莫长鑫，毕 宁

(1.复旦大学 数学科学学院，上海 200433; 2.中山大学 数学学院，广东 广州 510275)

客观世界中存在着大量的所谓稀疏(或可稀疏化)信号,比如： 脑信号[1]、fMRI信号[2]等.因此，对稀疏(或可稀疏化)信号的表示长期以来都是信号分析领域研究的热点.2006年,Donoho[3],Candes等[4]引入压缩感知(Compressed Sensing, CS)概念,对稀疏信号给出了严格的数学定义,并引起数学界的广泛重视.CS作为一种新的采样理论，它能以远低于Nyquist采样频率对信号进行采样.随着科学技术的发展，数据的样本越来越庞大，如何高效地处理这些数据并从中获取关键信息以及最大限度的节约存储和传输的成本成为了一大难题.CS理论的出现为解决这个难题提供了一个好的方法并得到了不少好的结果，应用甚是广泛.

在CS中，我们经常考虑以下模型：

y=Ax+n，

(1)

y=Ax，

(2)

此时我们称其为不带噪声的情形.式(1)的模型称为带噪声的情形.

在CS中,我们的目标之一是希望在知道观测矩阵A和观测信号y的前提下来重构稀疏信号x,那么A满足什么样的条件我们才能对稀疏信号x准确地重构呢？到目前为止,CS中用于观测矩阵的条件有零空间性质(Null Space Property, NSP)[5],相干性(Coherence)[6-8]等,而最常用的性质是由Candes等给出的受限等距性质(Restricted Isometry Property, RIP)[9-10].下面我们给出RIP的定义.

定义1[10]设A是一个m×N的矩阵,1≤k≤N是一个给定的整数.假设存在一个常数δ∈(0,1)使得

(3)

对所有k-稀疏向量x∈RN均成立，则我们称矩阵A满足k阶受限等距性质.

现在有很多种重构信号x的算法,比如说贪婪算法[11-13]、迭代硬阈值算法[14]、加权迭代算法[15]等,在这些算法中正交匹……