。在研究某些具体问题时，人们发现作用于矢量函数的拉普拉斯算子也是相当重要的，值得进一步去研究和讨论。通常，在三维直角坐标系下，作用于矢量函数的拉普拉斯算子的表达形式是比较简单的。而在球坐标和柱坐标系下，作用于矢量函数的拉普拉斯算子则需要经过特殊的坐标转换，这样一来计算就会变得比较复杂，往往不知从何入手，而这恰恰又是必须要解决的一个难题。例如，在球坐标和柱坐标系下，求解多层球颗粒和柱颗粒散射截面[7-13]和解决微波在各种波导管中TE 波和TM 波的传输问题[6，14]。如果在球坐标和柱坐标系下，利用作用于标量函数和矢量函数的拉普拉斯算子能够解出比较简单的形式和关系，那么就可以简化分析过程，规避复杂而又冗长的理论推导，较为轻松地求解上述问题在球坐标系和柱坐标系下的波动方程及其他相关结果，甚至可以直接给出简洁明了的结论。

综上所述，研究作用于矢量函数的拉普拉斯算子在球坐标和柱坐标系下的具体表达形式对于理解相关物理概念、找到作用于标量函数和矢量函数的拉普拉斯算子相互之间的关系和解决实际物理问题是很有必要的。笔者通过引入度量系数（拉梅系数）建立新的正交曲线坐标系（这里主要是球坐标系和柱坐标系），研究了作用于矢量函数的拉普拉斯算子在这两种坐标系下的表达式，以及它和作用于标量函数的拉普拉斯算子之间存在的联系。

1 度量系数的引入

通常，在正交坐标系中，一般曲线在空间任意一点P的位置可以用三个坐标（x，y，z）表示。根据文献[1-3]，引入度量系数（拉梅系数（h1，h2，h3））建立新的正交曲线坐标系，沿这三个方向的线元（dx，dy，dz）为dx=h1dx1，dy=h2dx2，dz=h3dx3，其 中长度微元的平方为：

根据电动力学教材[2-3]可知，假设φ 和分别表示标量函数和矢量函数（其中），可以列出作用于标量函数和矢量函数的各种算子。

哈密顿算子

作用于标量函数的梯度算子

作用于标量函数的拉普拉斯算子（标量函数的梯度的散度）

作用于矢量函数的散度

作用于矢量函数的旋度

作用于矢量函数的旋度的旋度

作用于矢量函数的散度的梯度

作用于矢量函数的拉普拉斯算子

由数学物理方法[1]与电动力学[3]可知，作用于矢量函数的拉普拉斯算子等于矢量函数梯度的散度减去矢量函数旋度的旋度，即

2 球坐标系下的推导

在球坐标系中，由文献[2-3]可知，拉梅系数h1=1，h2=r，h3=rsinθ，将其代入，根据等在内的相关算子，经过一系列数学变换，这里按三个基矢方向进行分解，可以分别得到和▽×在这三个方向的分量表达式

3 柱坐标系下的推导

类似地，在柱坐标系中，将拉梅系数h1=1，h2=r，h3=1[2-3]代入后，可以得到散度旋度等一系列相关算子，经过一系列数学变换，这里按三个基矢方向进行分解，可以分别得到和在这三个方向的分量表达式

与球坐标系的情况相似，经过一系列繁琐的数学运算，可以得到的表达式

4 结语

研究了作用于矢量函数的拉普拉斯算子在球坐标系和柱坐标系下的具体表达形式。通过引入球坐标系和柱坐标系的拉梅系数，建立了新的正交曲线坐标系，并结合理论推导与转换，最终求出在球坐标系、柱坐标系下作用于矢量函数的拉普拉斯算子的具体表达形式。结果表明，在这两种坐标系下，作用于矢量函数的拉普拉斯算子的部分分量和其对应的标量函数的拉普拉斯算子存在一定的联系。