胡志勇，米据生，冯涛，姚爱梦

（1. 河北师范大学 数学与信息科学学院, 河北 石家庄 050024; 2. 河北科技大学 理学院, 河北 石家庄 050024）

模糊集概念[1]是由Zadeh教授在1965年提出的。它解决了对不确定性概念的描述性问题，使得模糊数学在理论和应用方面的研究迅速发展起来，并取得了丰富的研究成果。1982年由波兰数学家Pawlak提出的粗糙集理论一直被认为是处理信息系统和知识发现方面问题的重要工具[2]。在信息系统或者决策表的研究方面，集合近似的定义方式作为一个重要的问题，一直受到研究者的广泛关注。在单个粒度的粗糙集模型下，一个关系产生的一组上下近似常用来刻画一个目标概念的特征。然而在实际生活或者应用中，由于用户需求的不同以及解决问题最终目标的不同，用多个关系来刻画一个目标概念往往更加贴合实际。基于此，钱宇华等[3-6]提出了多粒度粗糙集模型，使得粗糙集理论在解决实际问题方面的应用更加广泛[7-9]。在多粒度粗糙集模型中，乐观多粒度和悲观多粒度是两个不同的基本研究方法。

此外，研究对象很可能来自于不同论域，因而，两个或者多个论域对真实世界的描述更具有一般性，对进一步研究信息表的规则提取具有积极的作用。因此双论域粗糙集模型[10-12]具有很强的研究价值以及实用价值。

在粗糙集理论[13-15]中，上下近似算子是一对基本的概念，从经典的理论意义和直观理解上，它们之间存在着包含关系。但是，当把它们推广到双论域上多粒度粗糙集模型[16-18]时，集合的上下近似并不一定存在着包含关系。……