张敏

摘 要：培养学生合情推理能力，有益于提升学生发现问题的能力，以小见大的联想能力以及创新能力。中职学校数学教师在进行课上课下的教学活动时，注重对学生培养合情推理能力可以促进学生的发展。本文就如何在中职数学教学中对学生进行合情推理能力的培养做了探讨。

关键词：中职数学 合情推理 能力培养

数学发展史中的每一个重要的发现，都离不开合情推理的作用，如著名的四色定理。四色猜想一开始是由一位叫古德里的英国大学生根据哥哥绘制英国地图时发现的，通过合情推理，提出猜想：“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这是数学三大难题之一。1976年6月，四色定理最终在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上用了1200个小时作了100亿次判断下完成了证明，轰动了世界。

在日常生活中，推理也是无处不在的。医生诊断病人的病症，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等，其中都包含了推理活动。在数学学习中，合情推理能提高学生的思维能力，在对已经掌握的知识进行运用时还可以培养创造能力。在中职数学教学中，教师要有意识地培养学生的合情推理能力，对比旧知，让学生善于提出新奇的问题，猜想出结论，并验证真伪。

一、合情推理的概念

合情推理，顾名思义是一种合乎情理的推理。数学学科逻辑性及关联性较强。这就要求学生具有一定的合情推理能力。在新课标的要求下，培养学生合情推理能力已经迫在眉睫。

归纳推理和类比推理统称为合情推理。归纳推理是由个别事实概栝出一般结论，部分推出整体，个别推出一般的推理。例如：可以通过数三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱等的面数、顶点数和棱数，通过归纳、猜想出“凸多面体面数+顶点数-棱数=2”这一欧拉公式;再如著名的哥德巴赫猜想“任何一个大于2的偶数都等于两个素数的和”，史称数学皇冠上璀璨的明珠。当然，不是所有的归纳推理都一定正确。而类比推理是通过对比两个属性相同或相似的对象，从而推断出它们在其他属性上也相同或相似的推理过程，是由特殊到特殊的推理。例如：根据等差数列与等比数列概念的区别和联系，可以通过等差数列的通项公式和前n项和公式推理出等比数列的通项公式和前n项和公式。再如由等式的性质可以推导出不等式的性质，由方程的根的情况推导出二次函数与坐标轴交点个数的情况。

二、培养合情推理能力的必要性

合情推理能力的培养有助于帮助学生灵活应用数学知识，引导学生注重数学知识点的联系和迁移，培养学生探索和发现能力。就像通过类比合情推理，平面上的圆的概念与性质可以推导出空间中的球的概念与性质，如果教师能够在日常的教学中帮助培养学生通过观察、归纳、类比、转化的数学思想，在解决球的概念、表面积、体积算法时可起到事半功倍的效果，学生甚至可以在教师的辅助教学下自主学成本节内容。所以在中职数学教学中，应重视数学合情推理能力的培养。

三、合情推理的步骤

第一，观察：观察两个对象之间的相似点和共通点，找到可以推理的方向。

第二，联想：观察到两者之间的相似点后，联想两者的性质类似，后者的性质可由前者推理得到。有些表面上很普通、很平常的两个问题若通过联想能找到相似相通点，或许能使题目变得简单易懂。

第三，推理探究：用归纳、类比猜想等方法推理探究新对象的性质等。学生在大胆猜想中体验合情推理，在严谨的证明中体验演绎推理。

第四，得到问题结论并加以证明。合情推理的结论不一定正确，需要加以证明和检验。

四、培养学生合情推理能力的主要活动形式

教师在进行数学教学活动中合情推理能力培养时，本身需要扎实的基本功，要对知识点的迁移做到游刃有余。此外，在做合情推理时，要教给学生：找到两知识点间的联系才是推理出准确结论的依据。比如由圆的性质“圆心与非直径的弦的中点连线垂直于弦”推导出球的性质“球心在不经过球心的截面圆的圆心连线垂直于截面圆”;由圆的性质“与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较远的弦较长”推导出球的性质“与球心距离相等的两截面圆面积相等，与球心距离不等的两截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大”;由“以点P（x0，y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=r2”推导出“以点P（x0，y0，z0）为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=r2”。此外，由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和为180°，歸纳出所有三角形的内角和都为180°;由三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和为540°，得到凹多边形内角和为（n-2）×180°。

除了课堂的教育教学活动以外，教师还需要注重生活中的数学应用。许多游戏中也隐含着推理的要求，甚至有专门需要使用合情推理来解题的APP，教师可让学生在课余时间下载学习。所以，中职数学教学中合情推理能力的培养，要进一步拓宽发展的渠道，使学生感受到生活、活动中处处有数学。

