刘 亮， 侯晋川

(1. 太原理工大学 力学学院， 山西 太原 030024； 2. 太原理工大学 数学学院， 山西 太原 030024)

0 引 言

在有限维的情况下， Xu J W[12]给出了一个两体懒态的判据， 并且研究了懒态和纠缠态， 以及懒态和Discordant态的关系. 对于连续系统， Xu J W[13]发现一个高斯态是懒态当且仅当它是热态的张量积. 而在一般无限维情形下， 没有给出判别懒态的方法. 本文给出了没有维数限制的懒态判据， 并且结合新的判据， 讨论了无限维情形下懒态和纠缠态以及Discordant态的关系.

在给出主要结论之前， 先介绍一些预备知识. 假定dimHA⊗HB=∞, |iA〉和|iB〉分别是希尔伯特空间HA和HB上固定的一组正交基. 令Fij=|iB〉〈jB|， 那么， 任意一个S(HA⊗HB)里的两体态ρAB都可以表示为[14]

ρAB=∑ijAij⊗Fij,

式中：Aij为HA上依迹范数收敛的迹类算子. 也就是

且ρA=TrB(ρAB)=∑iAii. 类似的， 任意一个ρAB∈B(HA⊗HB)上的态可以按A系统的一组基展开， 表示为ρAB=∑klEkl⊗Bkl， 其中Bkl为HB上依迹范数收敛的迹类算子.

1 主要结论及证明

定理1 对任意的两体态ρAB=∑ijAij⊗Fij∈B(HA⊗HB)，ρAB是懒态当且仅当对所有的(i,j)，Aij和约化态ρA交换.

证明假定|iA〉和|iB〉分别是希尔伯特空间HA和HB上一组给定的正交基， 那么ρAB可以表示为ρAB=∑ijAij⊗Fij， 其中Fij=|iB〉〈jB|， 约化态ρA=(I⊗Tr)ρAB=∑iAii. 由定义，ρAB是懒态当且仅当[ρAB,ρA⊗IB]=0， 进而有

∑ijAij⊗Fij·∑iAii⊗I=

∑iAii⊗I·∑ijAij⊗Fij

∑ijAij⊗Fij·(ρA⊗I)=

(ρA⊗I)·∑ijAij⊗Fij

∑ijAijρA⊗Fij=∑ijρAAij⊗Fij,

因此，AijρA=ρAAij对任意(i,j)都成立.

证毕.

在上述过程中可以发现， 局部算子Aij和ρA的交换性决定了一个态是否是懒态. 利用这一点可以给出另一个懒态的等价刻画. 在这之前， 我们回顾一下非交换性度量的定义.

令X和Y是希尔伯特空间上任意给定的两个算子. 那么[X,Y]=XY-YX=0当且仅当‖[X,Y]‖=0， 其中‖·‖为算子空间上定义的任意范数. 也就是说[X,Y]≠0蕴含着X和Y的非交换性. 一般的， ‖[X,Y]‖度量了X和Y的非交换性. 对一族算子Γ={Al∶1≤i≤n}的非交换性的总和可以定义为

N(Γ)∶=∑i

L{ρAB}∶=∑ij‖[Aij,ρA]‖.

借助这个定义， 很容易得到下面的推论.

推论1 对于任意作用在空间HA⊗HB上的量子态ρAB=∑ijAij⊗Fij，ρAB是懒态当且仅当L{ρAB}=0.

量子相干是量子资源理论中的一个重要概念， 近年来引起了很多学者的关注， 取得了一些相应的成果. Baumgratz等[18-19]提出了一种度量相干性的框架， 在这个框架下， 提出了l1相干度量， 相对熵相干度量， 鲁棒相干度量等度量方法. Hu M L等[20]定义了两个量子态的相对相干性(RQC). 考虑同一个希尔伯特空间里的两个量子态ρ和σ， 当σ是非退化的， 且其特征向量[1]={|ψi〉}， i.e.σ=∑1εi|ψi〉〈ψi|， 其中εi为相应的特征值. 定义ρ相对于σ的相对量子相干性为

C(ρ,σ)=C[1](ρ),

式中：C[1](ρ)为在参考基[1]下的任意一量子相干度量. 当σ是退化的时， [1]不是唯一确定的. 通过对σ的所有可能特征分解得到的相干度量取上界定义了RQC为

C(ρ,σ)=sup[1]C[1](ρ).

