胡善超，李 河，王玉雅，张 伟

(商丘工学院 土木工程学院，河南 商丘 476100)

引言

在车辆行驶过程中，路面条件对车轮及车辆性能具有较大的影响.通常在对轮胎强度、寿命等分析中，把路面看成一个平面.实际上，一些人为设置的台阶路面具有一定的不平整性.当车辆行驶在上面时，轮胎会与台阶发生碰撞，产生碰撞力，不仅会影响乘车人的舒适性，而且磨损车辆轮胎.因此，研究车辆行驶过程中轮胎与台阶之间的动力响应具有重要的意义.

对于路面不平整度引起的动力响应问题，国内外学者进行了大量的研究工作.如Chiu Liu[1]基于黏弹性地基梁模型，分析刚性路面不平整度引起的路面动力响应.Alaswadko N[2]把路面不平整度分解成若干频带，通过分析频带与车辆对路面动荷载的相关关系，得到了与车辆对路面动荷载最相关的不平整度频率范围. Lee D, Chatti K[3]通过车辆对路面动荷载的分析，提出了新的动荷载评价指标.钟阳[4]、孙璐[5]、陶向华[6]等人利用随机过程理论得到了路面不平整度的功率谱密度，并以此作为输入，把车辆简化为两自由度体系，分析了行驶车辆作用于路面的随机动压力.徐建平[7]把路面不平整度视为正弦函数并建立了一个四自由度的车辆模型，同时考虑了汽车侧倾因素，据此计算了车辆对路面的动荷载.

本文通过对路面台阶的几何分析，考虑车轮在行驶时与台阶发生碰撞，得到碰撞力表达式.利用傅立叶函数，将碰撞过程的瞬时力转化为连续力.结果不仅清晰地展示了台阶路面角度一定时碰撞力与车速的关系，而且得出不同台阶路面的夹角应采取不同的行驶速度，以减少路面对车轮的伤害，同时也可以减少车辆的能量损失，具有良好的应用前景.

1 车辆与路面的几何关系

车辆通过台阶路面时受力是一个复杂的过程，为了简单直接地分析车轮在台阶路面行驶时情况，将车辆行驶过程进行简化.如图1所示，车辆在通过台阶路面时，可简化成轮胎、弹簧、顶板组成的简易系统.

图1 车轮在台阶路面运动图

由于台阶的长度、高低及坡度的不同，导致车辆行驶的运动规律有所差异.因此，在分析其集合关系时需要考虑多种情况.正常的台阶路面导致车轮的运动轨迹如图2示.

图2 不同情况下的运动轨迹图

从图2中可以看出，当车轮的半径R为定值，台阶的长度L和高度H不同时，车轮从一个台阶运动到另一个台阶路面会出现不同的结果： 1)2R小于台阶的长度L时，台阶高度H与其长度L为任意比例时车轮运动轨迹为图2的第二情况； 2)2R大于台阶的长度L时，车轮运动轨迹会出现图2中两种运动轨迹.

生活中，为了避免车辆的颠簸，设计的台阶多数使得车轮在其上运动轨迹为图2中第二种情况.因此本文重点研究图2中第二种车轮运动轨迹下的车辆受力情况.

2 车轮行驶过程力学分析

2.1 车轮行驶过程接触分析

车辆匀速通过每一个台阶为一个周期，车辆在和台阶碰撞时，忽略水平摩擦力.碰撞的时间非常短暂(若△t3→0，则根据冲量定理F→∞)，为了所求力的合理性，令△t3=T/10.

车辆通过台阶的过程，事实上在每个周期内并不是匀速的，车辆行驶过程十分复杂，台阶的变化导致车辆外力和内力作用也是变化的.本文为了更好地借助数学模型描述车辆在台阶上的运动状态，在此将车辆在台阶上的运动状态简化.

车辆在台阶上运动可以简化成如图3所示的三个过程： 1)t0→t1，△t1.匀加速运动.车辆从碰撞点时刻t0到顶点t1，速度由u1→v1； 2)t1→t2，△t2.定轴转动.t1时车轮以台阶的顶点为轴作定轴转动，直到接触到下一个台阶发生碰撞； 3)t2→t3，△t3.碰撞回弹.车速由v1→u1.

2.2 碰撞下的力学控制方程

车辆的总质量为m，刚性台阶的质量为M(M→∞)，v1为碰撞前速度，u1为碰撞后速度，θ为碰撞前速度与台阶的夹角.

由于碰撞角和台阶路面自身的夹角相关，可得夹角关系为：

(1)

式中：θ为碰撞时速度与台阶的夹角，α为相邻台阶的夹角.

如图4所示.

图4 车轮在台阶上碰撞瞬时图

台阶的质量M→∞，因此，在碰撞前速度v1与碰撞速度后u1未发生改变，二者皆为0.恢复系数k关系式为式(2).

(2)

因碰撞力沿n-n法线方向，故台阶斜面方向的动量不变，得

mv1cosθ=mu1cosβ

(3)

解联立方程，求得：

(4)

由此可得车辆碰撞后的速度u1的大小和方向决定于k.