在数学课程教学中，教师通过创设问题情境，引导学生细心观察;变式训练，强化思维能力;特殊值代入，引导学生猜想。强化合情推理的意识，提升思维水平，达到培养学生的创新精神和实践能力的目的。

经过笔者多年课堂教学效果来看，在中职数学中对学生的合情推理能力培养大致分为以下三个方面进行。

1.观察法

在教学过程中，教师要注重给学生必要的时间和空间进行观察，培养良好的习惯，提高观察力和直觉性。这对发展合情推理能力有直接影响。例如，在讲到“数列的通项公式”这一节课时，教师可以先给出例1：写出前四项为“-1，1，-1，1，…”的无穷数列的一个通项公式。学生通过数列项的特点，合情推理出该规律与“负数的奇数次方为-1，偶数次方为1”相吻合，从而推导出该数列的通项公式为an=（-1）n。教师随即提出例2：前四项为“1，-1，1，-1，…”的无穷数列的通项公式又该如何？学生自然而然推理出此时数列各项的规律与原规律略有偏差，从而得到该数列的通项公式为an=（-1）n+1。为了符合认知规律、层层递进，引学生独立思考，教师可以给出练习题：写出前四项为“-1，4，-9，16，…”的无穷数列的一个的通项公式。学生能马上通过合情推理得到该数列的各项的正负情况，遵循跳跃数列例1，数字大小是所在项数的平方，故得到结论：an=（-1）n·n2。如此，学生合情推理的能力会在每个例题与练习题中得到锻炼并应用到学习和生活中去。

2.实验法

学生在大胆猜想中体验合情推理，在严谨的证明中体验演绎推理。二者相辅相成、互相推动，使学生的思维得到发展，能力得以提升。例如：设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=，类比这个结论可得：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，四面体P-ABC的体积为V，则R=。这个题目主要考察了学生合情推理的能力。三角形中，内切圆的圆心，与其三个顶点的连线，构成了三个小的三角形，并且有相同的高r，底边分别是a，b，c，利用等面积法，我们得到S=r（a+b+c），所以r=。利用类比推理可知，在四面体内切球半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的球心与各顶点的连线，将一个四面体分割为四个小的四面体，以四面体的四个面为底面，高都为R的四面体，由等体积法，可得V=R（S1+S2+S3+S4），所以R=。

在中职数学教学中，引导学生观察和实验，可以帮助学生发现数学真理和解决问题的方向和途径，从而大大提高学生的学习效率。

3.提问法

在数学中，许多命题的发现，性质的得出，甚至思路的形成和方法的创造，都是通过提问而开始的。比如：学了余弦函数与正弦函数的图形和性质后，可以提问学生，如果把余弦曲线与正弦曲线放在同一直角坐标系中，两条曲线有没有关系呢？提问不仅有利于激发学生探究的兴趣，也能够让学生通过实验的方法自己得到结论：正弦曲线与余弦曲线的图形一模一样，但位置不同，即通过平移可以使两条曲线重合。教师可以再提问：可以通过怎样规律的平移来使得两条曲线重合呢？学生通过两条曲线的同一特征点的位置进行判断，比如最高点，判断出正弦曲线可由余弦曲线向右平移个单位得到。教师还可以再提问：“只能是这样平移吗？平移距离最小的平移是怎么样的？平移特点和规律能否总结出来？”学生的求知欲望被激发。问题由易到难，由浅入深，让学生思想的火花四溅，讨论热烈，随即会通过观察和推理，得到多种平移方法并归纳出平移特点。层层递进的提问帮助学生通过合情推理找到答案，并牢固地掌握知识。

数学与生活息息相关，密不可分。教师在培养学生合情推理能力的过程中，还须关注生活中实际问题、热点问题，挖掘生活素材，设法引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，在問题的解决过程中，培养学生的合情推理能力，真正做到“生活即数学，数学即生活”。

在个别学生基础薄弱，对数学学科兴趣不是很浓的中职数学教学中，对学生进行合情推理能力的培养，是开发学生创造性素质的需要，更是全面开发大脑潜力的需要。对于学生来说，注重合情推理能力的培养不但提高了学生学习兴趣学到了知识，而且会将日常事务中积累经验方法用于学习解决问题。对于教师来说，课堂上注重这一能力的培养加大了学生对课堂的关注度，提高了教学效率，增加了课堂教学的趣味性，也在自然状态下将合情推理提高到一个更加合理、更加科学的层次。

参考文献：

[1]王峰.培养学生“数学猜想”能力的试题分析.中国数学教育（初中版）[C].沈阳：辽宁北方报刊出版中心，2018（3）.

[2]易翠燕.小学数学教学中学生归纳推理能力的培养[J].未来教育家，2019（3）.

（作者单位：嘉兴技师学院）