张一林 简捷 李平

摘要：本文将从屋顶的排水能力、雨水收集利用能力、房屋整体舒适度、现代意义（如生态、能源）等方面，对比坡屋顶、水平屋顶以及圆弧形屋顶的建筑，进行综合客观的评价，希望能对未来居民住宅的建筑起一定的指导作用。

关键词：屋顶形状；雨水利用与排出；日照；现代应用

引言

现在，最为普遍的居民住宅屋顶形状有坡屋顶、水平屋顶以及圆弧形屋顶。在北京放眼望去皆是水平屋顶的高楼建筑，有些单调刻板。由于厄尔尼诺现象近几年来频繁出现，中国南北方大多数地区频繁出现大规模降雨，容易造成城市内涝或者屋顶积水导致的生产活动不便；又因我国水资源稀缺，所以收集利用雨水是十分必要的。所以我们对屋顶的外形构造进行探究，将每个屋顶视为相对完美的几何模型，以北京为主要研究范围，主要研究其对雨水排出或收集的效果，同时综合光照、舒适度等诸多因素客观评价现代建筑中主要住宅类型。

1童话城堡——圆弧形屋顶

1.1数学建模

研究方法采用单一雨滴模型分析，建立雨滴撞击屋顶的物理模型，最终采用不定积分求出整个屋顶的雨水排出速度与收集量，将所计算得到的数据进行比较，从而筛出最优解。

①：标准半球形屋顶

以地面为参考系，水平面作为x轴，竖直方向为y轴。设楼梯对角线长度（即半球形直径长度）为 ，另设下落水滴直径 。因为其外表为标准半球形，又因为球体表面积公式，有屋顶表面積 ，对于任意下落水滴，均视为标准（此处指半径为 ）的水滴大小。又因为其实下落高度远大于建筑屋顶的半径 ，所以对于水滴接触落地点时均视为同一高度下落，同一高度接触地面。因为对所有下落水滴分析太过复杂，所以我们对单一水滴分析。从水滴受力来说 时，（等式右为空气阻力公式）速度自此不变。过程中（未达到匀速前）任意速度 。因为整个过程是一个持续性过程，且物体的加速度不断变化，采用积分：对于高度h，都有 ，所以可以根据已知云层高度测定接触时刻速度 ，从而能得出速度对 的影响： ，与速度对 的影响：

上述两式中的 为液滴密度， 为液滴表面张力， 是撞击速度， 是水动力粘度。因为液体表面张力没有计算出，所以引入表面张力。设液滴最大压力 和 ，表面张力是压差的函数，计算公式为：

根据上述计算结果，可算出每个小水珠的溅射面积。

因为这只是单个水滴的溅射，而房顶不可能是单个水珠覆盖，所以整个房顶表面水珠分布的量上少下多，需要再次积分。从屋顶顶点到房檐的曲面距离均为以半径R的圆的四分之一周长，所以 ，设任意处曲面距离为 ，从屋顶开始计算，房檐积水量。 ，继而可计算出圆顶的积水量。

我们对于屋顶是半圆形的建筑进行讨论，其表面积相对较大，对天空所降得雨水的接触面积相对较大，圆形屋顶屋檐总长为 ，是圆形屋檐，可排水的房檐较长，且可以多方位排水，在一定程度上可以做到雨水收集率和雨水疏导率处于较高水平，但是屋顶支承结构复杂，建设麻烦且耗资较大，从整体利益方面看并无十分过人之处。

2画中的小平房——坡面屋顶

考虑有一栋南北向的坡顶楼房，房屋水平倾斜角为 ，两侧屋檐间距为 ，房屋宽为 ，屋檐与窗户顶端的距离为 ，窗户高为 。一雨滴的质量为 ，水滴弹起的质量为 ，重力加速度为 。空气阻力满足 ，其中空气阻力系数 ，空气密度 ，一侧屋顶面迎风面积 ，雨滴横截面近似为球形 。

事实证明，水滴的速度与质量变化的问题与水面的波动、水的张力（水的形状一直在改变）、等等复杂因素有关，简单近似为非完全弹性碰撞过程的结果势必错误。

我们根据国外科普视频及文章，将质量关系确定为

在研究速度关系时，我们把水面波动的影响归于水滴弹起的概率（经多次模拟与讨论，确定为50%）。通过分析，我们将速度变化关系与接触面性质 建立联系，并认为速度变化函数与高度、水面面积等无关，即

在探究速度变化关系的实验中，我们改变不同的高度，测量下落高度 与弹起最大高度 。由于 ，根据大量实验，选取从10英尺刻度（即距离水面7英尺）下落后弹起0.8英尺的数据，可得

2.1.2有风状态下水滴下落分布情况

⑴当有风时，设风向为南北向，不妨设风速为 ，沿Z轴正方向。

∴雨分布沿Z轴正方向移动

（2）设风向为东西向，不妨设风速为 ，水平向左。此时单位时间内第一次弹起的雨滴对右侧迎风屋顶面的冲量大于左侧背风屋顶面，冲量之差为 ，其中M为单位时间内落到左（右）侧屋顶面的雨水质量。但同时，弹起的雨滴分布左移，弹起时间