在本文中， 定义下相对相干度量(sub-RQC)为

因此，Cl1(ρ,σ)=inf{u∶uσ=σu}Cl1(ρ,uβ0).

证明令f(u)=Cl1(ρ,β)=Cl1(ρ,uβ0)=Cl1(uρu†,β0)， 显然这是一个连续函数. 令

Uσ={u∶uσ=σu},

若{un}⊂Uσ且un→u， 有uσ=limunσ=limσun=σu， 因此u⊂Uσ， 即Uσ是一个紧集.

证毕.

在这种情况下， 定义Csub(ρ,σ)中的下界可以取到， 进而可以把Csub(ρ,σ)改写成

Csub(ρ,σ)=min[1]C[1](ρ)∶=Cmin(ρ,σ).

定理3 假定Hd是一个d维的可分希尔伯特空间(d≤+∞)， 若A和B是Hd上的两个正规算子， 那么Csub(A,B)=0当且仅当[A,B]=0.

证明若Csub(A,B)=0， 则

A=∑iλi|ψi〉〈ψi|,

其中{|ψi〉|i是B的一组基. 由定义， 在这组基下B=∑iλi|ψi〉〈ψi|. 因此， [A,B]=0. 反之， 若[A,B]=0， 这意味着A和B可以同时对角化， i.e.， 存在一组基{|ψi〉}i使得A=∑iλi|ψi〉〈ψi| 且B=∑iλi|ψi〉〈ψi|. 这样就得到Csub(A,B)=0.

证毕.

至此， 可以给出懒态的另一个刻画.

定理4 对任意给定的二体态ρAB=∑ijAij⊗Fij∈B(HA⊗HB)， 下列说法等价

1)ρAB是懒态；

2) ∑Csub(Aij,ρA)=0；

3) 存在HB里的一组基{|iB〉}， 使得Aij和ρA交换对于所有的(i,j)都成立.

证明1)⟹2)由定理1，ρAB是懒态当且仅当Aij和ρA交换对所有的(i,j)都成立， 又由定理3可知Csub(Aij,ρA)=0对所有的(i,j)都成立. 近而有∑Csub(Aij,ρA)=0.

2)⟹3)由定义，Csub(*,*)≥0恒成立. 若∑Csub(Aij,ρA)=0, 则Csub(Aij,ρA)=0对所有的(i,j)都成立. 由定理3可得，Aij和ρA交换.

3)⟹1)由定理1直接可得.

利用以上定理， 我们可以研究无限维情形下懒态和Discordant态以及可分态的关系.

证明若ρAB具有如命题中的形式， 显然有ρ11≥ρ22=ρ11. 由文献[21-22]可知， 若一个两体态的算子矩阵表示中的对角算子是可比较的， 则态是可分的. 由此可知， 命题中的ρAB是可分的. 由定理1， 若ρAB是懒态， 则有ρij与ρA=TrBρAB=ρ11交换对所有的(i,j)成立， 进而ρ11和ρ12一定交换. 故若ρ11和ρ12不交换， 或者ρ12不是正规算子时，ρAB不是一个懒态. 至此， 我们知道这种类型的态是可分的非懒态.

2 结 论

本文给出了几种两体懒态的刻画. 相较之前的判据， 本文的刻画没有维数要求， 为一般无限维情形下懒态的研究提供了便利. 事实上， 该判据对于有限维懒态的研究也提供了新的方法. 利用这些判据， 构造了一类无限维的可分但非懒态的两体量子态. 联系量子失协， 研究了懒态和量子失协的关系. 显然懒态含有区别于纠缠和量子失协的量子关联， 本文的结论对理解一般无限维系统里的量子关联提供了一定的帮助.