2.3 车轮碰撞力

由图4可见，碰撞的过程中，水平方向摩擦会产生冲量，由于条件的限制，水平上的动量不发生变化，只有垂直台阶平面的动量发生变化，因此沿着斜面方向并没有冲量的存在.

车辆碰撞力沿着法线n-n方向，而沿着切线方向的动量不变.根据冲量定理可得：

-FΔt3=mu1sinβ-mv1sinθ

(5)

于是可以求得碰撞力F的大小为：

(6)

3 碰撞力与车辆速度及台阶路面的关系

3.1 碰撞力的傅立叶转换

车辆所受的力与车辆在台阶上的行驶相关，当车辆与台阶发生碰撞的时候，受到碰撞力的作用产生颠簸.碰撞的时间极其短暂，在一个周期内是可以忽略不计的.

而在实际问题中，系统是受一种非简谐的周期函数激励作用，然而只要满足某些条件，任何周期函数都可以用简谐的收敛级数来表示.这种由简谐函数组成的级数称为傅立叶(Fourier)级数，对应级数就是简谐激励作用的响应问题，利用叠加原理，周期激励的响应则等于各简谐分量引起响应的总和.

本文中，由于路面不平整导致车轮发生碰撞，从而产生碰撞力.车辆在运动过程中受碰撞力的作用产生振动.周期激励函数满足：

F(t)=F(t±jT) (j=1,2,3,…)

(7)

式中T为周期.

将F(t)展开为傅立叶级数：

(8)

式中频率ω=2π/T为函数F(t)的基频，基频的整数倍称为谐频，其基本频率作为第一频率.上式表明一个复杂的周期激励函数可以表示为一系列谐频的多个简谐函数的叠加.式(8)中的系数a0、aj、bj可由下式确定.

(9)

(10)

式(9)和(10)分别表示函数F(t)中简谐分量cos(jωt)和sin(jωt)的参与程度，注意到a0/2代表F(t)的平均值.只要定义的aj和bj的积分存在，用傅立叶级数表示函数F(t)总是可能的.如果F(t)不能以函数表示，可以近似模拟计算.

当车辆在台阶上出现碰撞时，虽然碰撞产生的力是瞬时的，但是坐在车上的人所感受到的却并不是瞬时力，这是因为车上有轴承，而轴承的作用就像一根弹簧.当车辆碰撞那一瞬间，相当于对弹簧产生力的作用，而弹簧需要将这个力传递给坐在车上的人.所以人感受到的力为一个变化的函数，通过对感受到的力进行傅立叶(Fourier)变换，可以得到人受到水平和竖直两个方向力的方程.

水平力经过傅立叶变换，为：

(11)

竖直力经过傅立叶变换，为：

(12)

当车辆发生碰撞时，可将车辆简化如图5所示，该模型中车辆在水平和竖直的方向力可以简化成两个具有弹性的轴承结构的力FX和Fy，其中简化的弹性轴承的弹性系数分别为kx=2KN/m，ky=1KN/m.

图5 车辆模型简化图

利用达朗博原理构建如下微分方程：

(13)

在式(13)中bx和by为阻尼系数，又因为本文中考虑的是无阻尼系统，故bx和by为零.由上式(11)和式(12)可知，可将式(13)转换为一阶微分方程组:

(14)

这个方程组是用每个状态变量的变化率来描述系统状态的变化规律的.将式(14)改写成如下矩阵形式：

(15)

3.2 车辆运行仿真

台阶路面角度一定时，产生的碰撞力与车速相关，△t3与车速成反比关系，车速越大，△t3的时间越短.因此，采用冲量定理求碰撞力，碰撞力与速度的关系如图6.

图6 竖直碰撞力与速度的变化曲线

从图6中可以看出，速度为5 m/s时，随着台阶路面的角度的增加，碰撞力逐渐加大；台阶角度一定时，竖直碰撞力随着车辆的行驶速度的增加而增大.

4 结语

本文研究了车辆通过台阶路面的受力情况，首先分析了车轮尺寸与台阶尺寸之间的几何关系；其次分析了车轮与台阶路面碰撞过程的力学关系；最后运用MATLAB对力学关系式进行求解，可以得到以下结论：

1)分析表明，台阶路面的角度和车辆行驶的速度对碰撞力有一定的影响，表现为台阶路面的角度一定时，随着速度的增大，碰撞力越大，从而碰撞力的水平分力和竖直分力就越大.速度为10 m/s时的竖直碰撞力最大值为速度为5 m/s竖直碰撞力最大值的4倍.因此，在保证能通过台阶路面的情况下，速度要尽可能的小.

2)速度一定时，随着台阶路面的角度的变化，碰撞力不断增大.增长速率随着角度的增大不断的减小.

3)碰撞的水平分力和竖直分力与台阶路面的夹角有关，台阶路面的夹角越大，水平碰撞力就越大，由于车辆是水平运行的，其碰撞后的加速度是沿着水平方向的，因此，在台阶路面的角度较大时，保持低速行驶，可以减少路面对车轮的伤害，同时也可以减少车辆的能量损失.