可求出

从 内弹起的水滴会跨越到另一侧屋顶面

如图4为迎风侧雨水分布区域，图中三个区域内的雨水量分别恒定，迎风侧的雨水分布沿x轴正方向依次增多。

取极限情况 ，代入数据可得 ，代入可得 ， ，可得 ， ，背风侧到屋顶距离小于 的范围内，雨水量最多。

2.2屋檐对最顶楼日照影响

有光照射时太阳高度角 满足

代入数据得：

如图5，A为太阳，O为地球球心，C为天顶，B为北天极，太阳高度角为 ，太阳赤纬角为 ，观测地地理纬度为 ，时角为 ，作BP、BQ分别为 、 切线交OC、OA于P、Q，连接PQ。

由球面△ABC的余弦公式可得

∵ BP∥ ，BQ∥ ，∴∠PBQ= ，即

由于冬至日太阳照射时间最短，角度最低，取此极限情况下，代入数据，

，则照射时长为 ，故此房屋不符合国家关于日照长度的标准，需增大 。

3 都市的方盒子——平顶楼房

现在，平顶楼房在北京的应用中最为广泛。进一步利用“光秃楼顶”来更好地改善生活，成为近几年来此类问题的讨论热点。

3.1加强生态化

利用屋顶的平台种植绿植是生态可持续的另一种体现形式。北京人口众多，人均建筑面积小，人均绿化面积也小，屋顶绿化是解决绿化与建筑占地的矛盾的有效途径之一。楼顶绿化可以减弱城市的热岛效应。据相关数据显示，在炎热的夏天楼顶绿化可以让室内温度降低1.2摄氏度左右。但同时也应起人们的热议：楼顶的产权不清，绿化费用无人管，种植不当可能引来严重问题等等。屋顶绿化还需要从多方面进一步改善探讨。

3.2利用太阳能

越来越多的太阳能板装上了平顶楼房，可以有效节省能源，是一种低碳生活方式。以天津市中心城区为例，若其屋顶光伏采用35度的最佳倾角安装，光伏组件的有效面积Apv为855.7万平方米，装机容量为12.4亿瓦特，光伏组件系统的运行效率λ为0.77，光伏模块转换效率η为15%。发电量的计算公式为Epotential = Apv × Gt × η × λ，根据公式计算，年发电量为1986千瓦时/年。但它受楼层高度、天气等因素影响显著。为了防雷防电，太阳能板必需低于防雷装置0.6米，并与装置保持1米的距离。

3.3绿化与能源的抉择

屋顶绿化对于提高居民室内生活质量更为有利，而屋顶光伏提高新能源的利用，是低碳生活的体现。下面主要对而这所需资金做出估算与比较。

到去年年末，北京市屋顶绿化面积达到200多万平方米。绿化工程建设和养护费用昂贵，以每平方米1千元的成本计算，北京共需支出20亿左右的资金。但绿化也为减少政府在减弱气候变暖、热岛效应以及空气污染治理等方面的资金和精力。据资料显示，200万平方米的绿化面积可以节约能耗1.5万元/天，即大约550万元/年。若将同等面积的屋顶全部安装太阳能板，价格按照70元/平方米，则平均每年应支付资金约为1.4亿。虽然绿化的资金要比能源多，但是并不能代表绿化屋顶的想法不现实。据资料显示，花园式屋顶绿化根据影响因素的主次之分（图）与二者多因素综合评价（图）。可见，作为国际大都市的北京绿化屋顶是更优的选择。事实上，北京屋顶的确以绿化偏多。通过绿色植物蒸腾水分吸收热量、冷却大气，可吸收太阳辐射热70%～85%；滞尘作用显著，花园式和简单式屋顶绿化平均滞尘量分别为12.3g/㎡/年和8.5g/m2/年，可有效改善城市空气质量，控制PM2.5；面对城市雨洪压力，花园式和简单式屋顶绿化可截留雨水分别为64.6%和21.5%。图表3主要影响因素分级排序，图表4光伏屋顶（蓝）与绿化屋顶（红）对比。

结语

中国建筑历史悠久、名扬中外。放眼国际大都市北京，代替四合院的高楼大厦“整齐划一”，已经不再是设计师专注的对象。但是，居民楼作为建筑主体（大约占建筑面积的70%），十分普通却直接影响所有人的生活，而具有不可替代的重要地位；因此，“如何合理設计和进一步改善居民楼”应该是最值得研究的话题。本文从排水能力、雨水收集利用能力、房屋整体舒适度、现代意义（如生态、能源）等方面等方面对居民房屋楼顶设计进行细致、广泛的讨论。不仅关注传统文化、与现代建筑接轨，还结合了可持续发展、创造更优美的城市等思想理念，有较强的实用价值，希望能对未来居民楼的设计有指导作用。

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（作者单位：北京市京源学校）