沈叶华

科学家们一直在猜想，在无边无涯的宇宙，说不定存在另一个与地球一样的行星，居住着与人类一样的高等动物。说不定他们也渴望认识万里之遥的我们。可是讲什么语言才能彼此沟通呢？总不会他们都懂中文或英文吧。美国科幻小说《接触》中有一处情节，地球人接收到一串信号：“59、61、67、71……”这些数全是质数，循环往复，原来是外星人在向地球人打招呼：“你们好！”

无独有偶。1974年11月16日，美国宇航局通过设在波多黎各的阿雷西博射电望远镜，向宇宙中的球状星团M13发射无线电信息，期盼M13里生活着外星人，能收到地球人的问候。此信息是一帧图案，介绍我们这个蓝色星球上的人物及风光，如地球人的形态、地球人的DNA、地球总人口、太阳系等。

但怎样才能确保外星人准确阅读该信息呢？经科学家们精心设计，此信息共有1679个数字。1679是两个质数的乘积：1679=73×23，不可再分解。也就是说，只有当1679分解成这两个质数时，才能拼出一个长方形。只有把它们排成73横行、23竖列时，才呈现此图案。如果分解错了或排列错了，出现的将是一堆乱码，无法解读。也就是说，我们发给外星人的信息只有唯一一种解读方式（信息的内容用二进制编码）。

那么，M13里的外星人听到我们的呼唤了吗？还早着呢。地球距离M13约25 000光年，此时此刻，这则无线电信息还在跑去M13的路上呢！

球状星团M13

这就奇怪了，在科幻小说里，在现时的太空科学中，质数都被选为“星际语言”，这是为什么呢？第一，数学是一种客观规律，无论何时、何地、对于任何人，它亘古不变。把它用作交流的语言，大家都懂;第二，质数既是数学里的基础元素，又是数学语言里的a、b、c。

我们有必要简单回顾一下，什么是质数？在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，不能被其他自然数整除的数，如2、3、5、7（7÷1=7、7÷7=1、7÷2=3 、7÷3=  ）称作质数;反之，可以被其他自然数整除的数，如4、6、8、9（4÷2=2、9÷3=3）称作合数。

合数可以被整除，除数最终必定是质数，如6÷3=2，8÷2÷2=2;反过来看，合数皆是质数的乘积。下表仅以2-30为例：它们如非质数，即为质数的乘积（合数），大于1的自然数都是这样。1既非质数，也非合数，下文再谈。

合数是两个以上的质数的乘积，而且对于每个合数，其相乘的质数不可替换，比如2×2×3=12，只有两个2、一个3相乘才能得到12，多一个少一个都不行，换了其他质数也不行——质数个个都是“金不换”。

1既非质数也非合数。因为1对乘积不起作用：1×2×2×3=12，1×1×2×2×3=12，有它没它都一样，所以1不够格成为质数。

有了质数、合数，才能组成正整数，然后才有分数、负数……数字不断扩大，数学内容随之丰富。看看，质数像不像建筑的沙石？有了沙石，才有房屋;有了质数，才有数学。

公元前3世纪，古希腊人就注意到质数的重要性，并开始研究。他们的研究成果在数千年后的今天仍为我们使用，经久不衰。数学家欧几里得是第一位证明了质数有无穷多个的人。他的证明被誉为“简洁、漂亮”的典范：论证只有简单几步，结论却无懈可击。

欧几里得分析：数个质数相乘再加1，得数必不能被其中的质数整除，比如“E=2×3+1”，E不能被2或3整除，必有余数1;又比如“E=2×3×5+1”，E不能被2、3或5整除，必有余数1。接着，欧几里得假设质数的个数有限：从2、3、5……到P为止，再没有质数了，并写下：

E=2×3×5×…×P+1

E等于所有质数相乘再加1。现在，E是大于1的自然数：它要么是质数，要么是合数。但E不能被从2、3、5……到P中任何一个质数整除，E有两种可能：

（一）E是一个大于P的新质数，E只能被1和自身整除;

（二）E是一个合数，它能被大于P的质数整除。

无论假设多大的质数P，欧几里得的算式E=2×3×5×…×P+1总能得出它不是最后一个质数，还有比P更大的质数。由此反证了：质数的个数无穷多，写不尽。已知的最大质数：282 589 933-1=14889444574204132554……37951210325217902591，共有24 862 048位。如果中间不省略，这个已知的最大质数要写多长？可足足写满9000页纸，约九套《红楼梦》那样厚。当然，还有无穷多个比它更大的质数。

无穷多个质数与合数拼成了正整数，那怎么把质数分辨出来呢？与欧几里得同时期的另一位古希腊人埃拉托斯特尼想出了“筛法”：筛掉合数，留下质数——称作“埃拉托斯特尼筛法”。以100之内的自然数为例：首先将1拿走，剩下的非质数即合数。第一个2是质数，留下。把2的倍数（4、6、8……98、100）全删去（见表1），因为2的倍数当然可以被2整除——它们皆为合数。

回到开头。现在轮到3，3是质数，留下。把3的倍数（9、15、21……93、99）全删去（见表2）。

现在轮到4，4是合数已删去，接下来5是质数，留下。把5的倍数（25、35……85、95）全删去（见表3）。

轮到7（6已删去），7是质数留下。把7的倍数（49、77、91）全删去（见表4）。

至此，现在留下的就全是质数了。100以内的质数共25个（见表5）。

埃拉托斯特尼筛法非常好用。你想找出n以內的质数吗？只需把以内的质数的倍数筛掉，留下的便是。比如=10，10以内的质数就4个：2、3、5、7，把它们的倍数筛掉就行。500以内的质数呢？≈22.3606，22以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19，把它们的倍数筛掉，留下的便是500以内的质数了。只是当n越来越大时，要筛掉的合数越来越多，埃拉托斯特尼筛法就变得笨拙，不好使了。

从古希腊至今，人类锲而不舍地研究质数2000多年了，可惜远未能透彻了解它。人类甚至仍搞不懂它最基本的情况，比如质数在数轴上的分布规律。我们来横向比较一下：奇数（2k+1）、偶数（2k;k为整数）在数轴上一前一后，互相穿插，一目了然;平方数（n2）我们能毫厘不差地算出其分布：1（12）、4（22）、9（32）、16（42）……但质数在数轴上看似毫无组织性，爱蹦出来就蹦了出来，让人捉摸不透。

人类也弄不明白在一定范围内质数的准确个数。奇、偶数在一定范围内，其个数各占一半（100以内的正整数中50个是奇数，50个是偶数）;正整数的平方数的个数，可以用开平方算出（=10，即100以内有10个正整数的平方数）;但100以内有多少个质数，人们只得用最原始的办法：一个个去数。

质数的无规律可循，无公式可代入计算，把人类的探索远远挡在门外。

这就是数学大厦的沙石——质数，表面看似简单，小学生都懂，内里乾坤却很大，艰深晦涩，难倒世界顶尖数学大师。因此，有关质数的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、黎曼猜想成为数学中的头等难题——多少数学家穷尽毕生精力参与接力赛，却依然未能到达终点。人类何时才能破解质数之谜？当代伟大的数学家保罗·爱多士说：“至少还需1000年。”

亲爱的读者们，你们这下明白了吧？本文开头的那张图——1974年美国宇航局向球状星团M13发射无线电信息里——这封给外星人的信，看似简单，实际饱含了多少科学智慧啊！

（编辑 文 墨）